教学课件 金融数学基础-孟生旺

金融数学1教学内容：基本的金融计算问题。不含BS期权定价、期权交易策略、随机利率。计算工具：EXCEL金融函数，解方程教学进度：每周15-18页教材课外学习时间：每周至少3小时2练习和作业：课堂练习（英文为主）：根据情况要求提交。教材练习（中文）：自己检查核对，提供参考答案课外作业（英文）：每章安排一次，共10次作业。测验和考试测验（英文）：开卷，随堂完成。期末考试（10题，2题英文，8题中文）：闭卷，2小时，可以使用计算器。成绩评定：平时（课堂练习、作业、测验）：30%期末考试：70%资源下载（/mengshw）3利息度量累积函数实际利率单利和复利贴现函数实际贴现率名义利率名义贴现率利息力（连续复利）4几个实际问题半年期的定期存款利率是2%。请问1万元存半年，到期的利息是多少？三年期的定期存款利率是4.25%。请问1万元存三年，到期的利息是多少？银行推出的理财产品为65天，预期年化收益率为5%，购买10万元到期可以获得多少利息？56如何度量速度？公里/小时，米/秒，……瞬时速度如何度量利息？利率（实际，名义）贴现率（实际，名义）利息力（连续复利）71.1利息的基本函数利息（interest）的定义：借用他人资金需支付的成本，或出让资金获得的报酬。利息存在的合理性资金的稀缺性时间偏好资本也是生产力8关于利息的几个基本概念本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值（accumulatedvalue）：一段时期后收到的总金额。利息（interest）——累积值与本金之间的差额。9积累函数(Accumulationfunction)累积函数：时间零点的1元在时间t的累积值,记为a(t)。性质：a(0)=1；a(t)通常是时间的增函数；当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。

注：一般假设利息是连续产生的。10例：常见的几个积累函数（1）常数：a(t)=1（2）线性：a(t)=1+0.1t（3）指数：a(t)=(1+0.1)t

111210ta(t)累积函数？对应哪些实例？例假设累积函数为请计算t=1时的500元

，在t=2的累积值是多少。解：13ta(t)011225310141.2实际利率（effectiverateofinterest）实际利率i

是时间零点的1元在期末产生的利息：实际利率i是期末获得的利息金额与期初本金之比：15实际利率经常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；通常使用的时间单位是年。如无特殊说明，利率是指年利率。注：16例：

把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？问题：整个存款期间的实际利率是多少？整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）171.3单利(simpleinterest)单利的积累函数：18单利的累积函数

19单利对应的实际利率：问题:为什么每个时期的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？可见，实际利率是

t的递减函数。单利与实际利率的关系：只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。时间零点投资1元，在每年末得到完全相同的利息i

，i称为单利率。20单利的特点：21例若年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：利息为：22时间t的确定,t=投资天数/每年的天数（1）“实际/365”（actual/actual）：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）“实际/360”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按360天计算。称为行家规则

(banker’srule)。（3）“30/360”规则：每月按30天计算,每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：其中起始日为Y2年M2月D2日，到期日为Y1年M1月D1日。23例：投资者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月7日取出，基金的年单利利率为8%，请分别根据下列规则计算投资者可以获得的利息金额：（1）“实际/365”规则（2）“实际/360”规则（3）“30/360”规则（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t=238/365，利息金额为：（2）在“实际/360”规则下，t

=238/360，利息金额为：（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：

故t

=233/360，利息金额为：25单利的缺陷：不满足一致性

证明：含义：分两段投资将产生更多利息。问题：分段越来越多，产生的利息是否会趋于无穷大？练习单利的年利率为i，当前的1元到年末的累积值为1+i如果把1年划分为n个等间隔的时间段按单利进行投资，年末的累积值是多少？当n趋于无穷大时会怎样？26271.4复利(compoundinterest)单利：本金保持不变。复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即“利滚利”。例：假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。第二年按照1050元来计算，将在年末获得52.5元利息。问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？28复利的积累函数29实际利率=复利利率复利的实际利率30单利与复利的比较（假设年利率相等）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率为常数。当0<t<1时，单利比复利产生更大的积累值。当t>1时，复利比单利产生更大的积累值。当t=0或1时，单利和复利产生相同的累积值。复利单利3132ExerciseItisknownthat1000investedfor4yearswillearn250ininterest,i.e.,thatthevalueofthefundafter4yearswillbe1250.Determinetheaccumulatedvalueof4500investedatthesamerateofcompoundinterestfor10years.33Solution:341.5贴现（discount）累积：在时间零点投资1元，在时间

