140909板壳力学2课件

第三节四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲第二节薄板的压曲第一节薄板受纵横荷载的共同作用第六章薄板的稳定问题第四节圆形薄板的压曲

第五节用能量法求临界载荷

第六节用能量法求临界载荷举例第三节四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲第二节薄板

当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度弯曲理论求解。

§6-1薄板受纵横荷载的共同作用

第六章薄板的稳定问题

当薄板仅受纵向荷载作用时,按平面应力问题求解。

当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度弯曲理论求解。第一节薄板受纵横荷载的共同作用平衡微分方程

当薄板受纵横荷载共同作用时,若纵向荷载很小,中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。叠加原理成立。

当薄板受纵横荷载共同作用时,若中面内力并非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加原理不成立。第一节薄板受纵横荷载的共同作用平衡微分方程当薄板受

考虑薄板任一微分块的平衡。

由通过微分块中心而平行于z轴的力矩平衡，有:

平衡微分方程第一节薄板受纵横荷载的共同作用(6-1)

由x和y方向的投影平衡,有:

考虑薄板任一由通过微分块中平衡微分方程第一节由z方向的投影平衡:

计入横向剪力、中面拉压力、中面平错力的影响（略去三阶微量），有：平衡微分方程第一节薄板受纵横荷载的共同作用(6-2)

由z方向的投影平衡:计入横向剪力、中面拉压力、中面平具体求解：具体求解第一节薄板受纵横荷载的共同作用具体求解：具体求解第一节薄板受纵横荷载的共同作用平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。

§6-2薄板的压曲第六章薄板的稳定问题薄板的压曲

稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。不稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板无法恢复平面平衡状态。薄板在边界上受有纵向荷载时：平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。§6-2薄薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。第二节薄板的压曲薄板的压曲当纵向荷载达到临界值后,荷载的稍许增加将引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要分析内容。薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，称纵弯曲或压临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载的最小值。第二节薄板的压曲薄板的压曲薄板压曲的微分方程：求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。(6-3)

临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载的最小值。第二设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为，试确定临界荷载。§6-3四边简支的矩形薄板

在均布压力下的压曲第六章薄板的稳定问题算例分析设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板第三节四边简支的矩形薄板算例分析中面内力有：由压曲微分方程（6-3），得：取挠度表达式为：满足边界条件第三节四边简支的矩形薄板算例分析中面内力有：由压曲微分第三节四边简支的矩形薄板算例分析由压曲微分方程，得：要使系数不全等为零，要求：纵向荷载临界值需满足的压曲条件：（6-4）第三节四边简支的矩形薄板算例分析由压曲微分方程，得：要第三节四边简支的矩形薄板要求最小的临界荷载，要求，即在y方向只有一个正弦半波。得：其中：算例分析（6-5）（6-6）第三节四边简支的矩形薄板要求最小的临界荷载，要求第三节四边简支的矩形薄板由此求得：算例分析（6-7）第三节四边简支的矩形薄板由此求得：算例分析（6-7第三节四边简支的矩形薄板

若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：算例分析由压曲微分方程有：（6-8）第三节四边简支的矩形薄板若四边简支矩形薄板在双向受有第三节四边简支的矩形薄板对不同的比值，均可由式（6-8）中取不同的m和n，求得临界荷载。算例分析当为拉力时，取负值，式（6-8）求临界荷载仍适用。第三节四边简支的矩形薄板对不同的比值针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。§6-4圆形薄板的压曲第六章薄板的稳定问题圆形薄板的压曲应力分量的变换：针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变换由直角坐标第四节圆形薄板的压曲压曲微分方程中面内力的变换：压曲微分方程的变换：（6-9）第四节圆形薄板的压曲压曲微分方程中面内力的变换：压曲微分第四节圆形薄板的压曲例题例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力的作用，求临界荷载。中面内力：解：按平面应力问题进行分析。得应力分量：第四节圆形薄板的压曲例题例题：设有圆形薄板，沿板边受有均当，薄板的环向围线分别具有一个及两个波，其余类推。第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程（6-9），有：注：当，薄板的压曲形式是轴对称的。试取微分方程的解为：当，薄板的环向围线分别具有一个及两个波第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程得：注：引入量纲一的变量第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程得：注：引入量纲一整理后得：第四节圆形薄板的压曲例题已知Bessel微分方程其解为：整理后得：第四节圆形薄板的压曲例题已知Be由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系数。由此得：第四节圆形薄板的压曲例题压曲微分方程的解可表示为：（6-10）由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系数

