第3讲-行列式降价处理-按行列展开_第1页
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第6节行列式的降价处理：按行、列展开降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便是行列式的按行或按列展开。一特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行、按列展开特殊行列式的计算第一页，共24页。例：证明(降阶处理)左端＝＝＝＝右端一特殊行列式的降阶处理第二页，共24页。更一般地，如下行列式能否降阶处理？第三页，共24页。又因第四页，共24页。综上，有第五页，共24页。一般行列式的按行展开第六页，共24页。其中第七页，共24页。上面分析表明，一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式：第八页，共24页。此行列式相当于在行列式又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反)第九页，共24页。综合前述知识知，Aij与Mij的有如下关系即Aij可通过计算一个n-1阶行列式得到。下式表明了行列式可降阶处理。称上式为行列式的按第i行展开式。(i=1,2,…,n)第十页，共24页。按第j列展开行列式＝？第十一页，共24页。行列式的按行、列展开式表明行列式=某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和对行列式d?当k=i时，是d按第i行的展开，仍为d；当k≠i时,则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘。其结果是否仍为d?第十二页，共24页。例，已知行列式＝第十三页，共24页。例：第十四页，共24页。当k≠i时,不妨设i<k，则＝0.第十五页，共24页。定理：设第十六页，共24页。例：计算行列式问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？第十七页，共24页。例：计算＝问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？第十八页，共24页。注意行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时，当行列式的某些行与列有大多数0时，能有效化简计算，但这种做法却没有通用性。第十九页，共24页。三特殊行列式的计算(n-1行乘-a1加到第n行；n-2行乘-a1加到第n-1行，余类推)1范德蒙德行列式第二十页，共24页。(上边最后一式右边又是一个n-1级的范德蒙德行列式)第二十一页，共24页。从而有（归纳证明），第二十二页，共24页。2结论可借助矩阵的按行、列展开用数

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