t的累积值是多少？贴现：在时间零点投资多少，才能在时间

t累积到1元?时间t的1元在时间零点的价值称为贴现函数，记为a-1(t)。0t1a(t)a-1(t)135贴现函数(discountfunction)单利的贴现函数复利的贴现函数注：除非特别申明，今后一概使用复利。36(1+i)累积因子：accumulationfactor

t年累积因子：t-yearaccumulationfactor贴现因子：discountfactorvt

t年贴现因子：t-yeardiscountfactor几个术语：37

实际贴现率：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：期初本金期末累积值利息=期末累积值-期初本金（期初比期末少百分之几？）（期末比期出多百分之几？）例年实际贴现率为d，请计算年末的1元相当于年初的多少？解：令其等于X，则由贴现率的定义，有381-d10139实际利率i与实际贴现率d的关系（1）11+i01当期利息：i根据贴现率的定义：40实际利率i与实际贴现率d的关系（2）1

-d101当年利息：d年末的1元在年初的现值为：1-d根据利率的定义：41证明：注：把年末支付的利息i

贴现到年初，等于在年初支付的d。换言之，年末的i相当于年初的d。实际利率i与实际贴现率d的关系（3）42v=1–d解释：年末的1在年初的现值可以表示为v，或1–d。贴现函数可表示为a–1(t)=

累积函数可表示为a(t)=

011v（1－d）实际利率i与实际贴现率d的关系（4）证明：43i–d=id解释：1元本金在年末有i元利息，(1–d)元本金在年末有d元利息。产生(i–d)元利息差额。原因：本金有d元差额，导致的利息差额是id。本金（Principal）利息（interest）累积值（Accumulatedvalue）1i1+i1-dd1

本金之差:d→

利息之差

di

利息之差:i–d实际利率i与实际贴现率d的关系（5）证明：44

例:

i=5%=1/20,

d=1/21证明：实际利率i与实际贴现率d的关系（6）问题：已知年实际利率为5%。回答下述问题：（1）100万元贷款在年末的利息是多少？（2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？（3）年实际贴现率是多少？（4）写出累积函数和贴现函数。（5）分别用实际利率和实际贴现率计算，5年末到期的100万元在时间零点的价值是多少？45问题：

（1）贴现率随着利率变化的规律？（2）利率随着贴现率变化的规律？4647利率贴现率利率i和贴现率d的关系问题：如果利率趋于无穷？48贴现率利率贴现率d和利率i的关系问题：如果贴现率趋于1？49例面值为100元的一年期零息债券的价格为95元。一年期定期储蓄存款的利率为5.25％。投资者应该存款还是购买零息债券？50解：比较贴现率：零息债券的贴现率d＝5%储蓄的贴现率d＝i/(1+i)=4.988％比较利率：零息债券的利率储蓄的利率为5.25％51计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用贴现率。用利率计算：累积函数：a(t)=(1+i)t

贴现函数：a–1(t)=(1+i)–t用贴现率计算：累积函数：a(t)=(1－d)-t贴现函数：a–1(t)=(1－d)t小结：52一些重要的等价关系式：i=d/(1-d)d=i/(1+i)d=iv

v=1-d

i-d=id

0111+i1-d1v153ExerciseAninvestordeposits20,000inabank.Duringthefirst4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi.Duringthenext4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi-0.02.Attheendof8yearsthebalanceintheaccountis22081.10.Whatwouldtheaccountbalancehavebeenattheendof10yearsiftheannualeffectiverateofinterestwerei+0.01foreachofthe10years?020,0004810ii-0.0222081.10?i+0.0154Theequationofvalueistheaccountbalanceafter10yearswouldbeSolution:55ExerciseItisknownthattheaccumulationfunctiona(t)isoftheformb(1.1)t