这样，压曲微分方程（6-9）的解为：

在薄板中心处：

第四节圆形薄板的压曲例题（6-11）结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，即为计算临界荷载的方程。这样，压曲微分方程（6-9）的解为：在薄板中心第四节圆形薄板的压曲求解过程

说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边和孔边同时均布压力时，其求解过程为：第四节圆形薄板的压曲求解过程说明：当圆形薄板在中薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:§6-5用能量法求临界荷载第六章薄板的稳定问题能量法若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态,在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别:当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增加还是减少。薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:§6-5用能量法求临若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小，对应于稳定平衡。第五节用能量法求临界荷载能量判据若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大，对应于不稳定平衡。若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳定平衡的极限，相应与这一极限状态的纵向荷载则为临界荷载。若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小，第五节用能量法由能量法求临界荷载的依据：第五节用能量法求临界荷载能量判据

薄板从平面状态进入邻近的弯曲状态时，纵向荷载所做的功等于形变势能的增加。由能量法求临界荷载的依据：第五节用能量法求临界荷载能量形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。第五节用能量法求临界荷载功能方程功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。其中弯曲形变势能：（6-12）（6-13）（6-14）形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。第五节用能量法求以为例，分析其做功：第五节用能量法求临界荷载能量法纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。对图示薄板：左右两边的内力原来相距，当薄板弯曲后的距离为：以为例，分析其做功：第五节用能量法求同理，内力所做的功为：第五节用能量法求临界荷载能量法内力所做的功为：同理，内力所做的功为：第五节用能量法可先按方向的拉压力和伸缩，然后利用（a）和（b）计算，得到：第五节用能量法求临界荷载能量法对于平错力所做的功为：可先按方向的拉压力和伸缩，然

纵向荷载在压曲过程中整体做功：第五节用能量法求临界荷载能量法微分块上全部中面内力做功:（6-15）纵向荷载在压曲过程中整体做功：第五节用能量法求临界荷第五节用能量法求临界荷载能量法求解过程:第五节用能量法求临界荷载能量法求解过程:其中满足位移边界条件的函数，而是互不依赖的待定系数。由最小势能原理，有：第五节用能量法求临界荷载能量法具体求解：（6-16）设定挠度表达式：（6-17）其中满足位移边界条件的函数，而由（6-17）给出求的m个齐次线性方程。为了具有非零解，即要求具有非零解，那么该齐次线性方程组的系数行列式等于零，则得到求解临界荷载的方程。第五节用能量法求临界荷载能量法由（6-17）给出求的m个齐次线性方程。对于加肋板，仍然可按能量法求解。计入肋条的形变势能，归入的表达式。第五节用能量法求临界荷载能量法倘若肋条有直接纵向荷载作用，应计入该纵向荷载在薄板压曲过程中所做的功，归入的表达式。然后再进行计算。对于加肋板，仍然可按能量法求解。计入§6-6能量法求解实例第六章薄板的稳定问题能量法中面内力为：例题1：设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为，试确定临界荷载。§6-6能量法求解实例第六章薄板的稳定问题能量法第六节能量法求解实例实例形变势能：设取压曲后挠度表达式：外力做功：第六节能量法求解实例实例形变势能：设取压曲后挠度表达第六节能量法求解实例实例最小势能原理，有：第六节能量法求解实例实例最小势能原理，有：第六节能量法求解实例例题取挠度表达式（仅取一项）：例题2：设有四边简支的矩形薄板，它的一对边中点受有大小相等而方向相反的两个集中力均布压力作用。第六节能量法求解实例例题取挠度表达式例题2：设第六节能量法求解实例实例形变势能：外力做功：第六节能量法求解实例实例形变势能：外力做功：第六节能量法求解实例实例最小势能原理，有：第六节能量法求解实例实例最小势能原理，有：第六节能量法求解实例例题若取挠度表达式（取两项）：形变势能：外力做功：第六节能量法求解实例例题若取挠度表达式（取两项）：第六节能量法求解实例实例最小势能原理：第六节能量法求解实例实例最小势能原理：第六节能量法求解实例实例命系数行列式等于零：第六节能量法求解实例实例命系数行列式等于零：第六节能量法求解实例实例讨论（）：（1）当挠度仅取一项（2）当挠度取两项（3）当挠度取三项或更多项第六节能量法求解实例实例讨论（）：（1）当第六节能量法求解实例实例结论：（1）当薄板在两对边上受有任意多个成对的、大小相等而方向相反的纵向荷载时，均可用能量法求解临界荷载。（2）若两对边荷载分布方式相同、大小相等而方向相反，也可求得临界荷载。第六节能量法求解实例实例结论：（1）当薄板在两对边上第六节能量法求解实例例题取挠度表达式（仅取一项）：例题3：设有三边简支、一边自由的矩形薄板，在两简支对边上受有均布压力作用。试用能量法求临界荷载。可满足位移边界条件（未全部边界条件）。第六节能量法求解实例例题取挠度表达式例题3：设第六节能量法求解实例例题形变势能：外力做功：第六节能量法求解实例例题形变势能：外力做功：第六节能量法求解实例例题由最小势能原理：第六节能量法求解实例例题由最小势能原理：第六节能量法求解实例实例讨论：当，那么：写上式为：第六节能量法求解实例实例讨论：当，那第三节四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲第二节薄板的压曲第一节薄板受纵横荷载的共同作用第六章薄板的稳定问题第四节圆形薄板的压曲

