切线与法平面

关于切线与法平面第一页，共三十三页，2022年，8月28日问题的提出

我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量第二页，共三十三页，2022年，8月28日切线方程为法线方程为的某邻域内满足隐函数定理条件，则

一.

平面曲线的切线与法线第三页，共三十三页，2022年，8月28日求曲线上过点的切线方程，这里㈠设曲线用参数方程表示为二.空间曲线的切线与法平面第四页，共三十三页，2022年，8月28日由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程在上式各端的分母都除以第五页，共三十三页，2022年，8月28日由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是第六页，共三十三页，2022年，8月28日曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是㈡如果曲线的方程表示为可以把它写成如下的以为参数的参数方程于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：第七页，共三十三页，2022年，8月28日㈢一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：设，设上述方程组在点确定了一对函数由这两个方程可解出这时容易把它化成刚才讨论过的情形：第八页，共三十三页，2022年，8月28日从而可得曲线在点的切线方程：和法平面方程第九页，共三十三页，2022年，8月28日解：在（1，1，1）点对应参数为t=1切线方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲线在点处的切线及法平面方程。第十页，共三十三页，2022年，8月28日例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。法平面方程：x-z=0切线方程：第十一页，共三十三页，2022年，8月28日例求曲线在点的切线与法平面方程解在曲线方程中分别对求导，得对应于点的参数，于是从而切线方程为法平面方程为第十二页，共三十三页，2022年，8月28日例求两柱面的交线在点：处的切线方程。第十三页，共三十三页，2022年，8月28日解在方程组中分别对求导数，得于是从而在点有：第十四页，共三十三页，2022年，8月28日所以切线方程为：即此直线可看作是平面与平面的交线。第十五页，共三十三页，2022年，8月28日三曲面的切平面与法线㈠设曲面方程为过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为显然有在上式两端对求导，得第十六页，共三十三页，2022年，8月28日曲线在M处的切向量第十七页，共三十三页，2022年，8月28日上式说明向量与切线向量正交。从而曲面在点的切平面方程为由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。在点（设点对应于参数）有第十八页，共三十三页，2022年，8月28日过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为该法线的一组方向数为：第十九页，共三十三页，2022年，8月28日综上所述若曲面方程为则该曲面在点的切平面方程为过点的法线方程为第二十页，共三十三页，2022年，8月28日设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日㈡若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在（这里）点的切平面方程为法线方程为第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日㈢若曲面方程为参数形式：如果由方程组可以确定两个函数：于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。代入方程，得因此需分别计算对的偏导数。第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有解方程组，得第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日法线方程于是曲面在点的切平面方程为第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日例1求球面在点的切平面及法线方程解设则所以在点处球面的切平面方程为法线方程第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例2证明对任意常数，球面与锥面是正交的。第二十七页，共三十三页，2022年，8月28日即证明球面的法线方向数为锥面的法线方向数为在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。第二十八页，共三十三页，2022年，8月28日解切平面方程为法线方程为第二十九页，共三十三页，2022年，8月28日解令切平面方程法线方程第三十页，共三十三页，2022年，8月28日解设