+ct2,wherebandcareconstantstobedetermined.(a)If$100investedattimet=0accumulatesto$170attimet=3,findtheaccumulatedvalueattimet=12of$100investedattimet=1.(b)Determineageneralformulaforin,andshowthat56Solution:(a)Anaccumulationfunctionmusthavethepropertythat

a(0)=1;thisimpliesthat1=b+0,sob=1.thenc=0.041henceThegivendataimplythata(t)=b(1.1)t

+ct257hence(b)58ExerciseItisknownthataninvestmentof750willincreaseto2097.75attheendof25years.Findthesumofthepresentvaluesofpaymentsof5000eachwhichwilloccurattheendsof10,15,and25years.7502097.755010152025500050005000？59Solution:Theknownfact:Thepresentvalueofthreepaymentsof5000after10,15,and25yearswillbe第二讲60本章主要内容累积函数，实际利率贴现函数，实际贴现率名义利率名义贴现率利息力（连续复利）6162回顾63实际利率：一年复利一次。名义利率：一年复利多次，或多年复利一次。例：3个月期的存款年利率为1.8%例：3年期的存款年利率为4%名义利率？64考虑下述两笔贷款：贷款100万，年利率为12％，年末支付利息12万。贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率。65名义利率的各种表述季度的实际利率为3%：年利率为12%，每年结转4次利息；年利率为12%，每年复利4次；年利率为12%，每季度结转一次利息；年利率为12%，每季度复利一次。相关术语利息结转期：interestconversionperiod；每月结转一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月复利一次：compoundmonthly；66年名义利率

i(m)

表示每年复利m次，即每1/m年支付一次利息，每1/m年的实际利率为i(m)/m。例：i(4)=8%

表示每季度复利1次，每季度的实际利率为2%。例：i(12)=6%

表示每月复利1次，每月的实际利率为0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年复利1次，5年期的实际利率为50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年复利1次，2年期的实际利率为18%。名义利率的定义67问题：三个月定期存款的年利率为1.8％

，存1000元满3个月可得多少利息？答案：i(4)＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存1000元满3个月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。问题：5年期定期存款的年利率为6％

，存1000元满5年可得多少利息？答案：i(1/5)＝6%，5年期的实际利率为6%×5，存1000元满5年可得利息1000×6%×5=300元。68名义利率与实际利率的关系：

对名义利率的一种解释：

名义利率是在1/m时期内与实际利率（复利利率）i

等价的单利利率。例：时间零点投资100万元，年利率为12%，请在下述各种条件下计算1个月末和1年末的累积值：（1）上述利率是单利利率（2）上述利率是实际利率（复利利率）（3）上述利率是名义利率，每年复利12次解：6970Example：Whichrateismorefavorabletoaninvestor:5%compoundsemi-annually4.95%compounddaily(note:ayearis365days)71

年利率一定的条件下，每年的复利次数越多，年实际利率越高。年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年实际利率110.000%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%72问题：年利率i(m)一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？年复利次数年实际利率110.00%365(每天)10.52%∞10.52%73ExampleAnominalannualrateof6%iscompoundedevery8months,whatistheaccumulationfunction?Solution:Therearem=12/8=1.5compoundingperiodsperyear,so74课后练习：银行储蓄业务的年利率如下，请计算它们等价的年实际利率。存款年利率（％）活期定

期3个月6个月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.1475存款利率：等价的名义利率和实际利率的比较定

期3个月6个月1年2年3年5年年名义利率1.802.252.523.063.694.14等价的年实际利率1.8122.2632.523.0153.5623.834小于1年时，实际利率大于名义利率；

