2005考研数二真题及解析

设y(1sinx)x，则 3(1x)x曲线y x

1x0(21x微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解 cos1cos1xarcsinx0(xkx2(xk 设1,2,3均为3

是等价无穷小，则A(1,2,3)，B (12 3,122 43,132 如果A1，那么B n1xn1x

，则f(x)在(,)内 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN"表示“M的充分必要条件是N”，则必有( (A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数xt2yy(x由参数方程yln(1

轴交点的横坐标是 1ln23 8

1ln238 8ln23 8ln23Dxyx2y24x0,y0}f(xDabD常数，则D

d f(x) f(x) f(f(x) f( (B) 2

(a (D) .2设函数u(x,y)

y)

y)

x(t)dt,其中函数具有二阶导数， 有一阶导数，则必有

x

y

x

y

y

xf(x)

xex1

,则 x0x1f(x的第一类间断点x0x1f(x的第二类间断点x0f(xx1f(x的第二类间断点x0f(xx1f(x的第一类间断点设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(12)线性无关的充分必要条件是 (D)20的伴随矩阵，则

A*B*分别A,(A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B*三、解答题：15－2394分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说xxf(xf(0)0，求极限lim0(xtf(t)dtxx0xf(xx011

1x如图，C1和C2分别是y2(1e)1x的图象，过点(0,1)的曲线 是一单调增函数的图象的直线lx和ly.记C1C2与lx所围图形的面积1OS1xC2C3与lyS2y如O如图，曲线Cyf(x，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0))与(32处的切线，其交点为(24)f(x分3(x2xf0xcost(0t化简微分方程(1x2yxyy0y

1,

2的特解f(x在[0，1]上连续，在(0,1)f(0)0,f(1)1.(I)存在0,1),f(1.D

2y4

1}上的最大值和最小值DD确定常数a,使向量组(1,1,a)T (1,a,1)T,

3a,1,1)T可由向量组 1,1,a)T2,a,4)T,(2,aa)T线性表示，但向量组,,不能由向 组1,2,3线性表示已知3A的第一行是(abcabc不全为矩阵B

k为常数AB0,求线性方程AX0的通解

3

k1y(1sinxxexln(1sinx，于是yexln(1sinx)[ln(1sinx)xcosx]1sin从

=y()dx1yln(1sin

xcos，1sin于 y(1sinx)x[ln(1sinx)xcosx1sin

=y()dx

3(1x)x曲线y xyaxb(其中a

f(x)blimf(xax)a

3xf(x)lim(1x)2x

blimf(x)ax

3

(1x)2x23x2x于是所求斜渐近线方程为yx 21xsint(0t,则2 sintcos 2 dt2 dt0(2x2)1x 0(2sin2t)cos 02sin2dcos arctan(cost)2201cos 21 t，有x21t2,所以有xdxtdt，其中0t1

1dtarctan

1(2x2)1 0(2x2)1 xlnx

dyP(xyQ(xyePx)dxQ(x)ePx)dxdxC(其中C是常数

y2ylnxx ye1x[lnxexdx [x2lnxdxC] xlnx x

其中C是常数 1

由y(1) 得C0，故所求解为y9

xlnx 1xarcsinxcosx1xarcsinxcosxarcsinx1coskx2(1xarcsinx cosxx0 1limxarcsinx1cosx1limarcsinxlim1cosx2k x x 1cos arcsin 又因为lim ，lim arcsinxuim

u0所 lim

1(11) x0 2k 1，得k 1：因为(,,

，(24)(,,

2

3

3(39)(,,)3， 3故B,24,39

=(,,

1 3

31

BA

3129方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对[3]

====21[2]

又因A

1

2

2nnn1|xn当|x|1时， nnn1|xn

1nn

1n1|x由准则得n1|xn1当|x|1f(n1n|x|3当|x|1时，|n|x|3

1

1n2|x|3nn1|x|3n2|x|3nn1|x|3nn2|x

|x

|x

|x

1)n|x|3 f(x)

|x|再讨f(x的不可导点.按导数定义，易x1f(x不可导，故应选)

f(t)dtCF(x)x0x

fF(x)为偶函数时，有F(x)F(x)F(x1)F(x)f(x)f(xf(x)f(x)，可见f(x f(t)dtC，令tk，则有dtdk 所 F(x) f(t)dtC0f(k)dkC0f(k)dkCF(x) F(x)0f(t)dtC 方法2：排除法，f(x1,F(xx1,排除(B)、f(x)xF(x)12

x3时，有t22t3，得t1,t3(y无意义 yy(x

dydt dx

1t 2t 2(t1yy(xx3(即t1)8于是在该处的法线的斜率为8,所以过点(3,ln2)yln28(x1y=0,x轴交点的横坐标为：ln23,故应8,, f(x) f( f(x) f(f(x) f( f(y) ff(y) f 2=12D

f(x) f(y) f(y) f f(y) ff(y) f

abdab122ab (xy)(xy)(xy)(xy)u(xy)(xy)(xy)(xy)2u 于是x 2u 2u(x

x

y y2，应选f(xx0x1点处无定义，因此是间断点且limf(xx0limf(x)0limf(x)1x1为第一类间断点，故应选 1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，因12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2线性无关当

2 0,k0，此时，A()线2

A(12=11线性相关)，故应选(B).1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，由于,A(),, ， 1 2 2 2.2r

1

12 2 min 2 2 2故2r 12，从而r 12，从而

2 2 若

，则r

12，又,线性无关

2r

2 12 2 r 1 2 则

2 从而，A()线性无关

22 10故应选2

1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，因12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2线性无关，

1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，由12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2线性无关， 01,X0只有零解，又,, 1 1 2 1 2 2 , 2 x 22