第五节用能量法求临界载荷

第六节用能量法求临界载荷举例第三节四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲第二节薄板

当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度弯曲理论求解。

§6-1薄板受纵横荷载的共同作用

第六章薄板的稳定问题

当薄板仅受纵向荷载作用时,按平面应力问题求解。

当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度弯曲理论求解。第一节薄板受纵横荷载的共同作用平衡微分方程

当薄板受纵横荷载共同作用时,若纵向荷载很小,中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。叠加原理成立。

当薄板受纵横荷载共同作用时,若中面内力并非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加原理不成立。第一节薄板受纵横荷载的共同作用平衡微分方程当薄板受

考虑薄板任一微分块的平衡。

由通过微分块中心而平行于z轴的力矩平衡，有:

平衡微分方程第一节薄板受纵横荷载的共同作用(6-1)

由x和y方向的投影平衡,有:

考虑薄板任一由通过微分块中平衡微分方程第一节由z方向的投影平衡:

计入横向剪力、中面拉压力、中面平错力的影响（略去三阶微量），有：平衡微分方程第一节薄板受纵横荷载的共同作用(6-2)

由z方向的投影平衡:计入横向剪力、中面拉压力、中面平具体求解：具体求解第一节薄板受纵横荷载的共同作用具体求解：具体求解第一节薄板受纵横荷载的共同作用平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。

§6-2薄板的压曲第六章薄板的稳定问题薄板的压曲

稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。不稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板无法恢复平面平衡状态。薄板在边界上受有纵向荷载时：平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。§6-2薄薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。第二节薄板的压曲薄板的压曲当纵向荷载达到临界值后,荷载的稍许增加将引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要分析内容。薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，称纵弯曲或压临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载的最小值。第二节薄板的压曲薄板的压曲薄板压曲的微分方程：求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。(6-3)

临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载的最小值。第二设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为，试确定临界荷载。§6-3四边简支的矩形薄板

在均布压力下的压曲第六章薄板的稳定问题算例分析设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板第三节四边简支的矩形薄板算例分析中面内力有：由压曲微分方程（6-3），得：取挠度表达式为：满足边界条件第三节四边简支的矩形薄板算例分析中面内力有：由压曲微分第三节四边简支的矩形薄板算例分析由压曲微分方程，得：要使系数不全等为零，要求：纵向荷载临界值需满足的压曲条件：（6-4）第三节四边简支的矩形薄板算例分析由压曲微分方程，得：要第三节四边简支的矩形薄板要求最小的临界荷载，要求，即在y方向只有一个正弦半波。得：其中：算例分析（6-5）（6-6）第三节四边简支的矩形薄板要求最小的临界荷载，要求第三节四边简支的矩形薄板由此求得：算例分析（6-7）第三节四边简支的矩形薄板由此求得：算例分析（6-7第三节四边简支的矩形薄板

