2021届山西省八校高三上学期12月联考(12月4日)数学(理)试题

4444山西省八校2021届高三上学期12月联考（12月4日）数学试题（理科）考生注意：1•本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分•考试时间120分钟.请将各题答案填写在答题卡上.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机量变及其分布、统计与统计案例）.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=tx||x-1|<3),B=(x|x2-4x-5<°},则AB=()A.lx—2<x<-1A.lx—2<x<-1}D.(x4<x<5}C.fxD.(x4<x<5}2.若复数z=3+（a—1）i（a&R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a二（）A.1B.2C.5D.63.命题“对任意x>0，都有x+ex>0”的否定为（）A.对任意A.对任意x>0，都有x+ex<0B.对任意x<0，都有x+ex<0C.存在C.存在x>0，使得x+ex<0D.存在x<0，使得x+ex<04•己知函数f（x）=〔爲1）:社，则不等式f床-x2）>f（5x）的解集是（）A.(A.(-8,-6)(1,+8)C.(-1,6)UB.(-8,-1)(6,+8)D.(-6,1)U'x+3y>05.若实数x，y满足约束条件<x—y+2>0，则z=x5.若实数x，3x+y-8>0

A.[-1,5]B.[-1,2]A.[-1,5]B.[-1,2]6.已知O为△ABC所在平面内一点，若(9A+OB)AB=(OB+OC)•BC=0,AB=6,AC=4，则A.-5B.-10C.10D.5AO-BCA.-5B.-10C.10D.58.下列函数图象不可能是函数f（x）=xaeX（8.下列函数图象不可能是函数f（x）=xaeX（a&Z）的图象的是（）y09.已知p：A=]x|—<，q1—xtx|x—a<o},若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.（2,+s）b.b,+8)X各棱长均相等的直三棱柱ABC-A*中，已知M是棱BBi的中点，N是棱AC的中点，则异面直线AM与BN所成角的正切值为（）1D•亍A.73D•亍10.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m，11.11.如图，过抛物线y2二4x的焦点F作倾斜角为«的直线l,l与抛物线及其准线从上到下依次交于A,B,<兀）的部分图象如图所示，若存在0<学，满足f（也f<兀）的部分图象如图所示，若存在0<学，满足f（也fgL4，则cos(x-x)=()123B.一43D.4第II卷、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.AFBC■—九，•—九,BF1BF2C点，令兀aa则当a=評，”的值为（）12.已知函数f(x)=sin(①x+申)(9>0,|^|13.已知S是等比数列｛a｝的前n项和，a=-2，a=16，则S=n586J416-x2x^dx=.-4占的零点分别为&x2占的零点分别为&x2（x1<^），函数g（x）=I3x一1一2kk+1的零点分别为X3,X4（X3已知3<k<1，函数零点分别为X3,X4（X3<x4），则（x4一x3）+（x2一打的最小值为16•已知双曲线C:x2-宁=棱AA上是否存在点P，使得平面PBD丄平面ABE?若存在，求出PA的长，并证明你的结论；若1不存在，请说明理由.棱AA上是否存在点P，使得平面PBD丄平面ABE?若存在，求出PA的长，并证明你的结论；若1不存在，请说明理由.长是9,动点P在双曲线C的右支上，则AMFP面积的取值范围是.1三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.一)必考题：共60分.117.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a1求二面角A-BE-D的余弦值.20.已知中心为坐标原点的椭圆C求二面角A-BE-D的余弦值.20.已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为F(/3,o),且经过点Mh芈.<2丿求椭圆C的标准方程.若不经过点F的直线l:y=kx+m(k<0,m>0)与椭圆C交于A,B两点，且与圆x2+y2=1相切，试探究AABF的周长是否为定值•若是，求出定值；若不是，请说明理由.2A+c求sin2+cos2B的值；2若b=2，求△ABC面积的最大值.18.已知数列｛a｝中，a=1,a二CgN*).n1n+1a+3n1(1)证明：数列<一+十是等比数列.a2n(2)若数列｛(2)若数列｛b｝满足b二nnnG"-1)-a2nn求数列｛b｝的前n项和T.nn19.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=AA=1,AC=23，点D,E分别为AC和BC的111111中点.

21.已知函数f(x)二Inx.1设函数t(x)=一x2-(a+2)x+2af(x)，讨论t(x)的单调性.2函数g(x)=x3(x>0)的图象在点P处的切线为l，是否存在这样的点P使得直线l与曲线y二f(x)也相切？若存在，判断满足条件的点P的个数；若不存在，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4—4：坐标系与参数方程］1x二t+-在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线C:i、(t为参数)上的动点，以坐标原点0为极点,1y=2It--2sin9一3cos2sin9一3cos9x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C一的极坐标方程为P=⑴求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)已知点Q在曲线C上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P的直角坐标.［选修4—5:不等式选讲］设函数f设函数f(x)二x-一a+|x+a|(a>0).证明：f(x)>2运.当xe(0,1)时，f(x)<3恒成立，求a的取值范围.高三数学试题参考答案(理科)一、选择题B依题意可得A=(x|-2<x<4)，B={x|-1<x<5}，所以AB=lx|-1<x<4)，故选B.D复数z=3+(a-1)i在复平面内对应的点(3,a-1)在直线y二x+2上,a-1=3+2，a=6，故选D.C命题的否定为存在x>0，使得x+ex<0,故选C.D由题知函数f(x)在R上单调递增，则6-x2>5x，解得-6<x<1，故选D.D画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线x+y二0并平移•易知目标函数z=x+y在点A处取Ix+3y二0Ix二3得最小值，没有最大值联立h+y-8二0，解得［y―此时x+y二2，所以Z=x+y的取值范围为

