高三数学复习资料-第十二章 选讲部分

第十二章选讲部分选修4－1几何证明选讲最新考纲：1.了解平行截割定理．理解相似三角形的定义与性质；2.会证明并应用直角三角形射影定理；3.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理；4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．问题探究1：平行线分线段成比例定理推论的逆命题正确吗？提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边．该命题正确．2．平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形．相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数)．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．问题探究2：射影定理的应用条件是什么？提示：必须在直角三角形内．5．圆周角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．6．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．7．圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．8．弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．9．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．问题探究3：直线与圆的位置关系中，有哪些常见添加辅助线的方法？提示：若证明直线与圆相切，则直线与连接圆的公共点和圆心的直线垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在直角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AD，则BC2＝BD·AB.()(2)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．()(3)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．()(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．()(5)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．如图，E是▱ABCD边BC上一点，eq\f(BE,EC)＝4，AE交BD于F，eq\f(BF,FD)等于()A.eq\f(4,5) B．eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D．eq\f(4,10)[解析]在AD上取点G，使AG∶GD＝1∶4，连接CG交BD于H，则CG∥AE，∴eq\f(BF,FH)＝eq\f(BE,CE)＝4，eq\f(DH,FH)＝eq\f(DG,GA)＝4，∴eq\f(BF,FD)＝eq\f(4,5).故选A.[答案]A3．如图所示，已知圆O的直径AB＝eq\r(6)，C为圆O上一点，且BC＝eq\r(2)，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA等于()A．1 B．2C.eq\r(6) D．3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又AB＝eq\r(6)，BC＝eq\r(2)，得AC＝2.BD是圆O的切线，则AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.故选D.[答案]D4．如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN＝()A．3 B．eq\r(15)C．3eq\r(2) D．3eq\r(5)[解析]由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3eq\r(5).故选D.[答案]D5．(2015·重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝__________．[解析]由切割线定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.[答案]2考点一相似三角形的判定与性质判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似．(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)三边对应成比例，两三角形相似．(4)相似三角形的定义．通过添加辅助线，构造三角形相似的常见图形．(1)(2016·广州综合测试)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝________．(2)(2015·湖北卷)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC＝3PB，则eq\f(AB,AC)＝__________．[解题指导]切入点：相似三角形的判定与性质；关键点：确定两三角形的边和角的数量关系．[解析](1)在平行四边形ABCD中，因为EB＝2AE，所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)＝eq\f(AE,CD)，故eq\f(CD,AE)＝3.因为AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以eq\f(S△CDF,S△AEF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))eq\s\up12(2)＝9.(2)因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因为BC＝3PB，所以PA2＝4PB2，即PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).[答案](1)9(2)eq\f(1,2)证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理．对点训练(2015·长春模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．[解](1)证明：因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，所以△DPC∽△DBA，所以eq\f(PC,AB)＝eq\f(PD,BD).又AB＝AC，所以eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD).(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC.又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AD)，所以AP·AD＝AC2＝9.考点二圆周角、弦切角、切线的性质1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．由于“相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．圆周角定理和弦切角定理进行角的转化，相交弦定理和切割线定理使线段间的关系进行转化．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四边形EBCF的面积．[解题指导]切入点：圆的切线和相交弦的性质；关键点：结合条件与结论合理选择定理与性质．[解](1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四边形EBCF的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(16\r(3),3).已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.考点三圆内接四边形的性质及四点共圆的判定圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．四点共圆问题主要研究角，特别是圆周角及其补角．(2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.[解题指导]切入点：过弦的中点的半径垂直于弦；关键点：证明O，M，E，N四点共圆．[证明](1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.圆内接四边形的性质主要用于角的转换，另外，证明四点共圆往往也通过角的相等或互补关系证得．对点训练如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝CE·GF.[证明](1)如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆．(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD.由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD，∴eq\f(GC,GE)＝eq\f(GF,GD)，即GC·GD＝GE·GF，∴GH2＝GE·GF.————————方法规律总结————————[方法技巧]1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．相似三角形的性质主要解决与相似三角形相关的元素间的关系．2．与切线有关的角或线段成比例问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解．3．涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用相交弦定理、切割线定理证明．在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．[易错点睛]应用定理时条件要完整，对应关系应准确．课时跟踪训练(五十八)一、填空题1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC、AC于点G、E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为__________．[解析]∵DF＝AD，∴D为AF中点，又AB∥CD，∴G为BF中点，∴FG＝GB＝12，又EF＝16，∴EG＝4，∴BE＝8.[答案]82．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为__________．[解析]连接AC，BD.∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB＝25°，又∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.[答案]115°3．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4eq\r(3)，则点O到AC的距离OD＝__________．