高三数学复习资料.第一章 集合与常用逻辑用语

高三课标版数学(文)第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算最新考纲：1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．问题探究：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？提示：集合{Ø}不是空集，因为它含有元素Ø，同理，{0}也不是空集，因为它含有元素0，但{Ø}与{0}不同，因为它们的元素不同，Ø是不含任何元素的集合．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4．集合的运算性质并集的性质：A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø；∁U(∁UA)＝A．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)集合{x|y＝eq\r(x－1)}与集合{y|y＝eq\r(x－1)}是同一个集合．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1，2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝eq\f(1,2).()(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.()(5)若A＝{0，1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．(2015·福建卷)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0，1，2} D．{0，1}[解析]因为M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0，1，2}，所以M∩N＝{0，1}，故选D.[答案]D3．(2016·北京东城期末统测)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}，则A∪B＝()A．(0，1) B．(1，2)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]由已知条件可得B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}＝{x|x>1或x<－1}，∴A∪B＝{x|0<x<2}∪{x|x>1或x<－1}＝{x|x>0或x<－1}，故选C.[答案]C4．(2015·济南3月模拟)已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁UB)等于()A．[3，＋∞) B．(－1，0]C．(3，＋∞) D．[－1，0][解析]解不等式|x－1|<2得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}．要使函数y＝lg(x2＋x)有意义，则x2＋x>0，解得x<－1或x>0，所以B＝{x|x<－1或x>0}，∁UB＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩(∁UB)＝(－1，0]，故选B.[答案]B5．(2015·东北三省四市第二次联考)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为________．[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素．[答案]6考点一集合的基本概念1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[解题指导]切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性．[解析](1)集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6，8，10，12，14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，因为当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3，符合题意．所以m＝－eq\f(3,2).[答案](1)D(2)－eq\f(3,2)(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．对点训练1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4[解析]由题意得，ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)，故选A.[答案]A2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是()A．x＋y∈A B．x－y∈AC．xy∈A D．eq\f(x,y)∈A[解析]由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式)，可得1＝02＋12，2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3∉A，故A“x＋y∈A”不成立；又1－2＝－1∉A，故B“x－y∈A”不成立；又eq\f(1,2)∉A，故D“eq\f(x,y)∈A”不成立．故选C.[答案]C3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3，1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是________．[解析]因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x2－2的值域[－2，＋∞)，从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．[答案]{y|y≥－2且y≠1}考点二集合间的基本关系判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．(1)(2015·皖南八校联考)已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是()A．M⊆N B．M⊆∁RNC．∁RM⊆N D．∁RN⊆M(2)(2015·郑州模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解题指导]切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对Ø关注．[解析](1)集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x<－1}，所以∁RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M⊆∁RN，故选B.(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝Ø，满足B⊆A；若B≠Ø，且满足B⊆A，如图所示，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3.))∴2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3，即m的取值范围为{m|m≤3}．[答案](1)B(2){m|m≤3}(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；(3)B为A的子集，不要漏掉B＝Ø时的情况．对点训练1．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A．A＝B B．A∩B＝ØC．AB D．BA[解析]∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴BA.故选D.[答案]D2．(2016·合肥模拟)已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S⊆P，则实数a的取值组成的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,2))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2)))[解析]由题意得，P＝{－3，2}．当a＝0时，S＝Ø，满足S⊆P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－eq\f(1,a)，为满足S⊆P，可使－eq\f(1,a)＝－3，或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)，或a＝－eq\f(1,2).故所求集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))).故选D.[答案]D3．(2016·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．[解析]集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．[答案](－∞，－2]考点三集合的基本运算在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．(1)(2015·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{3} B．