学案抛物线332抛物线的简单几何性质

6/6抛物线3．3．2抛物线的简单几何性质【第一学时】抛物线的简单几何性质【学习目标】1．掌握抛物线的几何性质。2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题。【学习重难点】掌握抛物线的几何性质。【学习过程】一、基础铺垫知识点一抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p>0）x2＝2py（p>0）x2＝－2py（p>0）图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O（0，0）离心率e＝1通径长2p知识点二直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p>0）的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2（kb－p）x＋b2＝0解的个数。当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点。当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点。二、合作探究1．抛物线的几何性质的应用例1（1）等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p>0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（）（2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2eq\r(3)，求抛物线方程。2．直线与抛物线的位置关系命题角度1直线与抛物线位置关系的判断例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。命题角度2直线与抛物线的相交问题例3已知抛物线方程为y2＝2px（p>0），过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直线方程。【学习小结】1．知识清单：（1）抛物线的几何性质。（2）直线与抛物线的位置关系。2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法。3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况。【精炼反馈】1．已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p>0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)2．（多选）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是（）A．（2，±2eq\r(2)） B．（1，±2）C．（1，2） D．（2，2eq\r(2)）4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq\r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________。5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________。【第二学时】抛物线的方程及性质的应用【学习目标】1．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题。2．解决一些抛物线的综合问题。【学习重难点】与抛物线有关的轨迹方程问题。【学习过程】一、基础铺垫知识点一和抛物线有关的轨迹方程根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程。知识点二直线和抛物线1．抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）长为2p。2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的一条直线与它交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p)。二、合作探究1．和抛物线有关的轨迹问题例1设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2)。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求实数k的值。2．抛物线的综合问题例2如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N。（1）求y1y2的值；（2）连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：eq\f(k1,k2)为定值。3．与抛物线有关的最值问题例3求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离。【学习小结】1．知识清单：（1）和抛物线有关的轨迹问题。（2）抛物线的综合问题。2．方法归纳：直接法、定义法、代数法。3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误。【精炼反馈】1．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．抛物线2．已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝12y3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于（）A．30° B．45°C．60° D．90°4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________。5．