北理工 概率论 田第3讲(2012)课件

§1.7全概率公式与Bayes一.

全概率公式在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？A1A2A3A4A5A6A7A8B定义

设S为试验E的样本空间，A1,…An为E的一组事件。若（1）A1,…An互不相容，i=1,…,n

（2）则称A1,…,An为样本空间S的一个划分，也称A1,…,An

是完备事件组。定理上式称为全概率公式

设S为试验E的样本空间，B

为E的事件，A1,…,An为S的一个划分，且P(Ai)>0,i=1,…,n,则全概率公式可以做如下推广:A1,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,…,n,则有

一个经常使用的全概率公式:设0<P(A)<1,则有

例1

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记

B={取得红球}

B=

BA1+BA2+BA3，

且BA1、BA2、BA3两两互斥P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)运用加法公式得123Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;对求和中的每一项运用乘法公式得代入数据计算得：P(B)=8/15P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)123记

B={取得红球}Ai={球取自i号箱}，i=1,2,3例2

发报机发出“.”的概率为0.60，发出“—”的概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一信号收为“.”的概率

解：记

B={收报机收到“.”}且B=

BA1+BA2，BA1与BA2两两互斥P(B)=P(BA1)+P(BA2)A1={发报机发出“.”},A2={发报机发出“—”},例3.

在调查家庭暴力所占家庭的比例p

时,被调查者往往不愿回答真相.为得到实际的p同时又不侵犯个人隐私,调查人员将袋中放入比例是p0的红球和比例是q0=1p0的白球.被调查者在袋中任取一球窥视后放回,并承诺取得红球就讲真话,取到白球就讲假话.被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力)或“否”，然后将表放入投票箱.如果声称有家庭暴力的家庭比例是p1,求p.解：对任选的一个家庭,用B表示回答“是”,用A表示实际“是”。

利用全概率公式得到于是只要p0q0，则在实际问题中，p1是未知的,需要经过调查得到.假定调查了n个家庭,其中有k个家庭回答“是”,则可以用近似p1。由此如果袋中装有30个红球，50个白球，调查了320个家庭，其中有195个家庭回答“是”，则于是

p0=3/8

q0=5/8可以证明|p0-q0|越大,得到的结论越可靠.但是|p0-q0|越大,调查方案越不易被被调查者接受。例4.

据美国一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率是0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%.求不吸烟者患肺癌的概率.解:

设A=有肺癌,B=吸烟,则

P(A)=0.001,P(B)=0.20,P(A|B)=0.004,由全概率公式有代入数据有于是记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到1231红4白?二.贝叶斯公式定理设S为试验E的样本空间，B

为E的事件，A1,…An为S的一个划分，且P(Ai)>0,i=1,…,n,

P(B)>0，则有Byesian公式可以做如下推广:A1,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,…,n,P(B)>0则有

一个经常使用的全概率公式:设0<P(A)<1,P(B)>0,则有

在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为原来认为作案可能性较小的某甲，现在可能变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1|A)知道A发生后P(B2

|A)P(B3|A)最大偏小例6.

对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概率是多少？解：记

A={生产了一件合格品}B1={机器调整良好},B2={机器发生某种故障},例6.

对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概率是多少？例7.P(B1)=0.0004,P(B2)=0.9996。P

(A|B1)=0.99，P(A|B2)=0.05。求P(B1|A)例8(吸烟与肺癌问题)1950年某地区曾对50-60岁的男性公民进行调查.肺癌病人中吸烟的比例是99.7,无肺癌人中吸烟的比例是95.8.如果整个人群的发病率是

p=10-4.求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟人群中的肺癌发病率.解:

设A=有肺癌,B=吸烟,则

P(A)=10-4,P