{2，5}C．{1，4，6} D．{2，3，5}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝________．[解题指导]切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算．[解析](1)因为∁UB＝{2，5}，所以A∩(∁UB)＝{2，5}．故选B.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7，∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．[答案](1)B(2){y|－1≤y≤7}[拓展探究](1)在例3(2)中，若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.(2)在例3(2)中，若集合A、B变为：A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.[解](1)因A中元素是函数自变量，则A＝R，而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x，,y＝－x2＋2x＋6))⇒x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.于是，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))故A∩B＝{(3，3)，(－1，3)}．考点四与集合有关的新定义问题与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在．(2016·太原模拟)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝()A．{0}∪(2，＋∞) B．[0，1)∪[2，＋∞)C．(0，1)∪(2，＋∞) D．{0}∪[2，＋∞)[解题指导]切入点：A⊗B的定义；关键点：从定义出发解决问题．[解析]由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(0，2)．又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．故选D.[答案]D解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．对点训练1．(2016·大连质检)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}[解析]由log2x<1，解得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，解得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．故选B.[答案]B2．对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10，3⊕7＝3＋7＝10，3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．[解析]m，n同奇同偶时有11组：(1，11)，(2，10)，…，(11，1)；m，n一奇一偶时有4组：(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)．[答案]15————————方法规律总结————————[方法技巧]1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．[易错点睛]1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．课时跟踪训练(一)一、选择题1．(2015·山东卷)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则A∩B＝()A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)[解析]由B＝{x|(x－1)(x－3)<0}＝{x|1<x<3}，A＝{x|2<x<4}，得A∩B＝(2，3)，故选C.[答案]C2．(2015·四川卷)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝()A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]利用数轴知A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A.[答案]A3．(2015·石家庄一模)若已知M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5，7}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为()A．2 B．3C．4 D．5[解析]∵P＝{1，3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.[答案]C4．(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁RP)∩Q＝()A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2][解析]先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0<x<2}＝(0，2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1，2]，所以(∁RP)∩Q＝(1，2)．故选C.[答案]C5．(2015·宁波二模)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|－3<x<－1}B．{x|－3<x<0}C．{x|－1≤x<0}D．{x|x<－3}[解析]因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁UB＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁UB)，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x<0}，故选C.[答案]C6．(2015·山西四校联考)设U＝R，A＝{x|y＝xeq\r(x)}，B＝{y|y＝－x2}，则A∩(∁UB)＝()A．Ø B．RC．{x|x>0} D．{0}[解析]∵A＝{x|y＝xeq\r(x)}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴∁UB＝{y|y>0}，从而有A∩(∁UB)＝{x|x>0}．故选C.[答案]C7．(2016·唐山统考)设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)·(x－1)<0}，则()A．A∩B＝Ø B．A∪B＝UC．∁UB⊆A D．∁UA⊆B[解析]∵B＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，∴B＝{x|－2<x<1}，∵A＝{x|x≥1}，∴A∩B＝Ø.故选A.[答案]A8．(2015·临沂二检)已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3[解析]由A∪B＝A，可得B⊆A，则m＝3或m＝eq\r(m)，得m＝3或0或1.经检验m＝1时，集合A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，显然不成立．综上有m＝0或3，故选B.[答案]B9．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，x<y，x＋y∈A}，则集合B中的元素个数为()A．2 B．3C．4 D．5[解析]当x＝1时，y＝2或3或4；当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.故选C.[答案]C10．(2015·沈阳质量监测(二))已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝(∁UB)∪(∁UA)，则()A．M∪N＝M B．M∩N＝ØC．M＝N D．M⊆N[解析]因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝Ø，故选B.[答案]B二、填空题11．已知集合A＝{0，2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a的值为________．[解析]若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，所以a＝2.[答案]212．(2016·武汉调研)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}．若B⊆A，则实数a的取值集合为________．[解析]因为A＝{1，－1}，当a＝0时，B＝Ø，适合题意；当a≠0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))⊆A，则eq\f(1,a)＝1或－1，解得a＝1或－1，所以实数a的取值集合为{0，1，－1}．[答案]{－1，0，1}13．(2015·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝Ø，则a的取值范围是__________．