损伤与断裂力学第章矿大高峰

第4章线弹性断裂力学

的基本理论4-1应力强度因子概念和能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。

裂纹尖端正前方的应力分布

裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力:

裂纹面上的位移在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s的裂纹。此时在原坐标系的x=r处或离新裂纹端点s-r处，新裂纹上表面的位移v(s-r,π)：裂纹形成时外力做功

当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的功为：B为平板的厚度能量释放与应力强度因子按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。因此，按照I型裂纹能量释放率GI的定义:当s→0时，有[KI]a+s→KI，经过积分得：简化的统一形式对于平面问题，若取有效弹性模量E1和有效泊松比ν1，而平面应力平面应变则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同。于是：这就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。

其余裂纹类型情况

上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则有：

如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放率为：提示

实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。因此总能量释放率只是近似估计式。如果要考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。?练习思考题为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强度因子却不能?习题试建立II型和III型裂纹的应力强度因子和能量释放率之间的关系。4-2柔柔度法法柔度法法是通通过柔柔度随随裂纹纹长度度而改改变这这个性性质，，用测测量的的方法法来得得到G，然然后再再利用用G与与K的的关系系来得得到K值。。由于I型裂裂纹的的G与与K的的关系系式是是精确确的，，并且且I型型裂纹纹容易易施加加载荷荷，所所以柔柔度法法一般般只用用在I型裂裂纹。。I型裂裂纹是是最危危险的的。恒载荷荷和恒恒位移移时G的表表达式式当边界界是给给定位位移时时，外外界对对系统统不做做功，，则这是恒恒位移移时能能量释释放率率的表表达式式。若系统统边界界某范范围是是给定定载荷荷，这是恒恒载荷荷时的的能量量释放放率表表达式式。柔度法法一般般限制制在二二维问问题，，尤其其是I型裂裂纹，，柔度度法通通常用用来做做应力强度度因子子的标标定恒载荷荷柔度度法一块很很长的的矩形形板，，板厚厚为B，板板下边边固定定，上上边某某点有有拉力力P，，载荷荷点位位移为为δ。。拉力力P方方向垂垂直裂裂纹面面。在在裂长长为a时，，拉力力P可可产生生位移移δ(a)，当当裂纹纹增至至时，位位移也也增至至:因为位位移和和拉力力有如如下关关系∶∶,C是柔度度,于是是：恒位移移柔度度法长矩形形板如如图，，一边边固定定，另另一边边强迫迫作位位移后后也加加以固固定。。假设设裂纹纹长度度由由增增至，，则应应变能能的改改变是是△OBC减去去△OAC，即即等于于负的的△OAB的面面积，，。此此时，，载荷荷改变变量△△P也也是负负值。。