超过1年时，实际利率小于名义利率。76Exercise：EricdepositsXintoasavingsaccountattime0,whichpaysinterestatanominalrateofi,compoundedsemiannually.Mikedeposits2Xintoadifferentsavingsaccountattime0,whichpayssimpleinterestatanannualrateofi.EricandMikeearnthesameamountofinterestduringthelast6monthsofthe8thyear.Calculatei.7778名义贴现率(nominalannualrateofdiscount)

定义：d

(m)

是指每1/m时期的实际贴现率为d

(m)

/m。对名义贴现率的一种解释：

名义贴现率是在1/m时期内

与实际贴现率d等价的单贴现率。79Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名义贴现率为6％，半年复利1次，第6年末的值为$1000，求现值）解：80名义利率与名义贴现率的关系把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年内的实际利率和实际贴现率，则81例：确定每季度复利一次的利率，使它等价于每月复利一次的6％的贴现率。解：82nominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)10.00%2(每半年)9.75%4(每季)9.63%12(每月)9.55%52(每周)9.53%365(每天)9.52%∞9.52%83小结：各种等价度量工具之间的数值大小关系？m=1:12i=0.05d=i/(1+i)im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mmatplot(m,cbind(im,dm),type='l',lwd=3,ylab='',main='随着复利次数m的增加，名义利率和名义贴现率的变化过程 （假设实际利率为5%）')legend(4,0.05,c('名义利率','名义贴现率'),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col='white')abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)84Example:Jeffdeposits10intoafundtodayand20fifteenyearslater.Interestiscreditedatanominaldiscountrateofdcompoundedquarterlyforthefirst10years,andatanominalinterestrateof6%compoundedsemiannuallythereafter.Theaccumulatedbalanceinthefundattheendof30yearsis100.Calculated.$10$20015years30years$10010years85Solution：$10$20015years30years$10010years86回顾：年实际利率可以度量资金在一年内的增长强度（年平均）。名义利率可以度量资金在一个小区间（如一个月）的增长强度（月平均）。问题：如何度量资金在每一个时点上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度。称作利息力。1.8利息力(forceofinterest)87定义：利息力度量资金在每一时点上（无穷小的时间区间）增长的强度。在时间区间[t,t+h]的实际利率为对应的年名义利率为（1年包含1/h个小区间）88

为时刻t的利息增长强度（即利息力）。定义：设积累函数连续可导，则时刻t的利息力为问题：为什么不用a(t)直接度量利息的增长强度？89单利在t时刻的利息力单利的累积函数

t时

的利息力为单利的利息力是时间的递减函数（参见下图）。9091复利在时刻t的利息力因为所以时刻t的利息力为复利的利息力是常数！与时间无关。称为复利的利息力。故累积函数可以表示为92用利息力表示的累积函数和贴现函数：

两边从0到t积分，得故有

93对利息力的另一个解释：在复利条件下，当m趋于无穷时的名义利率就是利息力：94问题：当m趋于无穷时的名义贴现率d(m)与利息力有何关系？利息力的相关概念：连续收益率？连续复利？对数收益率？股票的日收益率？例：股价：100,101,102对数收益率：ln(101/100),ln(102/101)95961.9贴现力(forceofdiscount)用贴现函数a-1(t)代替累积函数，在t时刻的贴现力为

增加一个负号使得贴现力为正。利息力=贴现力：971.10利率概念辨析实际利率和名义利率：在经济学中，实际利率是扣除了通胀率以后的利率；名义利率是包含通胀率的利率。用i表示名义利率，r表示实际利率，