[解析]①当A中的元素为非正数时，A∩B＝Ø，即方程x2＋(a＋2)x＋1＝0只有非正数解，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（a＋2）2－4≥0，,a＋2≥0，))解得a≥0；②当A＝Ø时，Δ＝(a＋2)2－4<0，解得－4<a<0.综上，a>－4.所以a的取值范围是(－4，＋∞)．[答案](－4，＋∞)三、解答题14．(2015·杭州学君中学模拟)已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．[解]由A＝B可知，(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋d＝mq，,m＋2d＝mq2，))或(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋d＝mq2，,m＋2d＝mq.))解(1)得q＝1，解(2)得q＝1或q＝－eq\f(1,2).又因为当q＝1时，m＝mq＝mq2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以q＝－eq\f(1,2).15．(2016·江苏四市调研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0，3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．[解]由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0，3]，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3.))∴m＝2.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.16．(2016·长春实验中学检测)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－5,x＋1)≤0))))，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．[解]由eq\f(x－5,x＋1)≤0，且x＋1≠0，解得－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲：1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．问题探究：一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是．命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．在判断充分条件与必要条件时，一定要注意弄清问题的设问方式，“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”两种说法的含义是不同的．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)命题“α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的否命题是“若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1”．()(3)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．()(4)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的充分条件．()(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题[解析]根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.[答案]C3．“a＝1”是“关于x的方程x2－2x＋a＝0有实数根”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]方程x2－2x＋a＝0有实数根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.因此，“a＝1”是“关于x的方程x2－2x＋a＝0有实数根”的充分不必要条件，故选A.[答案]A4．已知a，b∈R.下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是()A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[解析]因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1推不出a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件，故选A.[答案]A5．(2016·河北正定中学月考)设A：eq\f(x,x－1)<0，B：0<x<m，若B是A成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________．[解析]eq\f(x,x－1)<0⇔0<x<1.由已知，得(0，1)(0，m)，所以m>1.[答案](1，＋∞)考点一命题的关系及命题真假的判断1．在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．2．对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．原命题与其逆否命题同真同假．(1)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1(2)(2016·合肥质检)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假[解题指导]切入点：四种命题的概念；关键点：分清命题的条件和结论．[解析](1)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，故选D.(2)原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，如z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.[答案](1)D(2)B(1)判断命题的四种形式的关键是准确把握命题的条件和结论，然后根据命题的四种形式进行判断即可；(2)互为逆否命题的两个命题是等价命题，即同为真或同为假．根据这个结论我们可以把一些难于判断的命题转化为其逆否命题来判断，其中原命题和其逆否命题、其逆命题和其否命题都互为逆否命题．对点训练1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题[解析]对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．综上可知，选B.[答案]B2．命题“函数f(x)，g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝eq\f(x2,x2＋1)，g(x)＝x2＋1都不是奇函数，故其逆命题不正确，其否命题也不正确，只有其逆否命题正确．故选B.[答案]B3．若“x∈[2，5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．[解析]根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2或x>5，,1≤x≤4，))解得1≤x<2，故x∈[1，2)．[答案][1，2)考点二充分条件与必要条件的判断1．利用定义判断(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(5)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．2．利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(1)(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解题指导]切入点：充分、必要条件的概念；关键点：从集合的角度进行判断．[解析](1)由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.(2)因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>1⇔log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．[答案](1)A(2)A充要条件的判断就是对原命题与逆命题真假的判断．原命题为真，则条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件；原命题为假，则条件不是结论的充分条件，结论也不是条件的必要条件．对点训练1．若集合A＝{0，m2}，B＝{1，2}，则“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]因为m＝1时，A＝{0，1}，A∪B＝{0，1，2}，所以充分性成立；反之，若A∪B＝{0，1，2}，则A＝{0，1}或A＝{0，2}，当m2＝1时，m＝1或m＝－1；当m2＝2时，m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2)，所以必要性不成立，即“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的充分不必要条件，故选A.