应该指指出，，载荷荷与位位移之之间的的正比比关系系是建建立在在材料料服从从虎克克定律律的基基础上上，因因此要要求裂裂纹尖尖端的的塑性性区是是微小小的，，如果果裂端端塑性性区大大到不不可忽忽略时时，则则载荷荷与位位移之之间的的线性性关系系不再再成立立，这这时属属于弹弹塑性性断裂裂力学学的范范围。。柔度法法一般般应用用于恒恒载荷荷时平平板的的I型型裂纹纹问题题，要要求裂裂纹前前沿整整齐，，有相相同的的能量量释放放率。。整个个应力力强度度因子子标定定的步步骤如如下∶∶(1)选选定一一标准准试件件－长长条板板单边边裂纹纹试件件，用用薄刀刀片加加工，，制成成长为为a1的I型型裂纹纹。然然后材材料试试验机机上拉拉伸，，画出出拉力力和加加载点点位移移关系系线。。此时时关系系应是是线性性的。。拉力值值不得得大到到使P-δ关系产产生非非线性性。下下一步步，再再度使使裂纹纹稍稍稍延长长至长长度a2，有在在同一一张纪纪录纸纸上记记下此此时的的P-δ关系。。如此此进行行至少少十多多次，，裂纹纹长度度已相相当长长时才才停止止。(2)求求出不不同裂裂纹长长度下下的柔柔度C，，，柔度度C是是直线线P-δ斜率的的倒数数。把把柔度度与裂裂长的的关系系画在在图中中。若若是数数据点点足够够多，，可用用最小小二乘乘法把把数据据点拟拟合成成一条条多项项式表表示的的曲线线。习题1.求求恒拉拉力下下双悬悬臂梁梁试件件的应应力强强度因因子。。2.有有限大大小弹弹性圆圆柱体体含有有位于于中心心的圆圆裂纹纹时，，试求求在拉拉力作作用下下类似似的的能能量释释放率率表达达式。。3.如如图所所示，，在上上下表表面，，有位位移v=±±v0和τxy=0，即被被刚体体固接接。此此时横横向位位移u不受受约束束。求求在平平面应应力时时的应应力强强度因因子。。4-3断断裂判判据断裂过过程区区断裂总总是始始于裂裂端的的极小小区域域，当当其损损伤达达到临临界程程度时时才发发生的的。在在此小小区域域中材材料的的微结结构起起决定定影响响，也也是宏宏观力力学不不适用用的地地方。。这个个小区区域就就叫做做断裂过过程区区FPZ(fractureprocesszone)。K场区区在第三三章中中，给给出各各型裂裂纹的的裂端端应力力场时时，已已忽略略掉高高次项项，因因此也也仅适适合裂裂纹尖尖端的的小区区域内内，此此区域域称为为K场区区。K场场区内内的应应力应应变强强度可可用应应力强强度因因子来来度量量；场场区外外则须须加上上高次次项。。关于K场区区和断断裂过过程区区如果K场区区尺寸寸小于于断裂裂进行行区尺尺寸，，则计计算应应力强强度因因子已已失掉掉意义义，此此时宏宏观力力学在在裂端端区是是不实实用的的。反过来来，若若K场场区尺尺寸比比断裂裂进行行区尺尺寸大大几倍倍以上上，则则断裂裂进行行区是是否会会发生生断裂裂，受受其外外部的的K场场区强强度所所制约约，因因此，，断裂裂判据据可建建立在在K场场区强强度是是否达达到临临界条条件这这个基基础上上。由于无无限大大应力力实际际上不不存在在，裂裂端总总有个个塑性性区，，而塑塑性区区内的的应力力是有有界的的。因因此，，应力力强度度因子子断裂裂判据据成立立的条条件是是，塑塑性区区尺寸寸比K场区区小几几倍，，也要要比裂裂纹长长度小小几倍倍以上上。幸运的的是，，许多多高强强度合合金和和工程程材料料在发发生脆脆性断断裂时时，多多是K场区区强度度起支支配作作用的的。因因此，，应力强强度因因子断断裂判判据适适合于于这些些材料料的脆脆性断断裂。。断裂判判据对于一一个单单独型型的裂裂纹，，利用用应力力强度度因子子和能能量释释放率率的关关系，，可有有断裂裂判据据：I型裂裂纹是是最常常见的的裂纹纹型，，其失失稳断断裂开开始的的临界界点Kcr，通常常与试试件(或构构件)的厚厚薄、、大小小有关关。当当试件件(或或构件件)厚厚到某某一程程度和和大到到某一一程度度，脆脆性材材料的的Kcr值达到到极小小值，，以后后尺寸寸厚度度再增增加，，Kcr仍维持持此极极小值值，此此极小小值用用符号号代表表即为为KIC，其相相应的的GIC值称为为平面面应变变的断断裂韧韧度。。