[解析]由已知得∠CBA＝90°，因为BC＝4eq\r(3)，∠BAC＝30°，所以AB＝eq\f(BC,tan30°)＝eq\f(4\r(3),\f(\r(3),3))＝12，故AO＝6，由于∠ODA＝90°，所以OD＝3.[答案]34．(2016·邯郸质检)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB＝eq\f(1,2)BD，CE＝eq\f(1,4)EB，∠BDE＝120°，CD＝3，则BC＝__________．[解析]由AB＝eq\f(1,2)BD可知∠ADB＝30°，又∠BDE＝120°，所以∠CDE＝30°，过点E作AC的垂线，垂足为F，则EF∥AB，且eq\f(EF,AB)＝eq\f(CF,CA)＝eq\f(CE,CB)＝eq\f(1,5)，设EF＝x，则AB＝5x，AD＝5eq\r(3)x，FD＝eq\r(3)x，所以CF＝3－eq\r(3)x，AC＝5(3－eq\r(3)x)，AD＝5(3－eq\r(3)x)－3.所以5(3－eq\r(3)x)－3＝5eq\r(3)x，解得x＝eq\f(2\r(3),5)，所以AB＝2eq\r(3)，AC＝9，则BC＝eq\r(93).[答案]eq\r(93)5．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝__________．[解析]由三角形相似可得DE2＝DF·DB，连接AD，则DE2＝AE·EB＝1×5＝5.所以DF·DB＝5.[答案]56．如图，△ABC是边长为2的正三角形，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段PM＝__________．[解析]因为点M，N分别是边AB，AC7的中点，所以MN是△ABC的中位线，且MN＝eq\f(1,2)BC＝1.设PM＝x，则QN＝x，MQ＝x＋1，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA，即x·(x＋1)＝1，解得x＝eq\f(\r(5)－1,2)或x＝eq\f(－\r(5)－1,2)(舍去)．[答案]eq\f(\r(5)－1,2)7．(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝__________．[解析]由题意得OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，OA＝2，于是PA＝CP＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),2).因为∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故eq\f(PD,PA)＝eq\f(PC,PO)，即PD＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(15,2)，所以OD＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)＝8.[答案]88．(2016·武汉调研)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F.若AB＝4，BP＝3，则PF＝__________．[解析]连接OE，则易知△FOE∽△FDP，eq\f(PF,EF)＝eq\f(DF,OF)，即DF·EF＝OF·PF，而DF·EF＝AF·FB，可得OF·PF＝AF·FB.设FB＝x，有(2－x)(x＋3)＝(4－x)x，解得x＝eq\f(6,5)，则PF＝eq\f(21,5).[答案]eq\f(21,5)9．(2015·惠州调研)如图，点A，B，C都在圆O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为__________．[解析]由切割线定理知DC2＝DB·DA，设BD＝x，结合题中数据得36＝x(x＋5)，解得x＝4，即BD＝4，根据弦切角定理易知△ADC∽△CDB，故eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)，故AC＝eq\f(9,2).[答案]eq\f(9,2)10．如图，AB是圆O的直径，且长为4，E为OB的中点，过E作AB的垂线交圆O的任意弦AC的延长线于D，BC与DE交于点F，则DE·EF＝__________．[解析]由ME⊥AB，AB为圆O的直径，所以∠B＝90°－∠BFE＝90°－∠DFC＝∠D，所以Rt△AED∽Rt△FEB，即AE∶ED＝FE∶EB，所以AE·EB＝ED·EF.根据相交弦定理得ME2＝EA·EB＝3.所以ED·EF＝EM2＝3.[答案]311．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．[解析]在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10eq\r(3).∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq\r(3).由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5eq\r(3))2＝15DE，∴DE＝5.[答案]512．如右图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是__________．[解析]由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DBC.∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；由切割线定理知，∴②正确；由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确；∵△ABF∽△BDF，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AF,BF).∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．[答案]①②④二、解答题13．(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直径．[解](1)证明：因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，从而AB＝3eq\r(2).所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.14．(2016·贵阳监测)如图，点C在圆O的直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，∠ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D.(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.[解](1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC，又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，又BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB).连接OA，又∵AB＝AC，OA＝OB，∴∠B＝∠BAO＝∠ACB，∴∠B＋∠ACB＋∠BAO＋90°＝180°，解得∠B＝30°，(∠ABC＋∠BCD＝∠ADC＝45°，即3∠BCD＝45°，解得∠BCD＝15°，∠ABC＝30°)∴在Rt△ABE中，eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)＝tanB＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).15．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．[解](1)如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(12－x2).由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝eq\r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0.可得x＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°.16.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点．连接OD交圆O于点M.求证：(1)O，B，D，E四点共圆；(2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB.[证明](1)如图，连接BE，OE，则BE⊥EC.又D是BC的中点，所以DE＝BD.又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆．(2)延长DO交圆O于点H.因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))＋DM·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))，所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.选修4－4坐标系与参数方程最新考纲：1.了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程；4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；5.了解参数方程，了解参数的意义；6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0）,y′＝μy（μ>0）))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．坐标系(1)极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫作极点；自点O引一条射线Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面上任一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫作点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))3．简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a；③直线过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsin_θ＝b．(2)圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；③当圆心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半径为a：ρ＝2asin_θ．问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点的极坐标不是一一对应关系，当规定ρ≥0，0≤θ<2π后点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．5．