初中数学人教八年级上册第十三章轴对称全等小专题-半角模型XGPPT

★★全等三角形的构造---小专题探究★★学习目标：用‘截长补短’构造全等三角形的方法来解决半角模型中的线段和差问题。（一）温故知新：1.已知：如图，∠BAD=90°

∠EAF=45°,则∠BAE+∠DAF=

度.

452.已知：如图，AB⊥BD，AC⊥CD

∠BAC=60°,(1)∠BDC=

度.(2)若∠MDN=60°,则∠BDM+∠CDN=

度.

（一）温故知新：12060已知：在正方形ABCD中，M、N在BC、CD上,且满足∠MAN=45°，求证：DN+BM=MN（二）合作探究：1、“正方形内半角”模型：证明方法：内半角，外补短证明！倒两组全等换线换角！证明：延长CB到N',使得BN'=DN,连结AN'∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD(正方形的四条边都相等)AD⊥CDAB⊥BCAB⊥AD(正方形的邻边相互垂直)∵AB=AD∠ADN=∠ABN'DN=BN'∴△ADN≌△ABN'(SAS)∴AN'=AN(全等三角形的对应边相等)∵△ADN≌△ABN'∴∠N'AB=∠NAD(全等三角形的对应角相等)∵∠MAN=45°AB⊥AD∴∠BAM+∠NAD=45°∵∠BAM+∠NAD=45°∠N'AB=∠NAD∴∠BAM+∠N'AB=45°即∠N'AM=45°

∵AN'=AN∠N'AM=∠MAN=45°AM=AM∴△AN'M≌△ANM(SAS)∴MN=N'M(全等三角形的对应边相等)∵MN=N'MEM=BN'+BMBN'=DN∴MN=BM+DN如图：在正方形ABCD中，M、N在直线BC、CD上,且满足∠MAN=45°，探究：BM,DN,MN之间存在怎样的数量关系。（二）合作探究：2、“正方形外半角”模型：小组讨论交流解答思路

然后整理证明过程

（猜想：MN=DN-BM）

如图：在正方形ABCD中，M、N在直线BC、CD上,且满足∠MAN=45°，探究：BM,DN,MN之间存在怎样的数量关系。（二）合作探究：2、“正方形外半角”模型：证明思路总结：1.猜想：MN=DN-BM2.半角在外，截长的方法转化已知线段.3.类比“内半角模型”构造全等三角形.如图：在等腰△BCD中，BD=CD,∠BDC=120°，∠MDN=60°

M、N在△ABC边AB、AC上,且满足∠A=60°，求证：BM+CN=MN（二）合作探究：3、“120°等腰△内半角”模型规律：“对角互补型，四边形外半角”模型

课后作业中自主探究！（三）归纳小结：“半角”模型的使用条件四边形满足下面两个条件，可以将“半角模型”---用截长补短的方法构造全等来破题：①“半角”的倍角两边相等；（等线段，共端点；）②半角”的倍角两相邻角互补。（互补角,在两边！）请大家课外探究并归纳一下半角模型中的其他一些结论。

巩固练习.如图所示，

△ABC是边长为1的正三角形，

△BCD是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个正三角形△DMN，点M、N分别在AB、AC上，求

△AMN的周长．思路分析：证明结论：BM+CN=MN把线段MN转化,即可轻松解决。作业：已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，它绕B旋转,两边分别交AD、DC（或延长线）于E、F(1).当∠MBN绕B旋转到AE=CF时（如图1）,求证：AE+CF=EF(2).当∠MBN绕B旋转到AE≠CF时（如图2，图3这两种情况）,这两种情况（1）中结论还成立吗？请你予以说明。（四）达标检测1、有三对全等三角形;2、有三个等边三角形;3、AE=BD;4、MN∥BE;5、CP为∠BPE角平分线;（双垂法+面积法）6、图中有13个60°角。7、三条和差线段：PA+PC=PB，PC+PD=PE，PM+MN=PC（构造全等法或借60°构造等边△法）8、三条角分线线段：PB平分∠APC，PE平分∠CPD，PC平分∠BPE，

9、S四边形PABC=S以PB为边等边△;S四边形PDEC=S以PE为边等边△;S四边形PMCN=S以PC