初中苏科版九年级数学下册 6-5 相似三角形的性质 同步课时提优训练【含答案】

21世纪教育网www.精品试卷·第2页（共2页）初中苏科版九年级数学下册6-5相似三角形的性质同步课时提优训练一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）1.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（

）A.

30°

B.

50°

C.

40°

D.

70°2.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为14.若BC＝1，则EF的长是（

）A.

2

B.

2

C.

4

D.

163.已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（

）A.

B.

C.

相似比为

D.

相似比为4.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（

）A.

2厘米

B.

4厘米

C.

8厘米

D.

12厘米5.已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（

）A.

90

B.

180

C.

270

D.

36006.平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y=象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有(

)A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（

）A.

1：3

B.

2：5

C.

3：5

D.

4：98.如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的(

)A.

B.

C.

D.

9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为(

)A.

4：1

B.

3：2

C.

2：1

D.

3：110.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为-;③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积:④在运动过程中，点H的运动路径的长为,其中正确的有（

）A.

①②③

B.

①②④

C.

②③④

D.

①③④二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）11.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝________．12.已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是________.13.已知点G是的重心，，那么点G与边中点之间的距离是________．14.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝________．15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.16.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为________.17.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为________18.如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=________．三、解答题（本大题共10题，共84分）19.如图，已知在ABC中，AB=，AC=2，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.20.如图，已知，，，求的度数．21.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长.22.如图，，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．23.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．24.如图，在□ABCD中，AE：EB=3：2，DE交AC于点F.（1）求证：△AEF∽△CDF.（2）求△CDF与△AEF周长之比.（3）如果△CDF的面积为50cm2，直接写出四边形BCFE的面积.25.如图，在中点D，E，F分别在，，边上，，.（1）求证：；（2）若，的面积是20，求的面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．27.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ∽△ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

答案解析部分一、单选题1.C【考点】三角形内角和定理，相似三角形的性质解：∵∠A=30°，∠C=110°，∴∠B=40°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=40°，故C.分析：根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的对应角相等解答即可.2.B【考点】相似三角形的性质解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，∴（BC：EF）2=1：4，解得BC：EF=1：2，∵BC=1，∴EF=2.故B.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.3.D【考点】相似三角形的性质解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或，B不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，∴相似比为，∴D一定成立，故D．

分析：根据相似三角形的性质找到对应边及对应角，再逐项判定即可。4.C【考点】相似三角形的性质解：设另一个三角形的最短边长是x厘米，根据题意，得：，解得：x=8.即另一个三角形的最短边长是8厘米.故C.分析：根据相似三角形的对应边成比例解答即可.5.A【考点】相似三角形的性质解：由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x，x，则9x－x=80，解得：x=10，故较大三角形的面积为：9x=90．

故A．分析：由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．6.D【考点】相似三角形的性质解：

解：∵点P在反比例函数y=-上

∴设点P的坐标为（x，y）

当△PQO∽△AOB时，

∵PQ=y，OQ=-x，OA=2，OB=1

∴y=-2x

∵xy=-1，∴-2x2=-1

x=±，即点P的坐标为（，-）或（-，）

同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（-，）或（，-）

∴相应的点共有4个。

故D.分析：分别从三角形相似入手即可，根据相似三角形的性质以及反比例函数的解析式即可得到点P的坐标。7.B【考点】平行四边形的性质，相似三角形的性质解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴∵AE=DE，设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，∴四边形ABFE的面积为5S，∴S△CDF：S四边形ABFE=2：5，故选：B．分析：由△DEF∽△BCF，推出,由AE=DE，推出设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，推出四边形ABFE的面积为5S，由此即可解决问题；8.C【考点】相似三角形的性质解：∵AB被三等分

∴△AEH∽△AFG∽△ABC

∴，

∴S△AFG：S△ABC=4:9，S△AEH：S△ABC=1:9

∴S△AFG=S△ABC，S△AEH=S△ABC

∴S阴影面积=S△AFG-S△AEH=S△ABC-S△ABC=S△ABC故C.

分析：根据题意，由相似三角形的性质，求出答案即可。9.A【考点】三角形的面积，平行四边形的判定与性质，相似三角形的性质解：∵AB=3BD，

∴AD=2BD，

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形，

∴EF=BD，

∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1，

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B

∵EF∥AB，

∴∠EFC=∠B，

∴∠EFC=∠ADE，

∴△ADE∽△EFC，

∴S△ADE：S△EFC=AD2：EF2=4:1.

