平行线几何模型之M型解题方法专题练习【尖子生题典】

平行线几何模型之M型解题方法专题练习一、解答题1.在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1,ZB+ZC=ZBEC.求证：AB//CD请补充下面证明过程：证明：过点E,作EF//AB,如图2TOC\o"1-5"\h\zAZB=Z（）•:ZB+ZC=ZBEC,ZBEF+Z=ZBEC（已知）:.ZB+ZC=ZBEF+ZFEC（）/.z=zAEFU（）VEF//AB・・・AB//CD【标准答案】BEF-两直线平行内错角相等；FEC;等量代换；C;FEC-OC;内错角相等两直线平行【思路指引】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.【详解详析】证明：过点戏EF1AB、如图2,:.ZB=ZBEF（两直线平行内错角相等），•,ZB+ZC=ZfiEC,ZBEF+ZFEC=/BEC（已知），:.曷+/C=ZBEF+ZFEC（等量代换），.\ZC=ZFEC,AEFl/DC（内错角相等两直线平行），EF//AB,AB//CD.故答案为：BEF,两直线平行内错角相等，FEC,等最代换，C,FEC,DC,内错角相等两直线平如图：延长”、OC相较于由AB//CD可得ZA8FNE,再结合ZABF=ZDCE可得ZDCENE,即可得当BE//DE,最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；如图2:连接人C,设ZEAF=x,ZECF=y,ZEAB=4x,ZECD=4y,根据平行线性质得出ZBAC+Z4CZ>180°,求出匕。4〃+匕4。已=180。-(4对4)，)，再求出匕AEC和匕AFC,最后比较即可得到结论.【详解详析】证明：如图：延长"、OC相较于G,:ABHCD・.・ZABF=ZGZABF=^DCE：・ZDCE=ZG・.・BG//CE如图2:连接AC,设ZEAF=x,^ECF=yyZEAB=4x,ZECD=4y,,:ABHCD,:.ZBAC+ZACD=\S0°:.ZCAE+4x+ZAC£+4j=l80°:.ZCAE+ZACE=\S0°-(4a+4v),ZMC+ZFCA=180°-(3x+3y),・.・Z/1EC=180°-(ZCAE+ZACE)=180°-[80°-(4a-+4v)]=4x+4y=4(x+y)ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=180°-[180°-(3x+3y))]=3x+3y=3(x+y),・•・Z.AFC=-Z.AEC.图2【名师指路】本题主要考查r平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键.8.如图，若ABHCD,贝IJZB4-ZD=ZE,你能说明为什么吗？【思路指引】过&作EFHAB,利用两直线平行，内错角相等来证明.【详解详析】解：过E作EFHAB,-AB//CD,:.EF//CD,:.ZD=ZDEF,ZBED=ZBEF+ZDEF=ZB+ZD.【名师指路】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过E点作的平行线，利用平行线的性质来证明.9.在图中，若AB//CD,又得到什么结论？【标准答案】NB+N鸟+』％+•••+』尤t+20=N鸟+匕旦+•••+』£,【思路指引】根据图①可得ZE=ZB+ZD,根据图②可得4+/F+4)=NE+NG，即可根据规律得出题目的结论.【详解详析】解：①如图：过点E作EFHAB,ABHEFUCD,:.ZAI3E=ZBEF,2CDE=/DEF,:.ZE=ZB+ZD；②如图，过《点作EH//AB,过"点作FJ//AB过G点作GI//AB,•:EHHAB,FJHAB,GIHAB,AB//CD,:.ABI/EHIIJF/IGIIICD,;.ZABE=£BEH,』HEF=ZEFJ,ZJFG=ZFGI,ZIGD=ZGDC,:.ZABE+ZEFJ+ZJFG+ZGDC=ZBEH+ZHEF+ZFGI+Z/GZ),即NB+NF+ZQ=ZE+NG:③如图：

NB+匕鸟+/%+•••+匕氏_]+匕。=匕片+/£2+•••+』&.【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键.10.(2021•湖北矫口•七年级月考)如图1,AB//CD,E是AB、C7)之间的一点.判定ZBAE,ZCDE与匕4以)之间的数量关系，并证明你的结论；如图2,若ZBAE、ZCDE的两条平分线交于点F.直接写出ZA/D与ZA以)之间的数量关系；将图2中的射线DC沿庞翻折交府'于点G得图3,若』GQ的余角等于2ZE的补角，求Z.BAE的大小.【标准答案】(1)ZBAE+ZCDE=ZAED,见解析；(2)ZAFD=^AED;(3)60°【思路指引】作EFHAB,如图1,则EF//CD,利用平行线的性质得Z\=ZBAE,Z2=ZCDE,从而得到ZBAE+ZCDE=ZAED;如图2,由(I)的结论得ZAFD=ZBAF+ZCDF,根据角平分线的定义得到ZBAF=^ZBAE,ZCDF=*ZCDE,则ZAFD=y(ZBAE-hZCDE),加上(1)的结论得到ZAFD=^ZAED;由(1)的结论得ZAGD=ZBAF+ZCDG,利用折叠性质得ZCDG=4/CDF，再利用等屋代换得3到ZAGD=2ZAED--ZBAE,加上90。一匕人G/)=180。一2匕人£7),从而可计算出ZBAE的度数.