表示通胀率，则有

(1+i)=(1+r)(1+)i=r+

+r

可近似表示为

i

r+

或r

i－

即实际利率近似等于名义利率减去通胀率。例：当前存入100元，1年后获得110元。如果通胀率为10%，则实际利率为0。98利率和贴现率：在需要计算现值的场合，利率有时被误称为贴现率。计算现值可以用利率、贴现率、利息力：99小结100Acustomerisofferedaninvestmentwhereinterestiscalculatedaccordingtothefollowingforceofinterest:Thecustomerinvests1000attimet=0.Whatnominalrateofinterest,compoundedquarterly,isearnedoverthefirstfour–yearperiod?Exercise101Solution:102Exercise：Brucedeposits100intoabankaccount.Hisaccountiscreditedinterestatanominalrateofinteresticonvertiblesemiannually.Atthesametime,Peterdeposits100intoaseparateaccount.Peter’saccountiscreditedinterestataforceofinterestofd.After7years,thevalueofeachaccountis200.Calculate(i-d).103104Attime0,KisdepositedintoFundX,whichaccumulatesataforceofinterestdt=0.006t2.Attimem,2KisdepositedintoFundY,whichaccumulatesatanannualeffectiveinterestrateof10%.Attimen,wheren>m,theaccumulatedvalueofeachfundis4K.Determinem.Exercise105Solution:ForthefundX,So,n=8.85.ForthefundY,

m=8.85－7.27=1.58106Tawnymakesadepositintoabankaccountwhichcreditsinterestatanominalinterestrateof10%perannum,convertiblesemiannually.Atthesametime,Fabiodeposits1000intoadifferentbankaccount,whichiscreditedwithsimpleinterest.Attheendof5years,theforcesofinterestonthetwoaccountsareequal,andFabio’saccounthasaccumulatedtoZ.DetermineZ.Exercise107Solution：ForTawny’sbankaccount,andtheforceofinterestisForFabio’saccount,a(t)=1+itanddt=i/(1+it).Attimet=5,2ln(1.05)=i/(1+i5).So,108BrianandJennifereachtakeoutaloanofX.Jenniferwillrepayherloanbymakingonepaymentof800attheendofyear10.Brianwillrepayhisloanbymakingonepaymentof1120attheendofyear10.Thenominalsemi-annualratebeingchargedtoJenniferisexactlyone–halfthenominalsemi–annualratebeingchargedtoBrian.CalculateX.(X=568.14)Exercise109解：110x(1+i)20=800x(1+2i)20=1120i=0.017259

x=568.14111例：基金A以利息力函数累积；

基金B以利息力函数累积。

分别用和表示它们的累积函数。

令，计算使达到最大的时刻T。

112解：h(t)=t–2t2，h’(t)=1–4t，因此当t＝1/4时，h(t)达到最大。等额年金

（LevelAnnuity）孟生旺中国人民大学统计学院/mengshw113引言利息度量：累积函数：实际利率、名义利率、利息力贴现函数：实际贴现率、名义贴现率、利息力年金（现金流）的价值？等额年金变额年金114115本章主要内容：计算等额年金的价值年金的含义和类型期末付年金（Annuity-immediate）

期初付年金（Annuity-due）

期初付与期末付年金的关系延期年金（deferredannuity）永续年金（Perpetuity）每年支付m次的年金（mthlypayableannuity）连续年金（continuouspayableannuity）116年金（annuity）含义：一系列的付款（或收款），付款时间和付款金额具有一定规律性。117年金的类型支付时间和支付金额是否确定？确定年金(annuity-certain)风险年金(contingentannuity)。支付期限？定期年金（period-certainannuity)永续年金（perpetuity）。支付时点？期初付年金（annuity-due）期末付年金（annuity-immediate）

开始支付的时间？即期年金，简称年金延期年金（deferredannuity）

每次付款的金额是否相等？等额年金(levelannuity)变额年金(varyingannuity)1181191、期末付年金（Annuity-immediate）含义：每个时期末付款1元。年金时间120

：a-angle-n期末付年金的现值因子

（annuity-immediatepresentvaluefactor）121 ：s-angle-n期末付年金的累积值（终值）因子

annuity-immediateaccumulatedvaluefactor122等价关系式（1）：

含义：初始投资1，在每期末产生利息i，这些利息的现值为。在第n个时期末收回本金1，其现值为。1iii……10123证明（可略）：(下图解释）等价关系式（2）：1240n1……iiiii+11125例：银行贷出100万元的贷款，期限10年，年实际利率为6％，请计算在下面三种还款方式下，银行在第10年末的累积值是多少（假设：银行收到的款项仍然按6%的利率进行投资）。本金和利息在第10年末一次还清；每年的利息在当年末支付，本金在第10年末归还。在10年期内，每年末偿还相等的金额。126解：（1）10年末的累积值为（2）（3）设每年末的偿还额为R，则

