实际问题与一元二次方程复习-通用课件

第四讲

实际问题与一元二次方程主讲人：日坛中学初雨第四讲1★课程说明：应用问题是初中方程中的重点、难点，也是中考中的热点,主要考量综合能力．重点、难点：找到切入点确定等量关系，并列出等式，建立一元二次方程解决问题.★课程说明：2★重点提示：1.现在正在逐渐淡化对于应用题进行分类提炼出一个“公式”进行套用，而更强调从审题出发，达到随机应变的程度.2.解决应用问题的难点在于如何根据已知条件确定等量关系列出方程，因此在审题过程中可圈注出描述等量关系的重点语句，并将其书写成文字等式，然后将等式中的各部分用数字或含有未知数的式子代入表示.★重点提示：33.明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、列、解、验、答的意义.4.现阶段关于实际问题的考题中文字叙述量大、呈现方式不拘一格、与热点问题结合紧密、注重与其他只是结合等特点，但本质都相同，重点仍是找等量关系，它是列出方程的关键.5.要关注拿到应用题目中的第一步是确定用等式还是不等式加以解决，而方法就是寻找题目中体现等量或不等关系的关键词或句.3.明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、列、解、验、答的4★知识梳理列方程解应用题的基本步骤1.审：审清题目中的未知量和已知量2.设：根据解题需要设未知数，要注意单位3.列：根据等量关系列方程4.解：解方程（选择适当的方法）5.验：检验所的结果是否正确，以及是否符合实际意义6.答：答题，注意单位名称要写全★知识梳理5例1.增长率恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.例1.增长率解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得6“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村合作医疗的成果。村民只要每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可以得到按一定比例返回的返回款。这一举措极大的增强了农民抵御大病风险的能力。小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了如下的统计图。根据以上信息，解答以下问题：（1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款？（2）该乡若有10000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的增长率相同，求这个年增长率.“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村合作医疗的成7解：（1）240+60=300（人），240×2.5%=6（人）；（2）参加合作医疗的百分率为80%，估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000（人）；设年增长率为，由题意知，解得x=10%，即年增长率为10%．解：（1）240+60=300（人），240×2.5%=68【经验积累】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.【经验积累】9解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.例2.商品定价益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理10【经验积累】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.【经验积累】11例3.趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.例3.趣味问题解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.12【经验积累】求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.【经验积累】13例4.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为0.5n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.例4.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者14【经验积累】类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

【经验积累】15例5.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.例5.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图16解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为100017例6将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

例6将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度18实际问题与一元二次方程复习-通用课件19【经验积累】铁丝折成四边形问题,其中有一个等量关系为铁丝的长度等于围成的四边形的边长之和,因此根据围成的四边形边之间的关系,可设其中一边为x，其余边用含有x的式子表示.【经验积累】20例7迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240m？例7迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形21迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mx解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2626m144m222迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?40-2x26-x解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2640-2x26-23迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mxxx解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2626m144m224【经验积累】平移法解决几何图形的面积问题，充分体现了数形结合的数学思想，同时平移的作用是将分散的条件集中化，又体现了整体思想，同时三种解题方案中很明显经过平移后的最好确定等量关系，因此在解类似问题时推荐用此方法.【经验积累】25例8.观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律连续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.⑴填表2)当n=11时，y的值是多少？(3)y的值能否为145和400呢？若能，求出对应n的值，若不能说明理由.

n123456…y251017…例8.观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律连续摆放，记26（1）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点右侧的部分的行数列数相同且均比序号多1，因此，应用整体思想，将图形进行分割为如图的两部分（如图，第一部分只有1个小黑点，第二部分小黑点的个数等于序号的平方，所以第n个图形中小黑点的个数为n2+1.（2）如果y的值能等于145，则一元二次方程的解必须为正整数.

（1）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点27【经验积累】本题属于与图形有关的归纳猜想型问题，解决这类问题的关键是观察出图形的变化规律，并将发现的规律与图形的序号联系起来，然后用整式表示出规律。当已知第n个数，求n时，往往需要列出方程，然后解方程.

