七年级数学探索规律专题(教师版)

探索规律【学习目标】通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.【典型例题1】类型一、数式规律1．在下列数列里，写出后面两个数：1)1，10，3，13，5，16,7,19,,••2)2，5，6，10，18，20,54,40,9•••3)4，16,36,64,,144,196,•••4)0，1,2,3,6,11,20,,•••15913172125295)-3,6,9,12,15,18,21,24,【对点演练1】Q1A观察下列各数：1,舟，卡，畀，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为()5t15A.，B.，C.星D.'3135763【总结升华】(1)(2)(4)的第n项不容易用一个代数式表示出来，(3)的第n项为4n24n—3(5)的第n项为(—1)”+1-3n【典型例题2】我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：152=1X2X100+25=225,252=2X3X100+25=625,352=3X4X100+25=1225,…根据上述格式反应出的规律填空：952=；设这类等式左边两位数的十位数字为a,请用一个含a的代数式表示其结果；这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方,请写出1952的简便计算过程及结果．【对点演练2】观察下面组成的图案和算式,解答问题：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；请猜想1+3+5+7+9+…+19=；请猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=.【总结升华】本题考査了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律(a5)2=aX(a+1)X100+25=100a(a+1)+25”.解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出变化规律是关键．图形编号①②③④⑤⑥

火柴棒根数（2）第N个图形需要多少根火柴?对点演练3】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有个三角形?【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏.【典型例题4】将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对（m,n）表示第m排、从左到右第n个数，如（3,2）表示实数5.（1）图中（7,3）位置上的数；数据45对应的有序实数对是.（2）第2n行的最后一个数为，并简要说明理由.1第一行24第二与37第三疔S1012911•,131517对点演练4】根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字．【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．【典型例题5】观察下列球的排列规律（其中•是实心球，O是空心球）：从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个.【对点演练5】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？2.如图，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子6，7，8，9，10个为空心球．【巩固练习】一、选择题为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）.A.2+6A.2+6nB.8+6nC.4+4nD.8n2•请你观察表一，寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、12345•••24681012345•••246810•••3691215•••48121620•••510152025•••••••••••••••c的值分别为（）.1215a表二A.20、29、30B.18、30、2624|25b18c32表四表三C.18、20、26D.18、30、283.从1开始得到如下的一列数:1,2,4,8,16,22,24,28,…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）21B.21B.22C.23D.994•伸出你的左手，从大拇指开始如图示那样数数：1,2,3,4……数到2013时，你数到的手A.小指B.无名指C.中指D.食指下列数据具有一定的排列规律：TOC\o"1-5"\h\z第一行1第二行23第三行456第四行78910若整数2016位于第a行，从左数第b个数，则a+b的值是（）a+11,i|A.63B.126C.2015D.10026-已知整数ai,a2,aa+11,i|…，依此类推，则气12的值为（

A.—1005—1006—1007—2012A.—1005—1006—1007—2012二、填空题7•古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数■—,2016是第—个三角形数.有数组：(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),…，则第100组的三个数之和.一个用数字1和0组成的2003位数码，其排列规律是：101101110101101110……则这个数码中数字“0”共有个.观察下列等式：2=2=1X22+4=6=2X32+4+6=12=3X42+4+6+8=20=4X5TOC\o"1-5"\h\z可以猜想，从2开始到第n(n为自然数)个连续偶数的和是；当n=10时，从2开始到第10个连续偶数的和是.13+23=9=(1+2)2；13+23+33=36二(1+2+3)2；13+23+33+43二(1+2+3+4)2,…，则13+23+33+43+^+993+1003=.在数学竞赛的颁奖会上，10位获奖者每位都相互握手祝贺，则他们共握了次手.如果有n位获奖者，则他们共握了次手.三、解答题(2015•广东模拟)观察下列等式：第一个等式，=「事

第二个等式:第三个等式:第四个等式:4112X3X第二个等式:第三个等式:第四个等式:4112X3X232X223X2a，5113X4X243X234X2r6114X5X254X245X卢a4=a2=a二按上述规律，回答以下问题：TOC\o"1-5"\h\z用含n的代数式表示第n个等式：a==z;n式子a+a+a+・・・+a=-.12320观察下面的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律111=—X1+—111+111=—X1+—111+2=x22+x22222111+2+3=x32+x322111+2+3+4=x42+x422⑴写出第五个等式，并在左边画出与之对应的图示；⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式用棋子摆出下列一组图形:1)填写下表:图形编号①②③④⑤⑥图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？【答案与解析】一、选择题【答案】A；【答案】D;【解析】观察表一，寻找规律:每个数可以看成它所在的行数与列数的乘积，由表一得12=4X3,15=5X3,a=6X3=18；由表二得：20=4X5,24=4X6,25=5X5,b=5X6=30；由表三得：18=6X3,32=8X4,c=7X4=28.【答案】A.【解析】由题意知：1,2,4,8,16,22,24,28,…由此可知，每4个数一组，后面依次为36,42,44,48,56,62,64,68,76,82,84,88,96,故小于100的个数为：21个.【答案】A；【解析】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环,一个循环就是8,*.*2013^8=251^5，余数是5,所以是从大拇指开始第五个，就是小指.【答案】B；【解析】解：设第n行中最大的数为a（n为正整数），n观察，发现规律：a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,…，・・・叮1+2+…+n=.令a“W2016，即口第°W2016,解得：-64WnW63..•・1WnW63,即整数2016为63行的最后一个数.・a+b=63+63=126.【答案】B；

【解析】解：a^O,a=－|a＋1|=－|0+1|=－1，21a=－|a＋2|=－|－1＋2|=－132a4=－|a3＋3|=－|－1＋3|=－2a=－|a＋4|=－|－2＋4|=－254所以，n是奇数时,a=nn所以，n是奇数时,a=nnn是偶数时，叮-㊁，a2O1220122=-1006.二、填空题【答案】45，63．【解析】第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,l+2+3+4+・・・+n=2016,n(n+1)=4032，解得:n=63.故答案为:45,63.【答案】1010100；【解析】观察可得：第一个数表示序列号,第二数是序列号的平方,第三个数是序列号的立方,所以第100组数是(100,1002,1003).9．【答案】668；【解析】2003一9=222..5，“0”的个数：3x222+2=668.【答案】(1)n(n+1)；(2)110.【答案】50502；【解析】从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方.不难找到第N个式子为：13+23+33+・・+N3=(1+2+3+・・+N)2.因此，13+23+33+43+……+993+1003=(1+2+3+4+……+99+100)2=50502.12.答案】45，12.答案】45，n(n-1)""2【答案】226.【解析】解：根据题意得出规律：14+a=15X16,解得：a=226；故答案为：226．三、解答题