若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：算例分析由压曲微分方程有：（6-8）第三节四边简支的矩形薄板若四边简支矩形薄板在双向受有第三节四边简支的矩形薄板对不同的比值，均可由式（6-8）中取不同的m和n，求得临界荷载。算例分析当为拉力时，取负值，式（6-8）求临界荷载仍适用。第三节四边简支的矩形薄板对不同的比值针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。§6-4圆形薄板的压曲第六章薄板的稳定问题圆形薄板的压曲应力分量的变换：针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变换由直角坐标第四节圆形薄板的压曲压曲微分方程中面内力的变换：压曲微分方程的变换：（6-9）第四节圆形薄板的压曲压曲微分方程中面内力的变换：压曲微分第四节圆形薄板的压曲例题例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力的作用，求临界荷载。中面内力：解：按平面应力问题进行分析。得应力分量：第四节圆形薄板的压曲例题例题：设有圆形薄板，沿板边受有均当，薄板的环向围线分别具有一个及两个波，其余类推。第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程（6-9），有：注：当，薄板的压曲形式是轴对称的。试取微分方程的解为：当，薄板的环向围线分别具有一个及两个波第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程得：注：引入量纲一的变量第四节圆形薄板的压曲例题由压曲微分方程得：注：引入量纲一整理后得：第四节圆形薄板的压曲例题已知Bessel微分方程其解为：整理后得：第四节圆形薄板的压曲例题已知Be由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系数。由此得：第四节圆形薄板的压曲例题压曲微分方程的解可表示为：（6-10）由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系数

这样，压曲微分方程（6-9）的解为：

在薄板中心处：

第四节圆形薄板的压曲例题（6-11）结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，即为计算临界荷载的方程。这样，压曲微分方程（6-9）的解为：在薄板中心第四节圆形薄板的压曲求解过程

说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边和孔边同时均布压力时，其求解过程为：第四节圆形薄板的压曲求解过程说明：当圆形薄板在中薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:§6-5用能量法求临界荷载第六章薄板的稳定问题能量法若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态,在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别:当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增加还是减少。薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:§6-5用能量法求临若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小，对应于稳定平衡。第五节用能量法求临界荷载能量判据若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大，对应于不稳定平衡。若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳定平衡的极限，相应与这一极限状态的纵向荷载则为临界荷载。若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小，第五节用能量法由能量法求临界荷载的依据：第五节用能量法求临界荷载能量判据

薄板从平面状态进入邻近的弯曲状态时，纵向荷载所做的功等于形变势能的增加。由能量法求临界荷载的依据：第五节用能量法求临界荷载能量形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。第五节用能量法求临界荷载功能方程功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。其中弯曲形变势能：（6-12）（6-13）（6-14）形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。第五节用能量法求以为例，分析其做功：第五节用能量法求临界荷载能量法纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。对图示薄板：左右两边的内力原来相距，当薄板弯曲后的距离为：以为例，分析其做功：第五节用能量法求同理，内力所做的功为：第五节用能量法求临界荷载能量法内力所做的功为：同理，内力所做的功为：第五节用能量法可先按方向的拉压力和伸缩，然后利用（a）和（b）计算，得到：第五节用能量法求临界荷载能量法对于平错力所做的功为：可先按方向的拉压力和伸缩，然

纵向荷载在压曲过程中整体做功：第五节用能量法求临界荷载能量法微分块上全部中面内力做功:（6-15）纵向荷载在压曲过程中整体做功：第五节用能量法求临界荷第五节用能量法求临界荷载能量法求解过程:第五节用能量法求临界荷载能量法求解过程:其中满足位移边界条件的函数，而是互不依赖的待定系数。由最小势能原理，有：第五节用能量法求临界荷载能量法具体求解：（6-16）设定挠度表达式：（6-17）其中满足位移边界条件的函数，而由（6-17）给出求的m个齐次线性方程。为了具有非零解，即要求具有非零解，那么该齐次线性方程组的系数行列式等于零，则得到求解临界荷载的方程。第五节用能量法求临界荷载能量法由（6-17）给出求的m个齐次线性方程。对于加肋板，仍然可按能量法求解。计入肋条的形变势能，归入的表达式。第五节用能量法求临界荷载能量法倘若肋条有直接纵向荷载作用，应计入该纵向荷载在薄板压曲过程中所做的功，归入的表达式。然后再进行计算。对于加肋板，仍然可按能量法求解。计入§6-6能量法求解实例第六章薄板的稳定问题能量法中面内力为：例题1：设有四边简支的矩形薄板，