【详解详析】解：(1)ZBAE+/CDE=ZAED理由如下：作EF//AB,如图1,QAB//CD,:.EF//CD./.Z\=ZBAE,Z2=/CDE,:.ZBAE+』CDE=ZAED;如图2,由(1)的结论得ZAFD=ZBAF+ZCDF,/BAE、ZCDE的两条平分线交于点F,ZBAF=-ZI3AE,ZCDF=l/CDE,2ZAFD=|(ZBAE+ZCDE),ZBAE+ZCDE=ZAED,ZAFD=-ZAEDi2由(I)的结论得ZAGD=ABAF+ZCDG,而射线DC沿DE翻折交"于点G,:.ZCDG=4ZCDF,:.ZAGD=ZBAF+4ZCDF=-ZBAE+2ZCDE=-ZBAE+2(ZAED-ZBAE)=2232ZAED二ZBAE,2v90°-ZAGD=180°-2ZAED,39()。-2ZAED+-ZBAE=180°-2ZAED,.-.ZBAE=60°.【名师指路】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.11.（2021•黑龙江道里•七年级期末）已知，AB//CD,点E在CD上，点G,F在上，点H在A8,CZ）之间，连接FE,EH,HG,ZAGH=ZFED,FELHE,垂足为E.（1）如图1,求证：HGA.HE;（2）如图2,GM平分ZHGB,平分NH/刀，GM,EM交于点求证：ZGHE=22GME;（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分ZAFE交C刀于点K,若ZKFE:NMGH=I3:5,求ZHED【思路指引】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP//AB,根据平行线的性质解答即可;（3）过点H作HP//AB,根据平行线的性质解答即可.【详解详析】证明：（1）•:AB//CD,・•.』AFE=ZFED,ZAGH=ZFED,・.・ZAFE=ZAGH,:.EF//GH,・.・ZFEH+ZH=180°,VFE1HE,・・・ZFEH=90°,・.・ZH=180°-ZF£//=90°,:.HGLHE;(2)过点M作MQ//AB,*：AB//CD,:.MQ//CD,过点H作HP〃AB,,:AB〃CD,:.HP//CD,,「GM平分ZHGB,・•・ZBGM=/HGM=&/BGH,•・•切平分/HED,・.・ZHEM=ZDEM=?ZHED,,:MQ"AB,・.・ZBGM=/GMQ,•:MQ//CD,・・・ZQME=ZMED,・../GME=/GMQ+ZQME=/BGM+5MED,,:HP"AB,・.・ZBGH=/GHP=2ZBGM,,:HP/CD,・.・ZPHE=ZHED=2ZMED,：・ZGHE=ZGHP+ZPHE=2ZBGM+2ZMED=2(ZBGM+ZMED),・../GHE=/2GME;(3)过点A/作MQ//AB,过点"作HP)AB,由ZKFE:ZMGH=\3:5,设ZKFE=：3x,ZMGH=5x,由(2)可知：ZBGH=2ZMGH=10x,•「ZAFE+ZBFE=\SO°y・.・ZAFE=180°-10.r,•「FK平分匕AFE,:WAFK=ZKFE=?ZAFE,即-(180°-10x)=l3x,解得：x=5°,:.ZBGH=\0x=50°y•:HP〃AB,HP//CD,・.・ZBGH=ZGHP=50°,ZPHE=ZHED,VZGA/E=90°,・.・ZPHE=ZGHE-ZGHP=90°-50°=40°,・.・ZHED=40°.【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键.12.（2021•重庆江北七年级期末）如图1,AB//CD,点E、F分别在AB、CD±,点。在直线AB、CD之间，且ZEOF=1(X)°.EC求ZBEO+ZOFD的值；如图2,直线分别交/BE。、AOFC的角平分线于点M、N,直接写出匕EMN-匕FNM的值；如图3,EG在ZAEO内，ZAEG=mZOEG；F77在ZDFO内，ZDFH=mZOFH,直线MN分别交EG、/分别于点M、N,且ZFMN-ZENM=50。,直接写出，〃的值.【标准答案】(1)ZBEO+ZDFO=2";(2)/EMN-ZFNM的值为4()。；(3)|.【思路指引】过点。作OG//AB,可得砧〃OG〃CD,利用平行线的性质可求解；过点何作MK〃AB,过点N作NH//CD,由角平分线的定义可设ZBEM=ZOEM=x,』CFN=ZOFN=y,由ZBE0+/DFO=26O。