[答案]A2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]据已知可得綈peq\o(\s\up1(),\s\do11())q，q⇒綈p，因为原命题与其逆否命题等价，故有綈qeq\o(\s\up1(),\s\do11())p，p⇒綈q，故有p是綈q的充分不必要条件，故选A.[答案]A3．在△ABC中，“sinA>eq\f(\r(3),2)”是“A>eq\f(π,3)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]△ABC中，sinA>eq\f(\r(3),2)得，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，故sinA>eq\f(\r(3),2)是A>eq\f(π,3)的充分条件；当A＝eq\f(5,6)π时，sinA＝eq\f(1,2)<eq\f(\r(3),2)，故“sinA>eq\f(\r(3),2)”是“A>eq\f(π,3)”的充分不必要条件，故选A.[答案]A考点三充分条件与必要条件的应用1．充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，结合具体问题进行判断的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二步，尝试用条件推结论，用结论推条件；第三步，确定条件是结论的什么条件．要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题是证明条件的充分性，证明逆命题是证明条件的必要性．2．利用条件的充分性或必要性求参数的值(或范围)充分条件、必要条件和充要条件揭示了命题的条件和结论之间的从属关系，可以转化为集合间的包含关系．对于条件或结论含有参数的命题，可先将其转化为最简形式，再借助于韦恩图或数轴的直观性列方程或不等式，即可求出参数的值或取值范围．若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．(1)a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C.eq\f(a,b)>1 D．eq\f(a,b)<－1(2)(2015·临沂模拟)已知p：－2≤x≤1，q：(x－a)(x－a－4)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[解题指导]切入点：充分、必要条件的判断；关键点：弄清条件、结论．[解析](1)若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.(2)由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.设p：A＝{x|－2≤x≤1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p是q成立的充分不必要条件，∴AB.∴a＋4<－2或a>1，即a<－6或a>1.[答案](1)A(2)(－∞，－6)∪(1，＋∞)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[拓展探究]在本例(2)中，若p：x≤－2或x≥1，p是q成立的必要不充分条件，其他条件不变，试确定a的取值范围．[解]由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.设p：A＝{x|x≤－2或x≥1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p是q的必要不充分条件，∴BA.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－2，,a＋4≥1，))解得－3≤a≤－2.————————方法规律总结————————[方法技巧]1．命题真假的判断(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．2．充分、必要条件的判定方法(1)定义法(2)传递法(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；(4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．[易错点睛]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．课时跟踪训练(二)一、选择题1．(2015·安徽卷)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]q：2x>1⇔x>0，且(1，2)⊆(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．故选A.[答案]A2．(2015·湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]结合韦恩图可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故选C.[答案]C3．(2015·德州一模)命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．2C．4 D．不确定[解析]当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq\f(1,4)，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．故选B.[答案]B4．(2016·沈阳质量监测(一))已知x∈R，则“x2－3x>0”是“x－4>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件，故选B.[答案]B5．(2016·江西赣州摸底)若a，b∈R，则“|a－b|＝|a|＋|b|”是“ab<0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]依题意，注意到由|a－b|＝|a|＋|b|不能得知ab<0，如取a＝0，b＝3；反过来，由ab<0可得|a－b|＝|a|＋|b|.因此，“|a－b|＝|a|＋|b|”是“ab<0”的必要不充分条件，故选B.[答案]B6．(2015·东北三校二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1][解析]q：eq\f(3,x＋1)<1⇒eq\f(3,x＋1)－1<0⇒eq\f(2－x,x＋1)<0⇒(x－2)·(x＋1)>0⇒x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.[答案]B7．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝Ø”的()A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件[解析]若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝Ø；若A∩B＝Ø，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝Ø”的充要条件．故选C.[答案]C8．(2015·江西九校联考(二))设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真C．原命题真，逆命题真 D．原命题假，逆命题假[解析]原命题的逆否命题：若a，b都小于1，则a＋b<2，是真命题，所以原命题为真命题；原命题的逆命题：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，如a＝3，b＝－3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故逆命题为假命题，故选A.[答案]A9．使函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3a－1）x＋4a，x≤1，,logax，x>1，))在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是()A.eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3) B．0<a<eq\f(1,3)C.eq\f(1,7)<a<eq\f(1,3) D．0<a<eq\f(1,7)[解析]由f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,0<a<1，,7a－1≥0，))解得eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3)，所求应该是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(1,3)))的真子集，故选C.[答案]C10．已知a、b∈R，那么“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]将ab＋1>a＋b变形为(a－1)(b－1)>0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,b<1.))在平面直角坐标系中分别作出满足条件a2＋b2<1和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,b<1，))的点(a，b)，若分别构成集合P和Q.P是圆内的点，Q是直线x＝1和y＝1两直线把平面分成四部分中右上和左下对角区域的部分，显然有P是Q的真子集，所以选C.[答案]C二、填空题11．