函数的极值与函数图像

关于函数的极值与函数图像第一页，共二十三页，2022年，8月28日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数第二页，共二十三页，2022年，8月28日巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)>0,得x<0或x>1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)单减区(0,1).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,

2:其次区间不能用

(U)连接（第一步）解：（第二步）（第三步）第三页，共二十三页，2022年，8月28日

f

(x)<0

yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0极值x2

xX<x2

x2X>x2

f(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f(x)

f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0注意:(1)

f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同

，

x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0第四页，共二十三页，2022年，8月28日求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结第五页，共二十三页，2022年，8月28日因为所以例1

求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.第六页，共二十三页，2022年，8月28日变式求下列函数的极值:解:

令解得列表:x0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值第七页，共二十三页，2022年，8月28日求下列函数的极值:解:

解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.第八页，共二十三页，2022年，8月28日求下列函数的极值:解:

解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22

.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2

.第九页，共二十三页，2022年，8月28日例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析]

(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.第十页，共二十三页，2022年，8月28日[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．第十一页，共二十三页，2022年，8月28日第十二页，共二十三页，2022年，8月28日第十三页，共二十三页，2022年，8月28日第十四页，共二十三页，2022年，8月28日而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.代入①式，得a(x2－1)＝0.∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.∴a＝2，b＝0.第十五页，共二十三页，2022年，8月28日注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为

。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②

f(x)=在x=0

处取极大值0，③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。⑤函数的极值即为最值第十六页，共二十三页，2022年，8月28日有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,

已知函数解得a>6或a<3第十七页，共二十三页，2022年，8月28日练习1：

求在时极值。第十八页，共二十三页，2022年，8月28日练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与x=-1

处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.第十九页，共二十三页，2022年，8月28日练习3：

已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值第二十页，共二十三页，2022年，8月28日练习4

：设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日小结：1个定义:

极值定义2个关键：

①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0

。

②极值点左右两边的导数必须异号