因此此，I型裂裂纹保保守的的判据据为:断裂判判据可可以解解决下下列两两个问问题(1)当知知道工工作载载荷时时，可可以计计算出出断裂裂时的的临界界裂纹纹尺寸寸；(2)当知知道裂裂纹尺尺寸和和位置置时，，可计计算出出可能能引起起断裂裂的载载荷。。例题题例题34GrNi3Mo钢所所制成成的粗粗轴，，探伤伤检查查发现现主要要的缺缺陷是是内部部有一一半径径为40mm的的圆裂裂纹，，裂纹纹面的的法线线方向向与轴轴向平平行。。已知知轴半半径远远大于于裂纹纹尺寸寸，同同时测测得钢钢的KIC为99.2MN/m3/2,试问问要是是发生生断裂裂，轴轴向拉拉伸应应力至至少有有多大大?解答答因为粗粗轴半半径远远大于于圆裂裂纹半半径，，可采采用无无限大大弹性性体有有圆裂裂纹的的应力力强度度因子子的解解。于于是临临界条条件为为：于是：：习题题1．有有一平平均半半径为为800mm，，壁厚厚10mm的圆圆柱壳壳形高高压容容器，，所用用钢材材具有有KIC值130MN/m3/2,现发发现有有一长长为12mm、、最深深为4mm的内内表面面半椭椭圆轴轴向裂裂纹。。问(A)内压压多达达时才才会发发生断断裂?(B)若若内压压只是是临界界内压压的1/4，并并假设设裂纹纹形状状不变变，问问裂纹纹扩展展至多多大才才会发发生断断裂?2．在在习题题1中中，若若发现现的裂裂纹是是长为为200mm，深深为4mm的的内表表面横横向(圆周周向)裂纹纹。试试求出出习题题1中中的两两个问问题。。4-4阻阻力曲曲线能量释释放率率可做做为裂裂纹是是否扩扩展的的倾向向能力力的度度量，，又称称为裂裂纹扩扩展力力。裂裂纹扩扩展力力必须须大于于裂纹纹扩展展阻力力，裂裂纹才才有可可能扩扩展。。对平平面应应变的的脆性性断裂裂来说说，裂裂纹扩扩展阻阻力由由KIC确定，，是个个常数数值，，不随随裂纹纹增长长而变变。但但对不不同厚厚度的的平板板，尤尤其是是厚度度小于于平面面应变变所要要求的的厚度度时，，裂纹纹扩展展阻力力不再再是常常数。。为了了说明明裂纹纹扩展展阻力力的观观念，，现在在以平平面应应变无无限大大平板板I型型中心心裂纹纹为例例，脆性断断裂阻阻力曲曲线当拉伸伸应力力保持持定值值时，，裂纹纹扩展展力G随a增加加而线线性上上升。。在1时，裂裂纹半半长度度为a1就达到到裂纹纹扩展展阻力力值GIC。超过过a1，就发发生失失稳断断裂；；低于于a1，则裂裂纹不不扩展展。脆性断断裂阻阻力曲曲线以小于于1的拉伸伸应力力2作用时时，必必须超超过较较长的的a2才会发发生断断裂。。图中中带箭箭头的的直线线代表表裂纹纹扩展展力，，只有有当裂裂纹扩扩展力力大于于常数数值的的阻力力R=KIC，才会会发生生失稳稳断裂裂。脆性断断裂阻阻力曲曲线如果将将x轴轴改为为代表表裂纹纹扩展展增量量Δa，则可可以改改画成成下图图。Δa＞0部部分才才是真真正扩扩展。。Δa＜0部部分即即表示示不扩扩展，，而以以负方方向离离原点点的距距离表表示裂裂纹半半长度度的大大小。。韧性断断裂阻阻力曲曲线在板厚厚较薄薄而不不合乎乎平面面应变变条件件时，，裂纹纹扩展展阻力力R随随Δa增加而而增加加。图图(4－9)的的例子子仍是是Griffith裂纹纹，此此时裂裂纹扩扩展阻阻力是是一曲曲线。。此曲曲线叫叫做阻阻力曲曲线或或R曲曲线。。图4-9非非平平面应应变的的R曲线韧性断断裂阻阻力曲曲线例如在在韧性性断裂裂时，，裂纹纹扩展展阻力力往往往是呈呈曲线线的。。一旦旦达到到并稍稍为超超过裂裂纹开开始扩扩展的的条件件时，，若外外力仍仍维持持不变变，则则较长长的裂裂纹(例如如图中中的裂裂长a2受到2作用时时)有有可能能稍为为扩展展，然然后很很快地地停止止下来来。只只有当当外力力较大大时，，才有有可能能引起起失稳稳扩展展。图4-9非非平平面应应变的的R曲线韧性断断裂阻阻力曲曲线阻力曲曲线的的测定定一般般是针针对裂裂纹扩扩展阻阻力不不为常常数值值时才才实施施。脆脆性材材料平平面应应变的的恒载载荷试试验时时，试试件一一启裂裂就立立即失失稳扩扩展。。