1272、期初付年金（annuity-due）

含义：在n个时期，每个时期初付款1元。

1111……1

0123……n-1n

128——期初付年金的现值因子——期初付年金的积累值因子129和的关系证明（可略）：1300n1……ddd1diiii+11313、期初付年金和期末付年金的关系说明:的n次付款分解为第1次付款与后面的(n–1)次付款。11……11n次111……11132ExampleCharleshasinheritedanannuity-dueonwhichthereremain12paymentsof10,000peryearataneffectivediscountrateof5%;thefirstpaymentisdueimmediately.Hewishestoconvertthistoa25-yearannuity-immediateatthesameeffectiveratesofdiscount,withfirstpaymentdueoneyearfromnow.Whatwillbethesizeofthepaymentsunderthenewannuity?10000……10000X……X（12payments,d=5%)(25payments,d=5%)133令X是新年金在每年末的支付额，则Solution:d=5%134ExerciseKathryndeposits100intoanaccountatthebeginningofeach4-yearperiodfor40years.Theaccountcreditsinterestatanannualeffectiveinterestrateofi.Theaccumulatedamountintheaccountattheendof40yearsisX,whichis5timestheaccumulatedamountintheaccountattheendof20years.CalculateX.135SolutionTheeffectiveinterestrateoverafour-yearperiodis:1364、延期年金（deferredannuity）含义：推迟m个时期后才开始付款的年金。延期年金现值为137例：年金共有7次付款，每次支付1元，分别在第3年末到第9年末。求此年金的现值和在第12年末的积累值。1385、永续年金（Perpetuity）永续年金：无限期支付下去的年金。

为期末付永续年金（perpetuity-immediate）的现值。永续年金：将本金按利率i无限期投资，每期支付利息。139

表示期初付的永续年金（perpetuity-due）的现值。140期末付年金与永续年金的关系：n年的期末付年金可看作下述两个永续年金之差：第一个每年末付款1，现值为；第二个延迟n年，从n+1年开始每年支付1，现值为

因此n年的期末付年金的现值等于141ExampleAperpetuitypaying1atthebeginningofeachyearhasapresentvalueof20.IfthisperpetuityisexchangedforanotherperpetuitypayingRatthebeginningofevery2years,findRsothatthevaluesofthetwoperpetuitiesareequal.1111……RR……142两年期的实际贴现率D为：故新的永续年金的现值为143练习：

一笔10万元的遗产：第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给受益人C。遗产的年收益率为7％，请确定三个受益者的相对受益比例。144解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是A、B、C受益比例近似为49％，25％和26％。145ExampleGiveanalgebraicproofandaverbalexplanationfortheformula。146Solution（课后阅读）

1470mm+n解释：一个永续年金可以分解为三个年金之和：1486、可变利率年金Example：Findtheaccumulatedvalueofa10-yearannuity-immediateof$100peryeariftheeffectiverateofinterestis5%forthefirst6yearsand4%forthelast4years.06101001005%4%100accumulatedvalue149解：前六年的投资在第6年末的价值为再按4％的利率积累到第10年末的价值为后四年的投资在第10年末的累积值为在第10年末的价值为06101001005%4%100150Exercise:Afundof2500istobeaccumulatedbynannualpaymentsof50,followedbyn+1annualpaymentsof75,plusasmallerfinalpaymentXofnotmorethan75made1yearafterthelastregularpayment.Iftheeffectiveannualrateofinterestis5%,findnandtheamountofthefinalirregularpayment.

nn+1X每次50每次75Accumulatedvalue：2500151Solution：nn+1X每次50每次75（看作期末付款）（负值的含义？）累积：2500152Exercise:Alevelperpetuity-immediateistobesharedbyA,B,C,andD.Areceivesthefirstnpayments,Bthenext2npayments,Cpayments#3n+1,…,5n,andDthepaymentsthereafter.ItisknownthatthepresentvaluesofB'sandD'ssharesareequal.FindtheratioofthepresentvalueofthesharesofA,B,C,D.