可求x->=40°,进而求解；设直线FK与殆交于点H,FK与AR交于点、K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及』FMN_ZENM=50。，可得Z/fFD-ZAEG=50°,结合ZAEG=nZOEG,DFK=n/OFK,ZBEO*ZDFO=2",可得ZAEG+-ZAEG+180°-ZKFD--ZKFD=100°,iin即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.【详解详析】证明：过点。作OG//AB,'：AB//CDy:.AB//OG//CD,・.・ZBEO+ZEOG=180°,ZDFO+/FOG=180°,・../BEO+ZLEOG+ZDFO+AFOG=360°,即ZBEO+/EOF+ZDFO=360°,VZEOF=100°,ZBEO+ZDFO=26()°;(2)解：过点M作MK//AB,过点N作NH//CD,•「驯平分ZBEO,FN平分/CFO,设ZBEM=/OEM=x,ZCFN=Z.OFN=y,•「ZBEO+ZDFO=260°...ZBEO+匕DFO=2x+180。-2)，=260°,.\x->=40°,•JMK/ZAB,NH//CD,AB//CD,:.AB//MK//NH//CD,:.ZEMK=ZBEM=x,』HNF=』CFN=y,/KMN=/HNM,・..』EMN+』FNM=ZEMK+』KMN-(』HNM+ZHNF)=x+^KMN-ZHNM-y=x-y=40°,故ZEMN-2FNM的值为40°;如图，设直线FK与EG交于点H,FK与仙交于点K,行.【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用.(2021-山东禹城•七年级期中)⑴如图1,AB//CD,ZA=33°,ZC=4O°,则ZAPC=o•如图2,AI3//DC,点户在射线上运动，当点〃在9、。两点之间运动时，ZBAP=Zaf』DCP=",求匕CE4与/a、牟之间的数量关系，并说明理由；在(2)的条件下，如果点P在3、。两点外侧运动时(点P与点3、D、。三点不重合)，请你直接写出ZCE4与匕。、8之间的数量关系.【标准答案】(l)73o；(2)ZAPC=Na+N/7,理由详见解析；(3)当点尸在射线ZW上时，ZAPC=Na-匕尸；当点尸在08上时，ZAPC=Z力一Za.【思路指引】做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；过点P作PE//AB交AC于点然后根据平行线的性质求解即可；根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；【详解详析】如图1,过户作P&/应？QAB//CD,:.PE//AB//CD,:.ZA=ZAPEf/C=/CPE又•.•ZA=33。，ZC=40°/.ZAP£=33°,ZCPE=40°则ZCPA=ZAPE+ZCPE=33°+40°=73°图3•:AB//CD,・.・ZAKF=/KFD,ZAKF=ZEHK+AHEK=AEHK+ZAEG,・.・ZKFD=ZEHK+ZAEG,ZEHK=ANMF-/ENM=50°,・.・=50°+ZAEG,即ZKFD-ZAEG=50°,ZAEG=n/OEG,FK在ZDFO内，ZDFK=nZOFK.・.・ZCFO=180°-ZDFK-ZOFK=180°-2KFD--ZKFD,nZAEO=ZAEG+ZOEG=ZAEG+-ZAEG,nZBEO+ZDFO=260°,・.・Z4EO+zero=100°,・.・ZAEG+-ZAEG+\S0°-ZKFD--ZKFD=\00°,nn即(1+-(ZKFD-ZAEG)=80°,・..(1+上卜50。=80。，解得〃=：.经检验，符合题意，故答案为：【名师指路】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.(2021-湖北武昌•七年级期末)如图1,点A在直线上，点3在直线ST上，点C在MN,ST之间,且满足ZMAC+ZAC8+ZSBC=360°.证明：MN//ST;如图2,若Z4CB=60°,AD//CB,点E在线段BC上,连接曲，且ZDAE=2ZCBT,试判断ZCAE与/CAN的数量关系，并说明理由；1QQO如图3,若ZAC8=—(〃为大于等于2的整数)，点E在线段时上，连接AE,若ZMAE=化CBT,n【思路指引】连接人们根据已知证明NMM+/S84=180。