2,线性无关时,Y0只有零解，故Y xY x 22

22

1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，,).以由向量组I线性表出；当20时，不论1的取值如何，向量组III线性，(1) 1()11 A() 1 2 1：由题设，存在初等矩阵E12(n阶单位矩阵的第12行所得) EAB，(A进行行变换，故A左乘初等矩阵)，于 B*(EA)*A* 1 E1 12又 E1(行列式的两行互换，行列式反号)，E1E，A*

B*A* A* E1A*E1 B*,可见应选

， 又因为A是可逆阵，E12E1BE12AE12AA0，BB1(EA)1A1E. AA1A

A,

BBBB

AA

BAA*E12B* x0f(xt)dtx

f(u)(du)0f(u)dux(xt)f xxf(t)dtxtf

f(x

f

lim

x0理 0x0

上下同除 1x上下同除 f lim x0 xf x0f(x)1xff xx(fx而lim1xf(t)dt

limf(x)f0x

xf lim1xf f(0)0x原式 xxx

x0x0

f .

f(x)1f limf(x)

f f(0)f x xS(x)x[et1(1et)]dt1(exx1) y1O1xy1O1xyS2y1(lnt(t))dt，S1(x)S2y，得1(exx1)y(lnt(t))dt M(xyyex 于 2(ylny1)1(lnt 1(11)lny(y)yy 2【详解】由直线l1过(0,0)和(2,4)两点知直线l1的斜率为2.由直线l1是曲线C在点(0,0)f(0)2.f(3)2.另外由点(3,2)是曲线C的f(3) 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f 33f(x)(2x (323)f(3)(020)f(0)3f(x)(2x0=3(2x1)df(x)(2x1)f

33 2 3

f(231)f(3)(201)f(0)0

f(=162[f(3)f(0)]

dy cost d2 y ，y [ ]( ) sint sin2t sintdt 代入原方程，(1cos2t)[costdy d2y] 1)cost( dy)y0sin2t sint sint

y0，其特征方程为r210特征根 i,通解为yCcostC 1x所 yC1costC2sintC1x1x1 1,代入得，1C0 即C1 yCxC(1x2)C

21 221将 2代入得2C 221 将C2,C1代入通解公式得满足条件的特解为y2x 1x2,1x F(xf(x1xF(x在[0，1]F(0)10,F(1)10在[0,]和[,1]上 f(x)分别应 日中值定理，知存在两个不同的 f()f(0)，f()于 f()1f()1 1 1

f(1)f()1dz2xdx2ydy知z2xz2y.对z2xzf(x,y)x2c(

.将z(xy)x2cy)z2

cy)2y.cyy2c.zx2y2c.x1y1z2知，c2.zx2y22 求z在x2 1中的驻 4

x2x,

2y(0,0)zf(0,0)22zx2y22Dx22

y=1上的最值，有两个方法.zx2y22=5x22zx

1x

x0,y2还要考虑1x1x1y0

x1,y0z2,z2,z3minz2(x0y2)maxz3(x0y2 2 4 Ff

1y Fx2

1.值点(0,2),(021,0),(1,0).计算对应z的值：z(02)2,z(0,2)2,z(1,0)3,z(1,0)z(0,0)2 x2y2 (x,y)这时可以去掉绝对值符号x2y21 1 (x,y)11：x2y21d(x2y21)dxdy(x2y2 11(x2y21)dxdy (x2y2111 11[(x21)(x2

1 (1-x2)1 1[(x22)2(1x2)32]dx1x2dx12dx21(1x2)23 2

0 3 21cos 2cos4tdt 2 )2 3 3 12

2(12cos0

cos22t)1

2

2(12cos2t

cos4

4 1 cos4 2 2cos2t 4 1 cos4 2(2cos2t 4 0 (1x2y2)dxdy2d(11r2)rdr2 )d

所

+

=1 DD1D2，再减去“扩充”的部分，就简化了运算.(x2y21)d(x2y21)d(x2y2 因 x2y21d=(1x2y2)d(x2y2 (1x2y2)d+(x2y21)d(x2y2 2(1x2y2)d+(x2y2 由极坐标(1x2y2)dxdy2d(11r2)rdr2 )d

1 2y21)d11

2y21)dx

x(

1)x] D

dy

21 2

20[3y1]dy

(y)dy

y] 所 x2y21d=21=1 rA)3，(若rA)3，则任何三维向量都可以由1,2,3线性表出)，从 A 2行13行1

1(2 a

2 2 a

(2a) 按第3列展开(2a1)13

a1(2a)(a1)2a (其中

a1时，1,1,1]T，则00 故,,可由,,线性表出，但[2,1,4]T不能由,,线性表出(

k1k2k3 为方程组 k1 1

kkk 无解)，故a1 1 2 34

kkk合题意

a2时,11000 2110000 22 10

–行2 2 1 0 6 0r(B)2r(B2)3，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组BX2无解，故2不能由1,2,3线性表出，这和题设 ，故a2不合题意.因此a1.2：对矩A1,2,31,2,3作初等行变换， A(,,,,)=

21行

11aaa0a004 01a1 a a a ， a a a ， a 3(1a)1 a2时，A

,不存在非零kkk 3

使得3 0 ，不能由,,线性表示，因此a2 1 2 3 114A66030 线性表示，不存在非零常数k1,k2,k3，使

0 0k6

6.a41 0

0 0 B(,,,,)

a21行， 21行，

a 1 2

a a01a1 4 3a0 a 0 a 1a 0 a 0 a 1a 2a 6 4a由题设向量组1,2 不能由向量组1,2 线性表示，则方程又当a2a4r(B)3，则必有a102aa20，即aa23：A1,2,3B1,2,3，对矩阵AB作初等行变换，AB(,,,,)

12312

1 a a2行1行， 2行1行，