几种常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．问题探究2：在直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？提示：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．|P1P2|＝|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2).(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα，))其中α是参数．当圆心在(0，0)时，方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosα，,y＝rsinα.))(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))其中φ是参数．问题探究3：对于椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？提示：不是，如图，θ是离心角．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．()(2)过极点，作斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.()(3)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.()(4)直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos30°，,y＝1＋tsin150°))(t为参数)的倾斜角α为30°.()(5)参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))(θ为参数且θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．若直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t，))(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t))(t为参数)得直线方程为4x＋3y－10＝0，且斜率为k＝－eq\f(4,3)，令直线l的倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(4,3)，所以cosα＝－eq\f(3,5).故选D.[答案]D3．在极坐标系中，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，且过极点的圆的方程是()A．ρ＝2sinθ B．ρ＝－2sinθC．ρ＝2cosθ D．ρ＝－2cosθ[解析]由极坐标与直角坐标方程的关系可知圆心为(0，1)，r＝1，则x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝2y，即ρ＝2sinθ，故选A.[答案]A4．(2016·合肥检测)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.eq\r(14) B．2eq\r(14)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)[解析]由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝eq\r(2)，故弦长＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).故选D.[答案]D5．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．[解析]由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y.所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0，2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)．则CD＝CB·sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，即a－2＝1，所以a＝3.[答案]3考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化1．极坐标与直角坐标的互化条件(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)))是极坐标与直角坐标互化的依据．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解题指导]切入点：直角坐标化极坐标；关键点：极坐标系中的距离公式．[解](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为eq\f(1,2).在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线的性质，最常用的方法是化极坐标方程为直角坐标方程，使不熟悉的问题转化为熟悉的问题．对一些简单的直线、圆的有关问题，也可直接用极坐标知识解决．对点训练⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．[解]以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，①,x2＋y2＋4y＝0.②))①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．考点二参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围，也即在消去参数的过程中，一定要注意普通方程与参数方程的等价性．(2016·西宁统一测试)已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解题指导]切入点：参数方程与普通方程的互化；关键点：参数方程化普通方程的关键是消去参数，普通方程化参数方程的关键点恰当的选取参数．[解](1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要保持同解变形和分类讨论的数学思想；(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．对点训练(2015·沈阳质检)已知直线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，曲线C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)．(1)当α＝eq\f(π,3)时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解](1)当α＝eq\f(π,3)时，C1的普通方程为y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,x2＋y2＝1，))解得C1与C2的交点坐标为(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0，A点坐标为(sin2α，－sinαcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)sin2α，,y＝－\f(1,2)sinαcosα))(α为参数)，P点轨迹的普通方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,16).故P点轨迹是圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，半径为eq\f(1,4)的圆．考点三极坐标方程、参数方程的综合应用对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化成直角坐标方程后再求解．(2015·湖南卷)已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，eq\r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．[解题指导]切入点：极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化；关键点：正确的利用参数的几何意义解决问题．[解](1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入②，得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为eq\f(1,2)(t1＋t2)；(2)对于形如eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．对点训练已知曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解](1)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1与C2交点的极坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).————————方法规律总结————————[方法技巧]1．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．2．参数方程化为普通方程的关键是消参数，一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性．[易错点睛]1．参数方程与普通方程互化时，不能忽略参数的范围．2．利用参数的几何意义解决距离问题时，直线方程应化为参数方程的标准形式．课时跟踪训练(五十九)一、填空题1．在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为__________．[解析]点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化为直角坐标为(1，eq\r(3))，方程ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1，0)，则点(1，eq\r(3))到圆心(1，0)的距离为eq\r(3).[答案]eq\r(3)2．直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)上与点A(－2，3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是__________．[解析]设P(－2－eq\r(2)t，3＋eq\r(2)t)，则|PA|＝eq\r(（－2－\r(2)t＋2）2＋（3＋\r(2)t－3）2)，令|PA|＝eq\r(2)，解得t＝±eq\f(\r(2),2)，故所求点的坐标是(－3，4)或(－1，2)．[答案](－3，4)或(－1，2)3．(2015·广东卷)已知直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，点A的极坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，则点A到直线l的距离为__________．