，即可得证；作CF//ST,设表示出/CAN,ZACF,ZBCF,根据人得到ZDAC=120°,求出ZCAE即可得到结论；作CF//ST,设ZCBT邛,得到ZCBT=ZBCF邛,分别表示出/CAN和匕CAE,即可得到比值.【详解详析】解：(1)如图，连接AB,•.•NM4C+£4C3+£S8C=360°,ZACB+ZABC+ZBAC=180°,.•.ZM4B+ZSZM=18()。，:.MN//ST(2)ZCAE=2ZCAN,理由：作CF//S7,则MN//CF//ST,如图,设ZCBT=a,则ZDAE=2a.®CF=/CBT=a,ZCAN=ZACF=C/r-a,VAD//BC,ZDAC=mr-ZACB=\2(.r,.•.ZCAE=120°-ZDAE=120°-2a=2(60°一a)=2ZGW.即ZCAE=2/CAN.(3)作CF//ST,则MNHCFHST,如图，设ZCBT=F,则2MAE=，i。.-CF//ST,；.ZCBT=ZBCF=J3,TOC\o"1-5"\h\zZACF=Z.CAN=p=,nnZCAE=18（F-ZMAE-ZCAN=180°-nft+/?=^（I8（F-/?/?）,nn〃一11/CAE:/CAN=——：一=〃-1,nn故答案为〃-1.【名师指路】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.（2021•湖北梁子湖•七年级期中）如图1,直线AB//CD,点P在两平行线之间，点E在AB±,点F在CD上，连接PE,PF.（1）若ZPEB=60。,ZPFD=50°,请求出NEPF.（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2,若点P,。在直线48与C。之间时，匕1=30。，匕2=40。，Z3=70°,请求出匕4=.（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3,在图1的基础上，作PU?平分匕PE8,RF平分匕PF。，若设ZPEB=x°,ZPFD=y\则ZPi=（用含x,的式子表示）.若PzE平分ZP皿,P2P平分ZP.FD,可得匕P2；.(用尸3右平分匕P2EB,P3尸平分ZP2FD,可得NP3...，.(用含X,y的式子表示)【标准答案】(1)110。；(2)80。;⑶式工+)，)。,［刃(工+)，)。【思路指引】过点户作PH〃A8〃C£),根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得;同理依据两直线平行，内错角相等即可WZ1+Z4=Z2+Z3,求得匕4=80。；利用(I)的结论和角平分线的性质即可写出结论；【详解详析】解：(1)如图1,过点P作PH//AH//CD:.Z\=ZEPHfZ2=ZFPH而ZEPF=ZEPH+ZFPH.•.Z£PF=Z1+Z2=1IO°；(2)过点P作PM//AB,QN//AB图2PM//AB:.Zl=EPMQNHAB,PMIIAB,AB//CD:.AB//PM//QN)DCWMPQ=/NQP,』NQF=&Z3=ZEPM+ZMPQ,Z4=ZPQN+ZNQF.*.Z1+Z4=Z2+Z3,VZ1=3O°,匕2=40。，Z3=70°,・•・Z4=80°,故答案为：80°•••华平分ZPEB:.ZgEB=ZPER同理/DFP\=ZP\FP=-PFD+-BEP22=?(PFD+BEP)ZEP}F=^x+y)(用x,)，的代数式表示)・.・小BD=&PA,』GAC=/NBD,・.・Z.GAC=ANPAy・.・GH//MN;(2)延长AC交MN于点P,交DE于点Q,图2ZE+ZEAQ+ZAQE=180°,匕AQE+£40)=180°,.・.ZAQD=ZE+ZEAQ•.•AP//BD,ZAQD=ZBDQ,ZBDQ=ZE+ZE/\Qy•「AE平分ZGAC,DE平分ZBDC,...ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,・•.』CDB=2ZE+ZGAC,VZAED=ZGACyZACD=ZCDB,・.・ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC;当K在直线G矿卜方时，如图，设射线BF交G/7于/,,:GHUMN,:・ZAIB=ZFBM,平分ZMBD,

