2023年高考数学(理数)一轮复习课时57《几何概型》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时57《几何概型》达标练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A.16.32B.15.32C.8.68D.7.68LISTNUMOutlineDefault\l3在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是()A.eq\f(1,12π)B.eq\f(\r(3),12π)C.eq\f(2\r(3),9π)D.eq\f(\r(3),6π)LISTNUMOutlineDefault\l3在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)LISTNUMOutlineDefault\l3要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则进行平移与伸缩变换为()A.－3xB.3xC.6x－3D.－6x－3LISTNUMOutlineDefault\l3如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)LISTNUMOutlineDefault\l3在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)LISTNUMOutlineDefault\l3在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(1,2)，则实数m为()A.0B.1C.2D.3LISTNUMOutlineDefault\l3在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为eq\f(π,3)，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A.2－eq\f(3\r(3),π)B.4－eq\f(6\r(3),π)C.4eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π)D.4eq\f(2,3)LISTNUMOutlineDefault\l3有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)LISTNUMOutlineDefault\l3在区间(0，4)上任取一数x，则eq\f(1,4)<2x－1<1的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)LISTNUMOutlineDefault\l3用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)LISTNUMOutlineDefault\l3如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,5)二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<eq\r(2)的概率为________.LISTNUMOutlineDefault\l3如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：设椭圆的面积为S，则eq\f(S,4×6)=eq\f(300－96,300)，故S=16.32.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为eq\r(2)a，所以正四面体的高为eq\f(2\r(3),3)a，所以R2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)a,3)－R))eq\s\up12(2)，即eq\r(3)a=2R，所以正四面体的棱长为eq\f(2\r(6)R,3)，底面面积为eq\f(1,2)×eq\f(2\r(6)R,3)×eq\r(2)R=eq\f(2\r(3),3)R2，高为eq\f(4R,3)，所以正四面体的体积为eq\f(8\r(3),27)R3，又球O的体积为eq\f(4π,3)R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为eq\f(2\r(3),9π)，故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=eq\f(1,4)S△ABC，∴VS－DEF=eq\f(1,8)VS－ABC.∴P=eq\f(VDEF－ABC,VS－ABC)=eq\f(7,8).故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：利用伸缩和平移变换进行判断得－3≤6x－3≤3，故y取6x－3.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=eq\f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得所求概率P=eq\f(\f(2π,3),2π)=eq\f(1,3).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部.要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分.故所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B.解析：区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由eq\f(2m,4)=eq\f(1,2)，则m=1.]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))=4πr2－6eq\r(3)r2，圆的面积S′=πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为eq\f(S,S′)=4－eq\f(6\r(3),π)，故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B.解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1=eq\f(V半球,V圆柱)=eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)=eq\f(1,3).故点P到点O的距离大于1的概率P=1－eq\f(1,3)=eq\f(2,3).]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：由题设可得－2<x－1<0，即－1<x<1，所以d=1，D=4，则由几何概型的概率公式可知所求概率P=eq\f(1,4).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P(A)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).∴所截得圆的面积小于9π的概率为P(eq\o(A,\s\up16(－)))＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影=SKIPIF1<0dx=eq\f(1,3)x3eq\o\al(1,0)=eq\f(1,3)，又正方形的面积S=1，故质点落在图中阴影区域的概率P=eq\f(\f(1,3),1)=eq\f(1,3).故选C.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(2,9).解析：画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC=eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)=eq\f(9,4)，S△AOD=eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2)，所以点P恰好落在第二象限的概率为SKIPIF1<0=eq\f(\f(1,2),\f(9,4))=eq\f(2,9).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(π,8)＋eq\f(1,4).解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<eq\r(2)的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为eq\f(\f(1,4)π\r(2)2＋\f(1,2)×1