故A.分析：由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比.10.B【考点】相似三角形的性质，四边形的综合，四边形-动点问题解：①CH⊥BP，矩形ABCD中，

△ABP∽△HCB，故①符合题意；②连接，当在同一直线上时，最短，此时，即的最小值为，故②符合题意；③如图所示，在运动过程中，扫过的面积，扫过的面积，扫过的面积不等于扫过的面积，故③不符合题意；④在运动过程中，点H的运动路线（轨迹）长为，故④符合题意；故①②④.分析：根据CH⊥BP，矩形ABCD中,可知，可证△ABP∽△HCB；根据当在同一直线上时，最短，即可得出的最小值；根据扫过的面积，扫过的面积，即可得出扫过的面积不等于扫过的面积；根据点H的运动路线（轨迹）为，运用弧长公式即可得出结果.二、填空题11.【考点】相似三角形的性质解：又（因实际意义不能为负，舍去负值）故.分析：根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于对应边的比的平方”即可得.12.30【考点】相似三角形的性质解：∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中边长为6的边，∴△A′B′C′的另两边的长为8，10，故△A′B′C′的周长为8+10+12=30.故30.分析：根据相似三角形的对应边成比例可知最长边12对应的边为6，于是可得相似比为6∶12=1∶2，根据相似比可求得另两边的长，根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.13.3【考点】相似三角形的性质，相似三角形的应用解：如图，D是BC边的中点；∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=6，即GD=3；故3.分析：根据三角形重心的性质进行求解．14.4【考点】相似三角形的性质解：∵△ABC∽△ACD，∴，∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4．故4．分析：根据相似三角形的性质得出，据此即可求出AD的长.15.16【考点】相似三角形的判定与性质解：∽，又.

故16.

分析：正确理解小孔成像的原理，因为所以∽，则有而AB的值已知，所以可求出CD.16.或【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质解：∵E为BC中点，∴BE=1，由勾股定理得，AE=，当△ABE∽△MDN时，，即，解得，DM=，同理，当△ABE∽△NDM时，DM=，∴DM为或.分析：根据线段的中点可得BE=1，利用勾股定理可得AE=，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，分别两种情况讨论：①当△ABE∽△MDN时，②当△ABE∽△NDM时，分别利用相似三角形的对应边成比例求出DM的长即可.17.s或4s【考点】相似三角形的性质，三角形-动点问题解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC-CQ=16-3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s分析：设运动了ts，利用两点的运动速度，可用含t的代数式分别表示出AP、CQ、AQ的长，分情况讨论：当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时。利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，分别建立关于t的方程，求出t的值即可。18.8：5【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．∴EF：FC=BD：DC，AM：MD=AE：EF．∵BD：DC=2：3，∴EF：FC=BD：DC=2：3．设EF=2a，则CF=3a．∵AM：MD=AE：EF，∵AM：MD=4：1∴AE：EF=4：1∴AE=8a∴AE：EC=8a：5a=8：5．故8：5．分析：过点D做DF平行BE，可知AM：MD=AE：EF=4：1，BD：DC=EF：FC=2：3，设EF=2a，则FC=3a，即EC=5a，由AE：EF=4：1，可知AE=8a，即可得AE与EC的比值。三、解答题19.解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB=，AC=2，BC=3，∴，∴，解得：MN=，当△ANM∽△ABC时，∵，即：，解得：MN=.【考点】相似三角形的性质分析：分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解.20.解：∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴【考点】三角形内角和定理，相似三角形的性质，相似三角形的判定分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出=，∠BAD=∠CAE，求出=，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．21.解：∵点D是AB的中点，∴AB＝2AD＝2DB，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AC＝2AE，∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴＝，∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，∴EF＝AF＝3，∴AE＝6，∴AC＝2AE＝12.【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定分析：通过证明△ADE∽△ABC，可得＝，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得＝，可求AF＝EF＝3，即可求解.22.解：∵，∴，即＝.又C△ABC－C△ADE＝4，∴C△ABC＝24，C△ADE＝20【考点】比例的性质，相似三角形的性质分析：利用等比的性质，可得出两三角形的周长比为6:5，再由C△ABC－C△ADE＝4，解方程组，就可求出两三角形的周长。23.解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【考点】相似三角形的性质分析：根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．24.（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，

∴△AEF∽△CDF；

（2）解：∵AE：EB=2:3，

∴AE：AB=3:5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，

∴CD：AE=5:3，

∴△CDF与△AEF周长之比=5:3；

（3）62cm2【考点】平行四边形的性质，相似三角形的性质，几何图形的面积计算-割补法解：（3）∵△AEF∽△CDF，

∴AF：FC=AE：CD=3:5，

∴S△AFD：S△CDF=3:5，

∴S△AFD=S△CDF=30cm2，

∴S△ABC=S△ADC=S△AFD+S△CDF=50+30=80cm2，

∵S△AEF：S△CDF=9:25，

∴S△AEF=S△CDF=18cm2，

∴四边形BCFE的面积=S△ABC-S△AEF=80-18=62cm2.

分析：（1）根据平行四边形的性质得出CD∥AB，然后根据平行四边形的性质得出△AEF和△CDF的两组角对应相等，从而证出∴△AEF∽△CDF；

（2）根据线段的关系得出AE和AB的比值，结合平行四边形的性质得出CD和AE的比值，于是由相似三角形的性质即可得出周长之比；

（3）根据相似三角形的性质得出AF和FC的比值，然后等高三角形面积的特点求出△AFD的面积，从而求出△ABC的面积，再根据相似的性质求出△AEF的面积，则四边形BCFE的面积可求.

25.（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；

（2）解：∵，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定分析：（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论；

（2）由已知条件可得＝，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.26.（1）解：作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC边上的高为12cm；

（2）解：设正方形EFGH的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的边长为cm．【考点】相似三角形的性质，相似三角形的应用分析：（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而