文科经管类微积分微积分(上)总复习

一、函数、极限、连续二、导数与微分微积分（上）总复习三、导数的应用四、不定积分一、函数、极限、连续1.函数定义:定义域值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性

复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如.函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数设函数y=f(x)在区间I上有定义,

x1及x2为区间I上任意两点,且x1<x2.如果恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在I上是单调增加的.1.函数的单调性如果恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

下页2极限3极限存在准则及极限运算法则4.无穷小无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

两个重要极限～～～～～～～～～等价无穷小代换5.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点例3.

设函数在x=0连续,则

a

=

,b=

.提示:有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.设函数试确定常数a及b.主要内容（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算第二章导数与微分微积分(上)期末复习课件导数的概念导数的定义几何意义可导与连续的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.高阶导数的定义记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.导数的运算求导法则和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则初等函数的求导分段点要分别求导基本初等函数或分段函数的导数特殊求导方法隐函数求导隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.微分可微的条件微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.微分形式的不变性近似计算的基本公式函数增量的近似值函数的近似值2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）第二章导数与微分3、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则第二章导数与微分(2)复合函数的求导法则(3)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:第二章导数与微分(4)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.5、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.第二章导数与微分基本初等函数的微分公式第二章导数与微分函数和、差、积、商的微分法则8、微分的基本法则微分形式的不变性第二章导数与微分二、典型例题例1解第二章导数与微分例2解第二章导数与微分目录后退主页退出本章的重点与难点本章的目的与要求本章的复习指导例3解两边取对数第二章导数与微分目录后退主页退出本章的重点与难点本章的目的与要求本章的复习指导第二章导数与微分2.需求对价格的弹性定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数为Q=Q(P)可导，则称为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为主要内容重要理论---中值定理导数在求极限中的应用---洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形第三章中值定理与导数的应用三、中值定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导若(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点罗尔定理拉格朗日中值公式应用：(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明方程有解(存在ξ满足方程)方法导数在求极限中的应用---洛比达法则函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法函数最值最值存在判别法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法上凹下凹拐点(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值连续函数的极值可导函数单调性判别在I

上单调递增在

I

上单调递减最大值最小值极大值极小值拐点上凹的驻点单增单减应用导数研究讨论函数性质及作图形例1.设且证明至少存在一点使解:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设故由于证只要证从而利用拉格朗日定理可证明不等式

例8

证明多项式在上不可能有两个零点.分析:反证法

由罗尔定理矛盾设有两个零点例13例5证：综上所述,当x≠0时,总有e

x>1+x令f

(x)=

e

x－(1+x)则f

(x)=e

x－1当

x>0

时,f

(x)>0,f

(x)在[0,+∞)为增函数即e

x>1+xf

(x)>f

(0)=0.当

x<0

时,f

(x)<0,f

(x)在(－∞,0]为减函数即e

x>1+xf

(x)>

f

(0)=0.利用函数的单调性证明不等式：例4证因此,例解奇函数作图极大值拐点极小值主要内容第四章不定积分不定积分的概念不定积分计算方法及类型基本要求：正确进行不定积分的计算不定积分的概念与性质不定积分的概念原函数不定积分的定义基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.不定积分的性质不定积分计算方法及类型直接积分法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法换元积分法第一类换元法第二类换元法分部积分法分部积分公式特殊类型函数的积分法有理函数的积分拆项法.三角函数有理式的积分简单无理函数的积分解决方法作代换去掉根号.三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）例7解：倒代换或解：例7例.

求下列不定积分:(分部)(根式代换)(拆项法或倒代换)(拆项法)令则(分部)(分部)(配方)(凑微分)分母可因式分解的真分式的不定积分求真分式的不