[2,+8[2,+8），故选D.0B由已知得，（OA+OB）-（OB-OA）=（OB+OC）-（OC-OB）=0oOB2-OA2二OC2-OB2二0o|OA卜〔OB卜pc]，则O为△ABC的外心.设OD丄AB,OE丄AC,垂足分别为D,E（图略）.根据两个向量数量积的几何意义，可知AO-BC=AO-（AC-AB）=ao^ac-ao石=|ac|-|ad|-|阿=-尬故选B.C如图，取AA的中点P琏接PN,PB.由直三棱柱的性质可知AM//PB，则ZPBN为异面直线AM111与BN所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2,则PN=迈，PB=€5，BN=^3，所以PN2+BNPN2+BN2=PB2，所以ZPNB=90。.在RtAPBN中，tanZPBN=PN=扭=76BN—右=丁故选C.8.C对于A，图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则当Q为正偶数时，满足对应图象；对于B,图象中函数的定义域为（xx主0）,函数是偶函数，则当Q为负偶数时，满足对应图象；对于C,图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越慢，没有符合条件的Q；对于D,图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越快，则驴为正奇数时，满足对应图象故选C.9.DTA=tx|(x—2)(x—1)>0且x主1}=tx|x>2或x<1},B=tx|x<a},又p是q的必要不充分条件,

9.DTA=・・・BA.由数轴可得a<1，故选D.10.A球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以圆柱的体积「冗R2x2R=2冗R3，球的10.A体积V=4—R3，所以m=#=4—RL=2.又圆柱的表面积为S=2—Rx2R+2—R2=6—R2，球的表(m116(11—x2-一一=x2-一一Vnx丿Vx丿6，其常数项为6—R23m6，其常数项为6—R23m=1，nS面积为S=4兀R2,所以n=s1=211.C设A（xi，人），11.C设A（xi，人），B（x2,打），则AB=x+x+2=16sin60。310p2x+x=.^又xx==1，123124可得珂=3,凹==，=岀=3BF同理可得册="22，所以九1以212.B由图象知函数的周期T=12.B由图象知函数的周期T=2(13兀1212丿=兀12122（12122（5—、=sin(2X5—+9IV6丿V6丿.•・5—+9=2k—+3—,32keZ.•91<兀，•：9=—keZ.•91<兀，•：9=——，f(x)=sin2x——.6丿3<x<—，满足f(x)=f(x)=,2——11——.—<2x—<，则e=2x—，06166•••条件存在0<x124——=2x-关于片对称,262(2x-—1(—、+(2xV16丿V26丿兀2得x2丁—x1'且sin2x一一V16丿22—1则cos(x—x)=cos2x—12宀兀宀兀^3设2x—=a，则2x=+a，即sina=，16164

（2兀）（兀2兀）cos=cos—+a—113丿163丿=sina=3，故选B.4则cos(x—x)=12二、填空题13.21•/{a}为等比数列,8・a85a=aq4，51・a1_—2_168，.S6aG—q6)-8[1-二、填空题13.21•/{a}为等比数列,8・a85a=aq4，51・a1_—2_168，.S6aG—q6)-8[1-(-2)61—q1+2=21=~814.8兀因为J4(；'16-x2—xL=J4p‘16-x2dx—J4xdx，而14£16-x2dx由定积分的几何意义知其为—4—4—4—4半径为4的半圆，面积为8兀，14xdx=善—42=0，所以J4J16-x2dx=8兀.—4—4I5「十c、k1nk2k+115.log因为x<x，所以3x]=1—=，3x2=1+3212k+1k+1丄，3一=1+丄，

2k+12k+1=3k+1=k+1，又因为x3<X4，所以3X3=1-所以3x2-专=2k+1，3x4-x3所以3(x4-X3M2-X1)=(2k+1)(3k+1).令k+1=t，te3,2)，则k=t—1,t4,2丿L3丿>0,h4,2］上单调递增,3丿所以h(t)et4,2丿L3丿>0,h4,2］上单调递增,3丿所以h(t)e[2,6丿，3(x4-x3)+(x2-xi)e[2,6丿，故(x—x)+(x—x)elog5,log6_2丿_2丿4321L323丿16.•・•M是双曲线C左支上的点，..|MF|—|MF|=-.•••△MFF的周长是9,12.•・|MF|+\MF\+|FF|=9.FF127MFJ=2设M(x0,y0)，则|MF|=MX。+2)2+y2==也+2匕+3xj-3=2，解得xo=-3；30=±计•根据双曲线的对称性,不妨取y=半，则m—404，.kMF1=訂，・•・直线MF的方程为y=J3（x+2）.•・•直线MF与11所以(2k+1)(3k+D=(2t-1)(3t-2)=6t+2—7.t6t2—2，则h'(t)=6——=—-t2t2渐近线y=展平行，・•・双曲线C的右支上任意一点到直线吧的距离都大于两平行线间的距离，即都大于訐，•:s〉2吟"=343-三、解答题17.解：（1）在AABC中，由余弦定理可知a2+c2-b2=2accosB,11由题意知a2+c2-b2=ac，•:cosB=一.24A+C冗B又在AABC中，A+B+C=兀，•：sin2+cos2B=sin2-22+cos2BB1+cosBcosB1=cos2+cos2B=+2cos2B-1=2cos2B+一2221A+C又cosB=一，•：sin2一421+cos2B=——41(2)Tb=2,a2+c2-b2=ac,2.・・a2+c2-4=1ac,218

