实验四.传染病模型-微分方程模型

实验六实验项目；传染病模型一微分方程模型实验实验目的：1•进一步巩固・加强微分方程模型的建模、求解能力;2•学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。实验内容：1•建模实例，传染病问题等;2•编程求解。f模型实例・一一传染病模型-问题：有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。-1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求才时刻的感染人数。-2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为 。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求时刻t的感染人数。实验方法与步骤1.问題分析这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间

的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。C、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。2.间題求解2.1问题一的 _模型一A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数;2).单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。模型构成设f时刻的感染人数为初始时刻(『=0)的感染者人数为兀0,感染者的增长率为厂，根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，f到r+2V时间内感染人数的增量为：因此,x(t+Ar)-%(/)=x(')满足如下的微分方程：因此,兀(0)=兀0c、模型求解：MATLAE计算求解（介绍完MATLAE求解微分方程数值解的相关命令后再运行）>>x=dsolve(*Dx-r*x=07x(0)=x0Vt')xO*exp(r*t)即x(f)=皆"彩兀0(1+厂)'模型分析由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。E、改进方向单位时间内感染人数的增长率不是常数，而是逐渐下降的。原因：感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用,且阻滞作用随感染者数量增加而变大。増长率是感染人数的减函数:感染者越多,增长率越低。2.2间题二的解模型二A、模型假设-1）、感染人数是时间的连续可微函数;-2）、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数-3）、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为寒。B、模型构成・仍然设f时刻的感染人数为X0，初始时刻（r=0）的感染者人数为兀°,感染者人数为0时，感染人数的增长率为％。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式:r（x）=—kx・进一步，由最大感染时对应的增长峯为零可确定参数k的值为:k亠-因此，在该模型的假设下，感染人数'丿应满足如下的微分方程:牛=厂（兀）兀=%（1—丄）兀,5(0)=%模型求解：MATLAE计算求解（介绍完MATLAE求解微分方程数值解的相关命令后再运行）x=dsolveCDx-r0*(l-x/xm)*x=07x(0)=x07f)X兀⑴=(\1.兀”1D、模型分析-a）.根据前述微分方程作出dx/dt-x的曲线图，见图1-1,这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减，在心/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。dx图1・1dxU卜X曲线图.b）、根据模型求解得到的结果作出兀曲线，见图1-2,这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间的变化规律：可以看出，当时间趋于无谢舟,趋于兀册，且对一切f,X（/）Y兀”。此性质说明感染者数量不可能达到最大容量，但可无限趋近于最大容量。图1-2ST曲线二、利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令1指令函数及调用格式1.1指令函数：dsolve注：此指令函数用于求解微分方程（组）的符号（解析）解。单变量常微分方程的调用格式:f=dsolve("eq，,'cond','v')注：此调用格式用于求符号微分方程的通解或特解，其中eq代表微分方程,cond代表微分方程的初始条件（若缺少，则求微分方程的通解），V为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。常微分方程组的调用格式:f=dsolve('eql', 'eq2' "eqn','condl', "8nd2''condn',"vl','v2'，…，"vn')注：此调用格式用于求解符号常微分方程组。其中eql,…，eqri代表n个微分方程构成的微分方程组；condl,…，condn代表微分方程组的初始条件（若缺少，则求微分方程组的通解），V1,…，vn为指定自变量（如未指定,

系统默认t为自变量）。记述规定:MATLAE中，用D（注意：一定是大写）记述微分方程中函数的导数。当y是因变量时，用'Dny'表示A的n阶导数'<>女口，Dy表示y的一阶导数y',Dny表示y的n阶导数。Dy(0)=5表示y'(0)=5。2知演示D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程2知演示,2y+2xy=2xe~^例1、求微分方程 的通解命令输入:>>y=dsolveCDy+2*x*y=2*x*exp(-x^2)7x')得结果为:(x^2+Cl)*exp(-x^2)若输入命令:>>y=dsolve('Dy+2*x*y=2*x*exp(-x^2)')则系统默认t为自变量，而把真正的自变量X当作常数处理，把y当作t的函数，得到错误的结果:exp(-2*x*t-x*(x-2*t))+exp(-2*x*t)*Cld?X dv例2、求微分方程4丽■一20方+25x=0的通解命令输入:>>x=dsolveC4*D2x-20*Dx+25*x=03得结果为:Cl*exp(5/2*t)+C2*exp(5/2*t)*t%系统默认t为自变量例3、求微分方程y+5y-4y+10=0在条件）下的特解。命令输入:>>y=dsolve(*D2y+5*Dy-4*y+10=07y(0)=67Dy(0)=4Vx3得结果为:exp(l/2*(-5+41^(l/2))*x)*(51/lC4*41^(l/2)+7/4)+exp(-l/2*(5+41^(l/2))*x)*(7/4-51/lG4*41^(l/2))+5/2例4、求下述微分方程组的解dxA—3ydt丿s红2x.[dt命令输入:>>[xy]=dsolveCDx=-3*y\'Dy=2*x3X=X=得结果为:得结果为:1/27八(l/2)qci*cos((Z(l/2)壮卜C2ym(6人(1/2严t))Cl*sin(6^(l/2)*t)+C2*cos(G^(l/2)*t)3上机练习（可选择其中一部分习题）K将讲授过的例子中的命令输入MATLAE命令窗口，执行命令，观察输出结果并体会MATLAB在求解微分方程符号解方面的功能。2.解下列微分方程（组）:么1+/⑵、［心dt⑵、［心"哙+29尸0(3)、y(o)=o』(0)