153Solution：154B=DA:B:C:D=(1–vn)

:(vn–v3n):(v3n–v5n):(v5n)

=0.2138:0.3003:0.1856:0.3003155Excel应用（说明见下页）156PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款总期数。

pmt

必需。各期所应支付的金额，其数值在整个年金期间保持不变。如果省略pmt，则必须包括fv参数。

fv

可选。终值。缺省值为0。

type

可选。0表示期末，1表示期初。缺省值为0。157FV(rate,nper,pmt,[pv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款总期数。

pmt

必需。各期支付的金额。如果省略pmt，则必须包括pv参数。

pv

可选。现值。缺省值为0。

type

可选。0表示期末，1表示期初。缺省值为0。158前述年金的特点每年复利1次（给出年实际利率），每年支付1次问题：如何计算下述年金？每年复利1次，每年支付m次（常见）方法１：计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。方法２：建立新公式回顾159例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6%，请计算每月末的付款金额。（应用基本公式）160解：年实际利率为6%，所以月实际利率j为

假设每月偿还金额为X，则1617、每年支付m次的年金：建立新公式n表示年数。m表示每年的付款次数。i

表示年实际利率。162

期末付年金（annuity-immediatepayablemthly）：每年支付m次,每次的付款为1/m元，每年的付款是1元。163证明：（级数求和）（分子分母同乘(1+i)1/m)（a-upper-m-angle-n）164是以每年的付款等于1计算的。需要已知年实际利率和名义利率。应用上述现值公式的注意事项：例：10年内每月末支付400的现值？例：5年内每季度末支付200的现值？165

的关系（哪个较大？）：证明：166上述年金的累积值：

的关系（哪个较大？）：

例：10年内每季度末支付400的累积值？例：5年内每月末支付200的累积值？167例：投资者向一基金存入10000元，基金的年实际利率为5%。如果投资者在今后的5年内每个季度末从基金领取一笔等额收入，则投资者第5年末在基金的价值为零。请计算该投资者每次可以领取多少。168解：假设在每个季度末可以领取x元，则每年的领取额是4x元，因此所有领取额的现值为，故：Excel应用？ABC1实际利率i5%5%2名义利率i(m)=NOMINAL(C1,4)4.91%3现值因子an=PV(C1,5,-1,0,0)¥4.334领取额=2500/(C1/C2*C3)¥566.92169练习：投资者在每月末向一基金存入1000元，如果基金的年实际利率为5%，请计算该投资者在第5年末的积累值。解：每年的存入额为12000元，因此有

Excel应用？ABＣ1实际利率i5%5%2名义利率i(m)=NOMINAL(C1,12)4.889%3终值因子sn=FV(C1,5,-1,0,0)¥5.534第5年末的价值=12000*C1/C2*C3¥67,813.74170期初付年金（annuity-duepayablemthly）171每年支付m次的期初付年金的现值：哪个大？172ExampleFindthepresentvalueofanannuityonwhichpaymentsare100perquarterfor5years,justbeforethefirstpaymentismade,ifinterestforceisd

.100100100100100……5years，20payments100Presentvalue？173174每年支付m次的期初付年金的累积值：哪个大？175Example：paymentof$400permontharemadeoveraten-yearperiod.Findexpressionfor(1)thepresentvalueofthesepaymentstwoyearspriortothefirstpayment.(2)theaccumulatedvaluethreeyearsafterthefinalpayment.Usesymbolsbasedonaneffectiverateofinterest.176解：年付款为400×12＝4800。（1）（2）40040010年，每月付款1次，每次400元，共120次付款……问题：如果看做期末付年金计算？177永续年金：每年支付m次的永续年金的现值如下（两个年金相差1/m个时期）178例：投资者现在存入基金24000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？解：m=12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利率为i，则：179ExerciseAtanannualeffectiveinterestrateofi,i>0,thepresentvalueofaperpetuitypaying10attheendofeach3–yearperiod,withthefirstpaymentattheendofyear6,is32.Atthesameannualeffectiverateofi,thepresentvalueofaperpetuity–immediatepaying1attheendofeach4-monthperiodisX.CalculateX.180Solution:

令j为

3年期的实际利率，则

1+j=(1+i)3.永续年金在第3年末的价值为10/j永续年金在时间0点的价值为令其等于32，即得年实际利率：j=0.25181每4个月末支付1元（每年支付3元）的永续年金的现值为每4个月复利一次的年名义利率i

(3)为182问题：随着m的增大，每年支付m次的年金的价值如何变化？m趋于无穷呢？183n=10i=0.1d=i/(1+i)m=1:12im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mam0=(i/im)*(1-(1+i)^(-n))/i#每年支付m次的期末付年金am1=am0*(1+i)^(1/m)#每年支付m次的期初付年金matplot(m,cbind(am0,am1),type='o',pch=16,lty=1:2,col=1:2,lwd=2,ylab='',main='每年支付m次的年金现值因子随着m增加而变化的过程 （假设年金期限为10年，年利率为10%）')legend(4,6.7,c('每年支付m次的期末付年金现值因子','每年支付m次的期初付年金现值因子'),lty=1:2,col=1:2,box.col='white',lwd=2)1848、连续支付的年金

（continuouslypayableannuity）含义：假设连续不断地付款，但每年的付款总量仍然为1元。记号：ContinuouslypayableannuityPVfactorContinuouslypayableannuityFVfactor111012n185连续支付年金是年支付次数m趋于无穷大时的年金，故

连续支付年金与基本年金的关系：

186Continuouslypayableperpetuity：连续支付，每年的支付总量为1，支付期限为无穷。PVfactor：187Continuouslypayableannuityaccumulatedvaluefactor：188连续支付年金的现值（另一种方法）：从时点t开始的小区间dt内的付款为1dt，其现值为vtdt189连续支付年金的累积值（另一种方法）：190例：当利息力为多少时，解：将等式两边变形，可得191192重点期初付？终值？193价值方程（equationsofvalue）

Theequationofvaluethatgovernscashflowsis:

PVofinflows=PVofoutflowsWemaysolveanequationofvaluetofind:AnunknownamountofmoneyAnumberofyearsAninterestrate194练习：如果现在投资10万元，3年后投资20万元，在10年末的累积值为50万元，请计算半年复利一次的年名义利率。解：令，价值方程为用excel求解此方程得（请练习）195练习：投资者在每季初向基金存入1万元，当每年复利4次的年名义利率为多少时，在第5年末可以累积到30万元？解：假设每个季度的实际利率为j，则应用Excel求解即得j=0.037189i(4)=4j=0.1488196Exercise1：197Solution1：198Ataneffectiveannualinterestrateofi（i>0),itisknownthat(a)Thepresentvalueof5attheendofeachyearfor2nyears,plusanadditional3attheendofeachofthefirstnyears,is64.6720.(b)Thepresentvalueofann-yeardeferredannuity-immediatepaying10peryearfornyearsis34.2642.CalculatenExercise2：199Solution2:From(a)wehaveanequationofvalueFrom(b)wehavetheequationofvalueSolvingtheseequations,weobtain(1)(2)200asasn=8201Asumof10,000isusedtobuyadeferredperpetuity-duepaying500every6monthsforever.Findanexpressionforthedeferredperiodexpressedasafunctionofd10000500500500n?6months……Exercise3：202Solution3:

延期n

年的价值方程为：每6个月的实际贴现率D：n203Thepresentvaluesofthefollowingthreeannuitiesareequal:(i)perpetuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateof7.25%(ii)50-yearannuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateofj%(iii)n-yearannuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateof(j−1)%Calculaten.Exercise4：204Solution4:ThevalueofthefirstperpetuityisThevalueofthesecondannuityisFromtheequation,205Exercise5:Theaccumulatedvaluejustaftert