线性方程组解题归纳课件

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

1BG1BG题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？2BG题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)=r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换易见仅当a=-2时，r(A)=r(Ab)=2＜3，故知a=-2。3BG解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T,3α1+α2=

（2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。4BG2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2）=2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T,是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是5BG解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。6BG3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A是3×4矩阵，r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T,η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4-r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。7BG分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。8BG总结：8BG题型2线性方程组求解4.矩阵B的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？9BG题型2线性方程组求解4.矩阵B解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=（1，-2，1，0，0）T,α2=(1,-2,0,1,0)T,Bα3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2，B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。10BG解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵10BG1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。题型3含参数的线性方程组解的讨论11BG1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；题型3一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：1.初等行变换法2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。12BG一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换5.设线性方程组（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。13BG5.设线性方程组13BG解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）14BG解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=46.设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关时，方程组的解，且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。15BG6.设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）=因为α1，α2，α3线性无关，所以向量组aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=±116BG解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）方程组的增广矩阵（Ab）=(1)当a=1，b≠0时，方程组无解；（2）当a=-1，b≠0时，方程组唯一解；（3）当b=0，a≠1时，方程组唯一解；（4）当a=1，b=0时，方程组有无穷多解。17BG方程组的增广矩阵（Ab）=(1)当a=1，b≠0时，方此时：取x3为自由未知量18BG此时：取x3为自由未知量18BG题型4线性方程组的公共解、同解问题情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。19BG题型4线性方程组的公共解、同解问题情况1.已知两6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ），求：（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系；（2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。20BG6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ），求：20BG解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组Ⅰ和Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：21BG解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α将其系数矩阵进行初等行变换得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。22BG将其系数矩阵进行初等行变换22BG情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。23BG情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，Β1=（1，4，7，1）T，β2=（1，-3，-4，2）T。求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。24BG7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2即25BG解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,λ1=t/2,λ2=t于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为λ1β1+λ2β2=（λ2/2)β1+λ2β2=（λ2/2)(β1+2β2)=（λ2/2)(3,-2,-1,5)T，=λ(3,-2,-1,5)T，其中λ=λ2/2为任意实数。26BG于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=26BG情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。27BG情况327BG8.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.(1)求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.28BG8.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为28BG解：1）由所以以x2,x3为自由未知数可得基础解系（2）令29BG解：1）由所以（2）令2则可得：即所以有公共解30BG则可得：即所以有公共解30BG题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可取为零向量。31BG题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB题型5与AB=0有关的问题例9设求一个4×2矩阵B使AB=0，且r(B)=2.32BG题型5与AB=0有关的问题例9设解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T令B=(α1,α2),则B即为所求。33BG解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，（2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.34BG题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法法2初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.35BG法2初等行变换法35BG例10写出一个以X为通解的齐次线性方程组。36BG例10写出一个以X为通解的齐次线性方程组。36BG解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1）T，以α1Tα2T为行向量作矩阵B，只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为A，37BG解：法1.37BG所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,即38BG所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,38BG法2把所给通解改写为由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为即39BG法2把所给通解改写为39BG题型7抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。40BG题型7抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A的秩，求A11.设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，求线性方程组Ax=0的通解。解：X的维数为n，R(A）=n-1，故Ax=0的一个基础解系含1个解向量，又因为A的各元素之和为0，故非零向量α1=（1,1,…,1）T满足方程组Ax=0，因而α1为Ax=0的一个基础解系，于是通解为α=kα1(k为任意常数)41BG11.设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，求2.已知AX=b的特解求其通解42BG2.已知AX=b的特解求其通解42BG12.设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量β1，β2，β3满足β1+β2=（3，1，-1）T，β1+β3=（2，0，-2）T，求Ax=b的通解。43BG12.设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，且解：因α=（β1+β2）-（β1+β3）=β2-β3为Ax=0的一个解向量。而η1=（β1+β2）/2是Ax=b的特解，因Ax=0的基础解系含有1个解向量，故Ax=b的通解为X=kα+η1(k为任意常数)44BG解：因α=（β1+β2）-（β1+β3）=β2-β3为Ax45BG45BG线性方程组解题方法技巧与题型归纳

46BG1BG题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？47BG题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)=r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换易见仅当a=-2时，r(A)=r(Ab)=2＜3，故知a=-2。48BG解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T,3α1+α2=

（2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。49BG2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2）=2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T,是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是50BG解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。51BG3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A是3×4矩阵，r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T,η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4-r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。52BG分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。53BG总结：8BG题型2线性方程组求解4.矩阵B的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？54BG题型2线性方程组求解4.矩阵B解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=（1，-2，1，0，0）T,α2=(1,-2,0,1,0)T,Bα3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2，B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。55BG解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵10BG1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。题型3含参数的线性方程组解的讨论56BG1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；题型3一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：1.初等行变换法2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。57BG一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换5.设线性方程组（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。58BG5.设线性方程组13BG解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）59BG解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=46.设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关时，方程组的解，且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。60BG6.设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）=因为α1，α2，α3线性无关，所以向量组aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=±161BG解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）方程组的增广矩阵（Ab）=(1)当a=1，b≠0时，方程组无解；（2）当a=-1，b≠0时，方程组唯一解；（3）当b=0，a≠1时，方程组唯一解；（4）当a=1，b=0时，方程组有无穷多解。62BG方程组的增广矩阵（Ab）=(1)当a=1，b≠0时，方此时：取x3为自由未知量63BG此时：取x3为自由未知量18BG题型4线性方程组的公共解、同解问题情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。64BG题型4线性方程组的公共解、同解问题情况1.已知两6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ），求：（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系；（2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。65BG6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ），求：20BG解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组Ⅰ和Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：66BG解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α将其系数矩阵进行初等行变换得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。67BG将其系数矩阵进行初等行变换22BG情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。68BG情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，Β1=（1，4，7，1）T，β2=（1，-3，-4，2）T。求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。69BG7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2即70BG解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,λ1=t/2,λ2=t于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为λ1β1+λ2β2=（λ2/2)β1+λ2β2=（λ2/2)(β1+2β2)=（λ2/2)(3,-2,-1,5)T，=λ(3,-2,-1,5)T，其中λ=λ2/2为任意实数。71BG于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=26BG情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。72BG情况327BG8.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.(1)求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.73BG8.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为28BG解：1）由所以以x2,x3为自由未知数可得基础解系（2）令74BG解：1）由所以（2）令2则可得：即所以有公共解75BG则可得：即所以有公共解30BG题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可取为零向量。76BG题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB题型5与AB=0有关的问题例9设求一个4×2矩阵B使AB=0，且r(B)=2.77BG题型5与AB=0有关的问题例9设解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T令B=(α1,α2),则B即为所求。78BG解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，（2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，