但对对阻力力随裂裂纹扩扩展增增量而而变的的情形形，达达到启启裂点点后不不一定定会发发生扩扩展，，即使使扩展展也不不一定定是失失稳扩扩展。。当扩扩展力力稍稍稍超过过启裂裂点时时，往往往有有一段段稳定定扩展展(也也叫做做亚临临界裂裂纹扩扩展)。当当达到到失稳稳断裂裂时，，这时时的Δa量已达达到不不可忽忽略了了，对对于有有稳定定扩展展阶段段的断断裂韧韧度测测试中中，若若监测测启裂裂点不不容易易时，，可以以用阻阻力曲曲线的的测量量，然然后用用外推推法得得出启启裂点点。思考题题1.在在带裂裂纹平平板的的表面面铆接接或焊焊接一一块平平板，，把裂裂纹覆覆盖起起来(此称称为加加筋板板)。。试根根据阻阻力曲曲线的的原理理，讨讨论裂裂纹可可能的的扩展展行为为。2.如如果已已测量量到一一组(R,Δa)数据据，这这里R是裂裂纹扩扩展阻阻力。。你如如何得得到启启裂时时的R值?3.图图(4－9)中中，若若裂纹纹很短短(例例如为为a1)，裂裂纹扩扩展力力为G1的概念念在什什么情情况下下是正正确的的?什什么情情况下下是不不正确确的?4-5应应变能能密度度因子子考虑二二维的的裂纹纹问题题，受受到I、II、III型三种种载荷荷中的的任一一种或或两种种以上上载荷荷的作作用。。裂纹纹前缘缘是平平直的的，即即整个个前缘缘各点点的应应力强强度因因子值值都相相同，，如图图所示示，裂裂纹端端点区区附近近的一一点P处有有体积积元，，其应应力场场为三三种裂裂纹应应力场场的叠叠加：一般情情况下下的裂裂纹尖尖端应应力场场平面应应力平面应应变记应变能能密度度公式式于是，，平面面应变变时在在P点点的应应变能能密度度为：：式中：：FPZ设裂端端有个个以裂裂端为为原点点、半半径为为r0的圆形形损伤伤核(或叫断断裂进进行区区)。设r0值远小小于K场区区尺寸寸，如如此，，在脆脆性断断裂时时，断断裂是是否会会发生生要由由K场场区应应力应应变强强度来来决定定。对于复复合型型裂纹纹，应应变能能密度度可综综合度度量K场区区应力力应变变的强强度；；更重要要的是是，应应变能能密度度是个个单参参数，，它代代替两两个以以上的的应力力强度度因子子(多参数数)。因此此，根根据应应变能能密度度的概概念而而建立立的断断裂判判据，，显然然要比比多参参数判判据简简单。。K场区区损伤核核周界界是损损伤核核与K场区区的交交界。。在K场区区所有有位置置的应应变能能密度度中，，周界界上的的应变变能密密度对对断裂裂是否否发生生，起起着决决定性性的作作用。。应变能能密度度因子子S此应变变能密密度因因子只只是极极坐标标θ的的函数数，与与另一一变数数r无无关。。Sih(薛昌明明)假说Sih(薛昌昌明)提出出下列列两个个假说说∶（1））裂纹纹扩展展的方方向为为S的的一个个局部部极小小值的的方向向，即即这里θθ0为裂纹纹扩展展角，，或叫叫做开开裂角角。（2））当此S极小小值，，即Smin=S(θ0)，达达到或或超过过一临临界值值Scr时，就就发生生失稳稳断裂裂。薛昌明明介绍绍国际著名学学者、美籍籍华裔科学学家、美国国Lehigh大大学资深教教授、现代代工程断裂裂力学的奠奠基人之一一，Lehigh大学断裂裂与固体力力学研究所所所长。现现担任华东理工大大学特聘兼职教教授等。生于1953年获美美国Porland大学机械械工程学士士学位，1957年年获美国纽约大学机械工程硕硕士学位，，1960年获美国国里海大学学机械工程程博士学位位。1965年，任任美国里海海大学教授授。从1965年开开始，薛博博士先后兼兼任美国加加州理工学学院客座教教授（1965）、、美国Hahnemann医医学院和费费城医院兼兼职教授（（1972）、西安交通大大学名誉教授（（1995）、清华大学客座教授（（1995）、中国科学院院荣誉研究员员（1995）、西西安交通大大学高科技技研究院院院长（1996）、、中国科技技大学客座座教授（1997））等。