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题为________．[解析]首先将原命题写成“若p则q”的形式，其中p：两个三角形全等，q：两个三角形相似，则其逆否命题为“若綈q则綈p”．[答案]若两个三角形不相似，则它们一定不全等12．(2016·福州质检)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)，则“a＝4”是“函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数”的________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要”)[解析]若a＝4时，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)在(2，＋∞)上单调递增，而当函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数时，只需a≤4即可，故“a＝4”是函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数的充分不必要条件．[答案]充分不必要13．(2016·烟台调研)已知p：eq\f(1,x－1)<1，q：x2＋(q－1)x－a>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意知，p：x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，q：(x－1)(x＋a)>0，由p是q的充分不必要条件可知p中不等式的解集是q中不等式的解集的真子集，从而有－a＝1或1<－a<2，所以实数a的取值范围是(－2，－1]．[答案](－2，－1]三、解答题14．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解]设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵q是p的必要不充分条件，即AB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1.))故所求实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq\f(1,3).[证明](1)充分性：∵0<m<eq\f(1,3)，∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m>0，且eq\f(3,m)>0，∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,\f(3,m)>0，))∴0<m<eq\f(1,3).综合(1)(2)可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq\f(1,3).16．(2016·保定一中月考)已知全集U＝R，非空集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－（3a＋1）)<0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－a2－2,x－a)<0)))).(1)当a＝eq\f(1,2)时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝eq\f(1,2)时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－\f(5,2))<0))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(5,2)))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－\f(9,4),x－\f(1,2))<0))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<\f(9,4)))))，∴∁UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)或x≥\f(9,4))))).∴(∁UB)∩A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)≤x<\f(5,2))))).(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①当3a＋1>2，即a>eq\f(1,3)时，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a＋1≤a2＋2，))即eq\f(1,3)<a≤eq\f(3－\r(5),2).②当3a＋1＝2，即a＝eq\f(1,3)时，A＝Ø，不符合题意；③当3a＋1<2，即a<eq\f(1,3)时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A⊆B得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤3a＋1，,a2＋2≥2，))∴－eq\f(1,2)≤a<eq\f(1,3).综上所述：实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3－\r(5),2))).第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫作特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)问题探究：同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？提示：不唯一．如∀x∈R，x2≥0，对任一实数x有x2≥0.或：对所有的实数x，都有x2≥0等．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·合肥一中摸底)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]根据指数函数值域为(0，＋∞)，得p为真命题；而“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．根据复合命题的真假规律，可得p∧(綈q)为真命题，故选D.[答案]D3．(2016·北京海淀期末)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p为()A．∃x∈R，x2＋x－1>0B．∀x∈R，x2＋x－1≥0C．∃x∉R，x2＋x－1≥0D．∀x∉R，x2＋x－1>0[解析]含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p为∀x∈R，有x2＋x－1≥0，故选B.[答案]B4．(2015·河北唐山高三模拟)若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2，6] B．[－6，－2]C．(2，6) D．(－6，－2)[解析]由命题∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0为假命题得Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即2≤m≤6，选A.[答案]A5．(2015·长沙模拟一)已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________．[解析]先求p∧q是真命题时m的取值范围，再求其补集．命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1，故p∧q为假命题，则m的取值范围是m≤－2或m>－1.[答案]m≤－2或m>－1考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．在生活中，我们经常使用逻辑联结词“且”“或”“非”，但表达的含义与用法和数学中的含义与用法不尽相同，要结合实例进行比较、体会．(1)已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④(2)(2016·东北师大附中期末考试)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧綈q；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④[解题指导]切入点：判断p，q的真假；关键点：根据真值表判断．[解析](1)命题p、q均为真命题，则綈p、綈q为假命题．从而结论①②③④均正确，故选D.(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧綈q为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.[答案](1)D(2)C“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．对点训练1．(2016·山东枣庄第一学期期中)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()A．命题q一定是真命题B．命题p不一定是假命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q真假相同[解析]由于綈p是真命题，则命题p是假命题．又p∨q是真命题，则命题q是真命题．故选A.[答案]A2．