即一ac>2ac-4，•:ac<.231•/cosB=一，•：sinB=一44o1.厂1871?S=ac-sinB<—x—x——

△ABC2234<15△ABC面积的最大值为3•18.（1）证明：由an+1an-a+3n)1eN*丿，知——an+11——+—a2丿n113又——+2=2，a2211<+—a2

n＞是以2为首项'3为公比的等比数列.2）解：由（1）n3n-1nT=1x—+2x—+3x—++(n-1)x1222021T11n=1X—+2X——+2212211+(n—1)x+nx-,2n-12n2n-111n=+++22o2122n+2・・・T=4-n两式相减得卩1+丄-n丄=2-出2n-12n2n-13319.解：(1)存在点P满足题意，且PA=-.4证明如下：如图，取AC的中点F，连接EF,AF,DF,11则EF//AB//AB，•:AFu平面ABE.11・・・AB=BC,D是AC的中点，・・・BD丄AC.在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC丄平面AACC，且交线为AC,11111・・・BD丄平面AACC，•:BD丄AF.11在平面Ai在平面AiACCi内,AP_ADAD_DF_~TZPAD_ZADF_90。，.・・RtAPADRtAADF，从而可得AF丄PD.又・PDBD_D，•:AF丄平面PBD.•/AFu平面ABE，•:平面PBD丄平面ABE.(2)如图，以D为坐标原点，以DB，DC，DF所在直线分别为x，y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则＜m-则＜m-AB44v32y+z_0►_0B'丄,0,0、，A:0,-6、，Ef17311L2J12丿（44丿易知D（0,0,0）,BE_【一1逅!1,51，AB_［晅01，DB_f11—,0,044丿\丿22\2丿L2丿设平面ABE的法向量为m_(x,y,z),取y_2，得m_（-^*'3,2,一翦）,同理可求得平面BDE同理可求得平面BDE的一个法向量为n_m-n8+311贝卩cos〈m,n）__——_——'!mnJ12+4+3x*齐319-—►.:其余弦值为市19由图可知二面角鼻一BE-D.:其余弦值为市19►—►20.解：（1）设椭圆C的标准方程为—+由题可知另一个焦点为F'a2b2.由椭圆的定义可知|MF|+\MF'|=：(1-J3)2+(1+打)2+2=4=2a,因为c=J3且b2=a2-c2,所以b=1,所以椭圆C的标准方程为才+y2=1.(2)因为直线l:y=kx+m(k<0,m>0)与圆x2+y2=1相切,所以——==1，即m2=1+k2.1+k2设Aq,人），B（设Aq,人），B（x2,打），联立＜x2，消去y整理得—+y2=1I4(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，所以A=16(4k2-m2+1)=48k2>0,8km4m2-4x+x=—，xx=124k2+1124k2+1所以AB=J1+k+x所以AB=J1+k+xT2-4xx212=鈕2+1-m2舞罟<4k2-m2+1，=2-邑,21J3同理阿=2Px2'所以|AF|+|BF|二4-+x)=4+所以|AF|+|BF|二4-224k2+14k2+1所以|AF|+|BF|+|AB=4+需-黔=4'故AABF的周长为定值4.121.解：(1)因为t(x)=x2—(a+2)x+2alnx，22a(x—2)(x—a)所以t(x)=x—(a+2)+=xx所以①当a<0时，t(x)在(0,2］上为减函数，在b,+8)为增函数;②当0<a<2时，t(x)在(0,a］上为增函数，在4,2〕上为减函数，在［2,+8)上为增函数;③当a=2时，t(x)在(0,)上为增函数;④当a>2时，t(x)在(0,2］上为增函数，在b,a］上为减函数，在［a,+8)上为增函数.⑵设P(x,x3)(x>0).000因为g'(x)=3x2，所以g(x)=3x2，00所以直线1的方程为y—x3=3x2(x—x)，即y=3x2x—2x3①.00000假设直线1与/(x)的图象也相切，切点为(x,lnx).11因为f(x)=，所以f(x)=-,x1x1所以直线l的方程也可以写为y-Inx=—(x—x所以直线l的方程也可以写为y-Inx111乂因为3x2=，即x=—0x13x210所以直线1的方程为y所以直线1的方程为y-l