离散型随机变量及其概率分布课件

§2.2离散型随机变量及其概率分布定义

若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个,则称X

为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或离散随机变量及分布律即§2.212§2.2离散型随机变量及其概率分布定义分布律的性质

非负性

规范性X~或13分布律的性质非负性规范性X~或13

F(x)是分段阶梯函数,在X

的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度

pk.离散随机变量及分布函数其中.

14F(x)是分段阶梯函数,在X的可解例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数.令

X

表示例1

15解例1设汽车在开往甲地途中需经出发地•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当16•••••xx]]]•]••kpk0•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o17•••••xF(x)o•o•1•o•o•o17用分布律或分布函数来计算事件的概率例2

在上例中,分别用分布律与分布函数计算下述事件的概率：例2解或18用分布律或分布函数来计算事件的概率例2在上例中,分别用或此式应理解为极限19或19例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k

次击中目标)例3帕斯卡分布20例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标解P(X=k)注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当21注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当21归纳地令22归纳地令22作业P82习题二24习题5623作业P82习题二24习题5(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可写成

常见的离散型随机变量的分布凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0–1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.24(1)0–1分布X=xk1(2)二项分布n

重Bernoulli试验中,X是事件A

在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布25(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•826二项分布的取值情况设.039.156.273.22727设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•28设.01.06.14.21.22.182929二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数30二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值31当(n+1)p=整数时,在k=(例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.32例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示33(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.启示34由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？

35,则对固定的k设Possion定理Poisson定理说明证

记36证记36类似地,从装有

a

个白球，b

个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k

个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布37类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中当时，对每个解令X表示命中次数,则令此结果也可直接查P.378附表2泊松

分布表得到，它与用二项分布算得的结果

0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求例4

(2)X~B(5000,0.001)38解令X表示命中次数,则令此结果也可例5

某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解

设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例539例5某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理40查Poisson分布表,=3得n+1=6,在实际计算中,当n

20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二项分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=141在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上解(1)设需要配备N

个维修工人,设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)自学（详解见教材P.61例6)设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例6例642解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90令则查附表2得N=443令则查附表2得N=443三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为44三个人共同负责90台设备发生故障不能44设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！45设30台设备中发生故障的台数为Y~B(30,0.0在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布46在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率(3)Poisson分布若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布.或记作47(3)Poisson分布若其中是常数，则称X服从参数在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；48在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)49都可以看作是源源不断出现的随机49例7设一只昆虫所生虫卵数为随机变量

X,例7设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X~P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为p.求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数Y

的概率分布.50例7设一只昆虫所生虫卵数为随机变例7设解昆虫X

个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式51解昆虫X个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式51故52故52作业P82习题二8(1)121415习题53作业P82习题二8(1)习题53每周一题5已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊松分布.而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为0.1，求有3个粒子落到仪器重要部位的概率.第五周问题54每周一题5已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参

BlaisePascal1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家思想家帕斯卡55BlaisePascal帕斯卡法国数学家帕斯卡55帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成《圆锥曲线论》,由此定理导出400余条推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介1642年发明世界上第一台机械加法计算机——帕斯卡计算器.56帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养帕斯卡简介他应用此方法解决了摆线问题.1654年研究二项系数性质,写出《论算术三角形》一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.57他应用此方法解决了摆线问题.1654年研三十岁时他曾研究过赌博问题,对早期概率论的发展颇有影响.1658年完成了《摆线论》,这给G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微积分的建立.在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生次的场58三十岁时他曾研究过赌博问题,1658年完帕斯卡还写过不少文学著作.1654年他进入修道院,献身于哲学合.而有名的几何分布正是其

时的特例.和宗教.59帕斯卡还写过不少文学著作.1654年他进入思考题自动生产线调整以后出现废品的概率为p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,问两次调整之间的合格品数服从什么分布？思考题附录60思考题自动生产线调整以后出思考题附录60§2.2离散型随机变量及其概率分布定义

若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个,则称X

为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或离散随机变量及分布律即§2.261§2.2离散型随机变量及其概率分布定义分布律的性质

非负性

规范性X~或62分布律的性质非负性规范性X~或13

F(x)是分段阶梯函数,在X

的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度

pk.离散随机变量及分布函数其中.

63F(x)是分段阶梯函数,在X的可解例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数.令

X

表示例1

64解例1设汽车在开往甲地途中需经出发地•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当65•••••xx]]]•]••kpk0•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o66•••••xF(x)o•o•1•o•o•o17用分布律或分布函数来计算事件的概率例2

在上例中,分别用分布律与分布函数计算下述事件的概率：例2解或67用分布律或分布函数来计算事件的概率例2在上例中,分别用或此式应理解为极限68或19例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k

次击中目标)例3帕斯卡分布69例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标解P(X=k)注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当70注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当21归纳地令71归纳地令22作业P82习题二24习题5672作业P82习题二24习题5(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可写成

常见的离散型随机变量的分布凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0–1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.73(1)0–1分布X=xk1(2)二项分布n

重Bernoulli试验中,X是事件A

在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布74(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•875二项分布的取值情况设.039.156.273.27627设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•77设.01.06.14.21.22.187829二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数79二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值80当(n+1)p=整数时,在k=(例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.81例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示82(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.启示83由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？

84,则对固定的k设Possion定理Poisson定理说明证

记85证记36类似地,从装有

a

个白球，b

个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k

个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布86类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中当时，对每个解令X表示命中次数,则令此结果也可直接查P.378附表2泊松

分布表得到，它与用二项分布算得的结果

0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求例4

(2)X~B(5000,0.001)87解令X表示命中次数,则令此结果也可例5

某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解

设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例588例5某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理89查Poisson分布表,=3得n+1=6,在实际计算中,当n

20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二项分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=190在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上解(1)设需要配备N

个维修工人,设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)自学（详解见教材P.61例6)设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例6例691解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90令则查附表2得N=492令则查附表2得N=443三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为93三个人共同负责90台设备发生故障不能44设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！94设30台设备中发生故障的台数为Y~B(30,0.0在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布95在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率(3)Poisson分布若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布.或记作96(3)Poisson分布若其中是常数，则称X服从参数在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；97在某个时段内：大卖场