(2015·安徽六校联考)已知命题p：“a＝1是x>0，x＋eq\f(a,x)≥2的充分必要条件”；命题q：“存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0－2>0”，下列命题正确的是()A．命题“p∧q”是真命题B．命题“(綈p)∧q”是真命题C．命题“p∧(綈q)”是真命题D．命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题[解析]因为当x>0，a>0时，x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(x·\f(a,x))＝2eq\r(a)，由2eq\r(a)≥2可得a≥1，所以命题p为假命题；因为当x＝2时，x2＋x－2＝22＋2－2＝4>0，所以命题q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题，故选B.[答案]B3．(2016·吉林长春二调)已知命题p：函数y＝2－ax＋1的图象恒过定点(1，2)；命题q：若函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧q D．p∨(綈q)[解析]函数y＝2－ax＋1的图象可看出是先把函数y＝ax的图象向左平移一个单位，再将所得图象沿x轴作翻折，最后再将所得图象向上平移2个单位得到，而y＝ax的图象恒过(0，1)，所以y＝2－ax＋1的图象恒过(－1，1)，因此p为假命题；若函数f(x－1)为偶函数，即图象关于y轴对称，f(x)的图象即f(x－1)向左平移一个单位得到，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题．故p∨(綈q)为真命题，故选D.[答案]D考点二全(特)称命题的否定1．全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．常见词语的否定形式有根据命题的含义确定是否为全(特)称命题是解决这类问题的关键．(1)(2015·湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx≠x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)(2016·合肥调研)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0[解题指导]切入点：确定量词；关键点：根据含有一个量词的命题的否定形式进行判断．[解析](1)该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.(2)把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.[答案](1)A(2)C全称命题和特称命题的否定具有特定的形式：全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定形式为“∃x∈M，綈p(x)”，特称命题“∃x∈M，q(x)”的否定形式为“∀x∈M，綈q(x)”．对点训练1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1[解析]特称命题的否定为全称命题，所以“存在”对“任意”，“x>1”对“x≤1”．故选C.[答案]C2．(2016·郑州预测(二))已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是()A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0[解析]依题意，綈p是“∃x>2，x3－8≤0”，故选B.[答案]B3．(2015·河南适应性测试)命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是________．[解析]命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是“对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”．[答案]“对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”考点三利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围对含有逻辑联结词的命题中参数讨论问题，应先求出简单命题成立的参数范围，再根据复合命题构成形式求出复合命题成立的条件．“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)(2015·东北三校联考)设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝eq\r(ax2－x＋a)的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________．[解题指导]切入点：当p，q为真时，求出实数a的范围；关键点：对复合命题的真假情况分类讨论．[解析](1)若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.因为p或q是真命题，分为p真q真，p真q假，p假q真，所以a∈R，即a的取值范围是(－∞，＋∞)．(2)根据指数函数的单调性，可知命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|0<a<1}；对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0时，不等式恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－1）2－4a2≤0，))解得a≥eq\f(1,2).综上，命题q为真时，a的取值集合为Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2))))).由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)))))；当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2)))))＝{a|a≥1}．综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[答案](1)(－∞，＋∞)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)根据含有逻辑联结词的命题的真假求解参数取值范围的基本步骤可分为三步：第一步，先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围；第二步，根据含有逻辑联结词的命题的真假，判断两个命题的真假；第三步，根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集运算求解参数的取值范围．[拓展探究](1)在本例(1)条件下，若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．(2)在本例(1)条件下，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．(3)把本例(2)中的“p∨q是真命题，p∧q是假命题”改为“綈p是真命题，p∨q是真命题”，结果如何？[解](1)∵p∧q为真，∴p和q均为真，∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)∵p∧q为真命题时，a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)，∴p∧q为假命题时，a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．(3)根据指数函数的单调性，可知命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|0<a<1}；对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0时，不等式恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－1）2－4a×a≤0，))解得a≥eq\f(1,2).综上，命题q为真时，a的取值集合为Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2))))).由“綈p是真命题，p∨q是真命题”，可知命题p假q真．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a≥\f(1,2)，))得a≥1.故实数a的取值范围是[1，＋∞)．————————方法规律总结————————[方法技巧]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．[易错点睛]1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定；非p或非q.3．“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．课时跟踪训练(三)一、选择题1．(2015·郑州第三次质量预测)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，2x－1>0C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2[解析]对于D选项，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\