主要兼职有有：国际理理论与应用用断裂力学学杂志主编编；国际断断裂力学杂杂志地区编编委；美国国ASME应用力学学杂志副主主编；工程程断裂力学学杂志、断断裂杂志、、热传导杂杂志和先进进复合材料料杂志的编编辑顾问委委员会成员员；美国机机械工程师师协会（ASME））理事；国国际断裂协协会名誉理理事；国际际断裂联合合会和国际际细观力学学学会的创创始人。薛薛昌明教授授编写出版版了六本学学术专著，，编撰出版版了6个系系列31卷卷的科学技技术系列丛丛书，编撰撰出版了24次学术术会议论文文集，获得得了3项美美国专利，，发表了350余篇篇学术论文文。疑问问上述的假说说给出了裂裂纹的开裂裂角和失稳稳断裂发生生的条件，，但损伤核究究竟有多大大?真的是圆形形吗?这些都是薛薛昌明避而而不谈的地地方。此外，有有局部极小小值的角度度可能不只只一处，裂裂纹开裂的的方向究竟竟其中哪一一方向?是不是最小小的那个方方向?从物理意义义讲，应变变能密度最最小的地方方，应该是是最稳定的的地方，因因为可以释释放的多余余的能量较较少。而应应变能密度度最大处则则有更多的的能量可释释放，因此此应该比较较不稳定，，比较容易易从该处开开裂。基于于上述的争争论，薛昌明对此理论做做了一番补补充。薛昌明的补补充说明考虑到损伤伤核尺寸甚甚小，该区区域的塑性性变形相当当大，应变变能密度可可以分为两两部分，一一部分是体体积膨胀能能密度，另另一部分是是歪形能密密度。决定脆性开开裂的是体体积膨胀能能密度，决决定塑性失失稳的则是是歪形能密密度。因此，在S的几个局局部极小值值的角度处处，裂纹应应沿体积膨膨胀能密度度较大的方方向开裂。。在S最大值值处，可以以验证此处处歪形能密密度是占支支配地位的的。体积膨胀能能和歪形能能考察应变能能密度，可可以分静水水应力引起起的体积膨膨胀能密度度和歪变形形引起的歪歪形能密度度两部分，，如图所示示。因此应变能能密度可分分为：下标V代表表体积膨胀胀部分，D代表歪形形部分。由弹性力学学公式可得得：薛昌明认为为I型裂纹纹开裂方向向，虽说是是Smin在所处方向向，但此时时(dU/dV)V占支配地位位。S因子理论论的验证现在考虑平平面应变I型裂纹来验验证S因子子理论是否否恰当。对于I型裂裂纹：即：于是：时，S有极极小值。时时，，S有极大大值。在损伤核周周界，应变变能密度因因子分为膨膨胀和歪变变形相关的的两部分，，即对I型裂纹，在在时时：这里若取νν=1/3，则有:故平面应变变I型裂纹的在在薛昌明应变能密度度因子理论论所确定的的开裂角处处膨胀变形形能占支配配地位。习题题试用应变能能密度因子子的假说求求平面应变变II型裂裂纹的可能能扩展方向向。问此时时SV是否仍占支支配地位?在无限大大平板有相相同的中心心裂纹时，，问纯I型型裂纹和II型裂纹纹的临界应应力比σcr/τcr为多少?试求平面应应变I型裂裂纹的SV表达式，问问其极大值值是否在θθ=0的的方向?4-6平平面I-II复合型型裂纹S因子判据据：S因子理论论由Sih的的因子理论论可确定裂裂纹扩展方方向。现在在以无限大大平板有穿穿透板厚的的斜裂纹为为例，来确确定可能的的裂纹扩展展方向和断断裂时机。。S因子理论论在xy坐标标系下，无无穷远处的的应力分量量为:σσy=σ,σx=τxy=0。在新坐标系系xy下，，应力分量量变为:这是I、II型复合裂纹问问题，其应力强度度因子为：：S因子理论论确定裂纹扩扩展方向的的方程：此时：由S因子第第二个假说说，断裂判判据为:S因子理论论对于不同的的β角，表表给出上述述例题的开开裂角θ0，表中数据据是在ν=1/3的的情形下得得到的（单单位:度））。最大周向应应力理论与S因子假假说比较，，最大周向向应力理论论显得比较较简单，且且容易被接接受，此理理论假设∶∶裂纹是沿沿着裂端区区圆形损伤伤周界的最最大周向应应力所处位位置的方向向开裂。现现在仍以I和II型型复合型来来说明：裂端区周向向应力和剪剪切应力可可由应力转转换而得到到：对求偏导，，得：确定开裂角角的方程为为：即：所得结果与与S因子理理论相差不不多。