[解析]由2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)得2ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)，所以y－x＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，而点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为eq\f(|2＋2＋1|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).[答案]eq\f(5\r(2),2)4．(2015·北京卷)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距离为__________．[解析]点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))的直角坐标为(1，eq\r(3))，直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋eq\r(3)y－6＝0，所以点(1，eq\r(3))到直线的距离d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,\r(1＋3))＝1.[答案]15．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．[解析]由题意得圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在x轴上，半径为eq\f(1,2)，则它的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(1,2)cosα，,y＝\f(1,2)sinα))(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(1,2)cos2θ，,y＝\f(1,2)sin2θ))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数)．[答案]eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数)6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为__________．[解析]由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝eq\r(3)x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4y，,y＝\r(3)x，))消去y，得x2＝eq\r(3)x，解得x＝eq\r(3)或x＝0，所以a＝3.[答案]37．(2015·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距离的最大值是__________．[解析]圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝eq\f(π,3)，则tanθ＝eq\r(3)，化为直角坐标方程为eq\r(3)x－y＝0，圆心(0，4)到直线的距离为eq\f(|－4|,\r(4))＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.[答案]68．已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．[解析]由曲线C1的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))得y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，①曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，可得方程x2＋y2＝4，②由①②联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，))故C1与C2交点的直角坐标为(eq\r(3)，1)．[答案](eq\r(3)，1)9．在平面直角坐标系中，倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与直线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．[解析]由题意得曲线C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2，1)，则直线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.[答案]ρ(cosθ－sinθ)＝110．(2015·重庆卷)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ>0，\f(3π,4)<θ<\f(5π,4)))，则直线l与曲线C的交点的极坐标为__________．[解析]由题意得直线l的普通方程为x－y＋2＝0，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x2－y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝0，))所以直线l与曲线C的交点的极坐标为(2，π)．[答案](2，π)11．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为__________．[解析]消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3，0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.[答案]112．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝__________．[解析]因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)，))消去t得y2－x2＝4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y2－x2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)，))不妨令Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，由两点间的距离公式得|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(5).[答案]2eq\r(5)二、解答题13．(2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．[解](1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即eq\f(|1－（－2）＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，eq\r(5))，求|PA|＋|PB|.[解](1)由ρ＝2eq\r(5)sinθ，得ρ2＝2eq\r(5)ρsinθ.∴x2＋y2＝2eq\r(5)y，即x2＋(y－eq\r(5))2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＝5，即t2－3eq\r(2)t＋4＝0.由于Δ＝(－3eq\r(2))2－4×2＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3\r(2)，,t1·t2＝4.))又直线l过点P(3，eq\r(5))，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3eq\r(2).15．(2016·金学导航卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sinα－cosα，,y＝2sinαcosα))(α为参数)，若以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)m.(1)若曲线C与曲线E有且只有一个公共点，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，求曲线C上的点与曲线E上的点的最小距离．[解](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sinα－cosα，,y＝2sinαcosα))⇒y＝1－x2(－eq\r(2)≤x≤eq\r(2))，曲线E的直角坐标方程为直线l：x－y＋2m＝0，当直线与抛物线相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1－x2，,y＝x＋2m))⇒x2＋x＋2m－1＝0⇒Δ＝1－4(2m－1)＝0⇒m＝eq\f(5,8)，可得公共点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)))，满足题目的条件；而曲线C的两个端点为A(－eq\r(2)，－1)，B(eq\r(2)，－1)，当直线过点A时可求得m＝eq\f(\r(2)－1,2)，当直线过点B时可求得m＝－eq\f(\r(2)＋1,2)，结合图象可知，当－eq\f(\r(2)＋1,2)≤m<eq\f(\r(2)－1,2)或m＝eq\f(5,8)时，直线l与抛物线有唯一的公共点．(2)当m＝2时，曲线E的直角坐标方程为直线l：x－y＋4＝0，由图象知，曲线C上的点与曲线E上的点的最小距离即为曲线C上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)))到直线x－y＋4＝0距离，得最小值为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(3,4)＋4)),\r(12＋12))＝eq\f(11\r(2),8).16．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[解](1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).当α＝eq\f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab．当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq\i\su(i＝1aeq\o\al(2,i)）（\o(∑,\s\up5(n),\s\do4(i＝1))beq\o\al(2,i)）≥（∑n,i＝1,n,a)ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．()(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.()(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为Ø.()(5)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．不等式|2x－1|－x<1的解集是()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2}C．{x|0<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、