・.・ZDBF=ZFBM=W(180°-ZOBN),・•・ZAIB=ZDBF,ZAIB+ZKAG=ZAKB,ZAKB=ZACD,・•・ZACD=ZDBF+ZKAG,ZKAG=^ZGAC,』GAC=&BD,・..：ZGAC+：(180°-ZDBN)=ZACD=3ZGAC,即?ZGAC+90°-；ZG4C=3ZGAC,解得：解得：NG4C解得：NG4C540)解得：NG4C540)19J当K在直线GH上方时，如图，同理可证得ZA/B=?(180O-ZDBN)=ZAKB+ZKAG,«w则有3NG4C+』NG4C=L(I8O°-匕G4C),2【名师指路】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.CD图1(2)zS4PC=Za+Z^理由是：如图2,过点P作PE!IAB交AC于点E-AB//CD,:.PE//AB//CD:.ZAPE=ZPAI3=Zay2CPE=/PCD=":.AAPC=ZAPE+/CPE=匕。+匕少⑶当点P在射线OM上时，设CD与AP交于点a,如图所示,・../a=ZDHP,乂•.•在△CHPqj,ZDHP=”nAPC,・・・Na=N^+NAPC,即：ZAPC=Ba-3,当点P在OB上时，如图所示，N・.・ZAPE=ZBAP=Za>.・•曲〃CD,:.PE//CD,：・/CPE=/PCD=/&,・.・ZCPA=ZCPE-ZAPE=Zfi-Za.答：ZCPA^Za,匕夕之间的数量关系为：ZCPA=Zfi-Za.即AAPC=#-Za.【名师指路】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.(2021•北京西城•七年级期末)如图，ABHCD,点E为两平行线间的一点.请证明两个结论.Zfi£D=Zl+Z2；ZEBM+ZEDN+ZBED=360.【标准答案】(1)见解析；(2)见解析.【思路指引】过点E作EF//AB,根据平行线的性质求证即可;根据平行线的性质即可得证；【详解详析】(I)过点E作EFHAB,'CAB//CD,

:.AI3//EF//CD,；.Z1=ZBEF,Z2=/DEF,.-.ZB£D=Z14-Z2•(2)-AM//EF:.ZMBE+ZREF=180,CD//EF；.ZNDE+ZDEF=18。,又,?ZBED=ZBEF+ZDEF,:.ZEBM+AEDN+ABED=360’.【名师指路】本题考查r平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.如图所示，已知ABHCD,BE平分ZABCfDE平分NADC,求证：ZE=|(ZA+ZC)XB【标准答案】见解析【思路指引】先根据平行线的性质得出ZA=ZADC,ZC=ZABC,再由曲平分ZABC,OE平分ZADC可知4=?ZADC,/2=?，A2G根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解详析】解：如图：

AAZA=ZADC,ZC=ZABC.•「BE平分匕ABC,庞平分NAOC,AZ1=7ZADC,Z2=?ZABC...N3是三角形的外角，・.・Z3=ZE+Z2=匕C+Z1,.•.ZE+-ZABC=ZC+-ZADC,22即ZE+yZC=ZC4-|ZA,.・.4=!(ZA+ZC).【名师指路】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键.若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想匕a、ZK匕2之间的等量关系并给出证明；若点P在直线CD的下方，如图③，(2)中/a、ZK匕2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由.【标准答案】(1)50;(2)Za=Zl+Z2,证明见解析；(3)不成立.理由见解析.【思路指引】由题意直接根据平行线的性质可直接求解；由题意过P作PG〃AB,贝IJPG〃AB〃CD,利用平行线的性质即可求解；根据题意过P作PH〃AB,贝IJPH〃AB〃CD,利用平行线的性质进行分析即可求解.【详解详析】解：(1)VAB/7CD,Za=50°/.Z2=Za=50°,故答案为：50;(2)Za=Zi+Z2.证明：过P作PG〃AB,•「AB〃CD,・.・PG〃AB〃