陕西省汉中市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题

第18页/共18页汉中市2021-2022学年上学期普通高中期末质量检测高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证、姓名”与考生本人准考证、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应序号方框内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求解即可.【详解】解：由题得集合是偶数集合，所以.故选：C2.已知直线l经过两点，则直线l斜率是（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】直接由斜率公式计算可得.【详解】由题意可得直线l的斜率.故选：B.3.若直线与直线垂直，则()A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.【详解】由题意可知，即．故选：B.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可【详解】解：，

，

，

，

故选：A5.已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断.【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项A正确，

对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误，

对于选项C：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项C正确，

对于选项D：若，，，

设，，

在平面中作一条直线，则，

在平面中作一条直线，则，

，，

又，，，

故选项D正确，

故选：B.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的，，故函数的定义域为，因为，则是奇函数，排除BD.

当时，，排除A.故选：C.7.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）A.48 B.42 C.36 D.30【答案】C【解析】【分析】由三视图可知该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，从而可求出其侧面积.【详解】解：由三视图易得该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，故其侧面积为.故选：C.8.已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.【详解】因为三个顶点的坐标分别为，，，所以，所以，所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径．故所求圆的标准方程为．故选：C9.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的3倍，，则该曲池的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，所以，.故该曲池的体积.故选：D.10.某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取，）（）A.2023年 B.2024年C.2025年 D.2026年【答案】D【解析】【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，进而得，再结合对数运算解不等式即可得答案.【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，则，得，因，所以．故选：D11.已知正方体外接球的表面积为，正方体外接球的表面积为，若这两个正方体的所有棱长之和为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为，正方体的棱长为，然后表示出两个正方体外接球的表面积，求出化简变形可得答案【详解】解：设正方体的棱长为，正方体的棱长为．因为，所以，则因为，所以，

因为，

所以，

故当时，取得最小值，且最小值为．

故选：B12.设函数，则下列说法错误的是（）A.当时，的值域为B.的单调递减区间为C.当时，函数有个零点D.当时，关于的方程有个实数解【答案】C【解析】【分析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调性可判断B选项；利用函数的零点个数求出的取值范围，可判断C选项；解方程可判断D选项.【详解】选项A：当时，当时，，

当时，，当时，，

综上，函数的值域为，故A正确；

选项B：当时，的单调递减区间为，

当时，函数为单调递增函数，无单调减区间，所以函数单调递减为，故B正确；

选项C：当时，令，解得或（舍去），

当时，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，

当时，，且函数在上单调递减，所以此时的范围为，故C错误；

选项D：当时，，即，即，解得或，

当，时，，则，即，解得，所以当时，关于的方程有个实数解，故D正确.故选：C.二、填空题13.已知幂函数在上单调递减，则______．【答案】##【解析】【分析】依题意得且，即可求出，从而得到函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：由题意得且，则，，故．故答案为：14.如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为，则平面图形的面积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过，带入即可求解出该平面图形的面积.【详解】解：由题意，直观图的面积为，

因为直观图和原图面积之间的关系为，

所以原图形的面积是．

故答案为：.15.直线与直线关于点对称，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知，直线应与直线平行，可设直线方程为，由于两条至直线关于点对称，可通过计算点分别到两条直线的距离，通过距离相等，即可求解出，完成方程的求解.【详解】解：由题意可设直线的方程为，

则，解得或舍去，

故直线的方程为．故答案：.16.漏斗作为中国传统器具而存在于日常生活之中，某漏斗有盖的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该漏斗的容积为不考虑漏斗的厚度______，若该漏斗存在外接球，则______.【答案】①.②.0.5【解析】【分析】先将三视图还原几何体，然后利用长方体和锥体的体积公式求解容积即可；设该漏斗外接球的半径为，设球心为，利用，列式求解的值即可.【详解】由题中的三视图可得，原几何体如图所示，

其中，，正四棱锥的高为，

，

，

所以该漏斗的容积为；

正视图为该几何体的轴截面，

设该漏斗外接球的半径为，设球心为，

则，

因为，

又，

所以，

整理可得，解得，

所以该漏斗存在外接球，则．

故答案为：①；②.三、解答题17.（1）求直线与的交点的坐标；（2）求两条平行直线与间的距离．【答案】（1）；（2）4．【解析】【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点；（2）由平行直线间的距离公式求解.【详解】（1）联立得故所求交点的坐标为．（2）两条平行直线与间的距离．18.求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可．（2）利用对数的运算性质计算即可求得结果.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．19.如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在平面内作出辅助线，然后根据线面平行的判定定理证明即可；（2）作出三棱锥的高，将看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.【小问1详解】证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面．【小问2详解】解：过作于，

因为是直三棱柱，点为的中点，

所以，且底面，所以,

因为，所以，则,

所以

．20.已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）（2）当时，有一个零点；当时，且当时，有两个零点，当时，有一个零点．【解析】【分析】（1）由、都是单调递增函数可得的单调性，利用单调性可得答案；（2）时有一个零点；

当时，利用单独单调性求得，分和讨论可得答案.【小问1详解】当时，单调递增，

当时，单调递增，

若在上单调递增，只需，

.【小问2详解】当时，，此时，即，有一个零点；

当时，，此时在上单调递增，，

若，即，此时有一个零点；

若，即，此时无零点，故当时，有两个零点，当时，有一个零点．21.如图，四棱锥的底面为矩形，，.（1）证明：平面平面.（2）若，，，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.（2）用等体积法，即，即可求出答案.【小问1详解】连接，交于点，连接，如图所示，

底面为矩形，为，的中点，

又，，

，，

又，

平面，

平面，平面平面．【小问2详解】，，

，，

在中，，

，

在中，，

在中，，，

，

，，

设点到平面的距离为，

由等体积法可知，

又平面，为点到平面的距离，

，

，

即点到平面的距离为．22.已知二次函数的图象关于直线对称，且关于的方程有两个相等的实数根.（1）的值域；（2）若函数且在上有最小值，最大值，求的值.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由题意可得且，从而可求出的值，则得，然后求出