高中数学同步讲义分册-选修4-51.1绝对值三角不等式

二绝对值不等式 1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单[知识答案x到点－232答案在数轴上，a，b，cA，B，CBA，C＝|a－b|＋|b－c|BA，C如图(1)，|a|aA2a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时要点一例1 (1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件 ≥2(lg|A|＋lg其中正确题有 A．4个B．3个C．2个D．1答案 解析又∵|(x－a)－(y－ax＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜ 又

规律方法|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可演练 ＋g(x)|＜a(a＞0)的解集是N，则集合M与N的关系是( 答案解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|x0∈N.要点二例 函数f(x)的定义域为[0,1]，f(0)＝f(1)，且对任意不同的x1，x2∈[0,1]都有＜|x2－x1|，求证证明

①若

即 1

②若2＜x2－x1≤1，而 综上所述，对任意不同的x1，x2∈[0,1]都有

1规律方法演练 证明要点三例3在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿方向到达点N的任一路径成为MN的一条“LMM1M2M3NMN1NMN的“L路x轴上方区域(x轴)P处修建一个文化中心．PA的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明若以原点O为圆心，半径为1的圆的是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值．解P(x，y)PA(3,20)的“L路径”v.hv互不影响．20≥y≥1时，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21y＝1时取∵x∈[－10,14]时，水平距离之和3|≥24x＝3h＝24.P(3,1)0≤y＜1时，v＝20－y＋(1－y)＋1＋y＝22－y＞21hd＞45.P(x，y)P(3,1)PA，B，C三点的“L路径”d的最小值45.规律方法数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路10km20km处．现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施xkms(x)km，s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|)．当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号． 答案若两实数x，y满足xy＜0，那么总有( 答案解析当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|，所以 答案解析∵|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋2|(y－2)＋1|≤|x－1|＋2|y－2|＋2，再由1|≤1，|y－2|≤1可得|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，故|x－2y＋1|5.a，b证明求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较，可采用＋b|，|a－b|ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到 a，ba，ba＋b＝0a＋b>0a＋b<0解析：选 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D不等式

<1成立的充要条件是 a，baba，b解析：选 原不等式即为已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( 解析：选 而设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( 解析：选B 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.5( ∴|x－a|＋|x－b|＞2x∈R恒成立，故解集为①logx10＋lg ab③＋ab 解析：logx10＋lgx＝

lg与 与

ab∴＝a＋b≥2ab由|x－1|＋|x－2|的几何意义知|x－1|＋|x－2