分类计数原理和分步计数原理一

关于分类计数原理和分步计数原理一第一页，共十五页，2022年，8月28日甲问题1

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙火车2火车1火车3汽车1汽车23+2=5（种）第二页，共十五页，2022年，8月28日分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋＋mn种不同的方法第三页，共十五页，2022年，8月28日关于分类计数原理的几点注意：

⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．第四页，共十五页，2022年，8月28日火车2火车1火车3问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲乙丙汽车2汽车1火车1－汽车1火车1－汽车2火车2－汽车1火车2－汽车2火车3－汽车1火车3－汽车2第五页，共十五页，2022年，8月28日分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第ｎ步有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．分步计数原理又叫作“乘法原理”第六页，共十五页，2022年，8月28日关于分步计数原理的几点注意⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；

⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．第七页，共十五页，2022年，8月28日分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．第八页，共十五页，2022年，8月28日例题例1.某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？

分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9。

(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=

5种方法;第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第九页，共十五页，2022年，8月28日例题例2书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?

注意区别“分类”与“分步”第十页，共十五页，2022年，8月28日解:

(1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。(2)从书架的1、2、3层各取一本书,需要分三步完成,第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步,从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有4×3×2=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步第十一页，共十五页，2022年，8月28日例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是答：有6种不同的选法。第十二页，共十五页，2022年，8月28日

日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法不同排法如下图所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙

日班晚班第十三页，共十五页，2022年，8月28日

1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展开后共有项？

4+5=9３×４×５＝６０练习2：1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.72、火车上有10名乘客