【经验积累】28★总结回顾：列方程解实际问题的关键在于正确审题，理解实际问题中所描述的数量关系，构建数学模型，设适当的未知数列方程．★总结回顾：29列方程解应用题的一般步骤审-------

忽视与数量关系无关的语句找出描述数量关系的语句分析出等量关系｛根据问题设出未知数设------

根据等量关系列出方程组列------解方程组双检验根据问题写出回答，要完整准确解------验------答------列方程解应用题的一般步骤审-------｛根据问题设出未知3046．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！

47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践．

48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星．

49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价．

50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。

51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子．

52．为成功找方法，不为失败找借口．

53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。

54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！

55．不一定要做最大的，但要做最好的．

56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！

57．成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。——张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。——吕坤46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做31第四讲

实际问题与一元二次方程主讲人：日坛中学初雨第四讲32★课程说明：应用问题是初中方程中的重点、难点，也是中考中的热点,主要考量综合能力．重点、难点：找到切入点确定等量关系，并列出等式，建立一元二次方程解决问题.★课程说明：33★重点提示：1.现在正在逐渐淡化对于应用题进行分类提炼出一个“公式”进行套用，而更强调从审题出发，达到随机应变的程度.2.解决应用问题的难点在于如何根据已知条件确定等量关系列出方程，因此在审题过程中可圈注出描述等量关系的重点语句，并将其书写成文字等式，然后将等式中的各部分用数字或含有未知数的式子代入表示.★重点提示：343.明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、列、解、验、答的意义.4.现阶段关于实际问题的考题中文字叙述量大、呈现方式不拘一格、与热点问题结合紧密、注重与其他只是结合等特点，但本质都相同，重点仍是找等量关系，它是列出方程的关键.5.要关注拿到应用题目中的第一步是确定用等式还是不等式加以解决，而方法就是寻找题目中体现等量或不等关系的关键词或句.3.明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、列、解、验、答的35★知识梳理列方程解应用题的基本步骤1.审：审清题目中的未知量和已知量2.设：根据解题需要设未知数，要注意单位3.列：根据等量关系列方程4.解：解方程（选择适当的方法）5.验：检验所的结果是否正确，以及是否符合实际意义6.答：答题，注意单位名称要写全★知识梳理36例1.增长率恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.例1.增长率解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得37“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村合作医疗的成果。村民只要每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可以得到按一定比例返回的返回款。这一举措极大的增强了农民抵御大病风险的能力。小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了如下的统计图。根据以上信息，解答以下问题：（1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款？（2）该乡若有10000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的增长率相同，求这个年增长率.“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村合作医疗的成38解：（1）240+60=300（人），240×2.5%=6（人）；（2）参加合作医疗的百分率为80%，估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000（人）；设年增长率为，由题意知，解得x=10%，即年增长率为10%．解：（1）240+60=300（人），240×2.5%=639【经验积累】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.【经验积累】40解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.例2.商品定价益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理41【经验积累】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.【经验积累】42例3.趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.例3.趣味问题解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.43【经验积累】求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.【经验积累】44例4.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为0.5n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.例4.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者45【经验积累】类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

【经验积累】46例5.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.例5.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图47解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为100048例6将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

例6将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度49实际问题与一元二次方程复习-通用课件50【经验积累】铁丝折成四边形问题,其中有一个等量关系为铁丝的长度等于围成的四边形的边长之和,因此根据围成的四边形边之间的关系,可设其中一边为x，其余边用含有x的式子表示.【经验积累】51例7迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240m？例7迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形52迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mx解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2626m144m253迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?40-2x26-x解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2640-2x26-54迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境,其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,若使每一块草坪的面积都为144米2,求每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mxxx解：设每条花带的宽度为x米迎五一，某小区计划在一个长为40米,宽为2626m144m255【经验积累】平移法解决几何图形的面积问题，充分体现了数形结合的数学思想，同时平移的作用是将分散的条件集中化，又体现了整体思想，同时三种解题方案中很明显经过平移后的最好确定等量关系，因此在解类似问题时推荐用此方法.【经验积累】56例8.观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律连续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.⑴填表2)当n=11时，y的值是多少？(3)y的值能否为145和400呢？若能，求出对应n的值，若不能说明理由.

n123456…y251017…例8.观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律连续摆放，记57（1）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点右侧的部分的行数列数相同且均比序号多1，因此，应用整体思想，将图形进行分割为如图的两部分（如图，第一部分只有1个小黑点，第二部分小黑点的个数等于序号的平方，所以第n个图形中小黑点的个数为n2+1.（2）如果y的值能等于145，则一元二次方程的解必须为正整数.

（1）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点58【经验积累】本题属于与图形有关的归纳猜想型问题，解决这类问题的关键是观察出图形的变化规律，并将发现的规律与图形的序号联系起来，然后用整式表示出规律。当已知第n个数，求n时，往往需要列出方程，然后解方程.

【经验积累】59★总结回顾：列方程解实际问题的关键在于正确审题，理解实际问题中所描述的数量关系，构建