以前整理的初中数学基础知识汇编学生自主复习材料

一、实数与整式细思量确定盲区（请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会）1、有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）（4）理解有理数的运算律，并能使用运算律简化运算TOC\o"1-5"\h\z（5）能使用有理数的运算解决简单的实际问题.（6）能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断2、实数（1）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点对应（2）能用有理数估计一个无理数的大致范围.（3）了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，知道计算器实行实数计算的一般步骤，能按问题的要求对结果取近似值•3、代数式（1）在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义（2）能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示（3）能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义（4）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值实行计算•4、整式（1）了解整数指数幕的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（2）了解整式的概念，会实行简单的整式加、减、乘、除运算（3）会推导乘法公式：（a+b）（a—b）=a2—b2；（a±b）2=a2土2ab+b2，能用图形的面积解释乘法公式，并会用乘法公式实行简单计算；了解乘法公式（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3.再回首查缺补漏1、知识系统化2、基础知识（1）实数的概念与分类无理数的概念及实数的分类.无理数：指无限不循环小数厂实数f-数轴的概念。明确实数与数轴上的点对应（数形结合）r相反数：当a与b互为相反数时有a+b=O.La（^>0）「绝对值：实数a的绝对值的意义为a=«0（a=0）或彳「a（av0）I是非负实数，它在数轴上表示数a的点与原点的距离.⑤倒数：当a与b互为倒数时有ab=1负倒数：当a与b互为倒数时有ab=—1（2）实数的大小比较通用方法：做差法利用数轴法：两个负数比较大小：比值法：（3）实数的运算（可分解为符号处理和绝对值的计算两部分）严运算法则Y运算定律：（关键是活用、巧用）交换律：结合律：分配律：混合运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次实行，有括号的先算括号里面的.（先高级运算再低级运算）科学记数法：若N是大于10的整数，记成N=a10n，其中1<a<10,n=整数位数—1;若0<N<1，记成N=a10n，其中1wa<10,n为一个负整数（有效数字前0的个数的相反数）.近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，从左边第一位非零数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字.（4）代数式：代数式的意义及代数式的值•数字、字母或数字与字母通过运算符号连接起来的式子Y（5）整式定义：单项式和多项式统称整式.单项式的定义，明确单独一个数字或字母也是单项式，单项式的系数和单项式的次数.多项式的定义及将它按某个字母升降幕排列.同类项的定义（注重两个相同即：所含字母相同、相同字母指数相同并存，与系数无关。）（6）整式的运算①整式的加减法一一先去括号，再合并同类项.去括号：负变正不变，变不变看前面（括号前面）

合并同类项：字母部分(字母以及字母的指数)不变，只把系数相加减(实数运算要精)②整式的乘法.mnm+n幂的运算法则：a.a=amnm—n,ama—mnm+n幂的运算法则：a.a=a单X单：系数之积为积的系数，字母部分把同底数幕相乘单X多：A(B+C)=AB+AC多X多：(A+B)(C+D)=AB+AD+BC+BD▲整式乘法都以幕的运算法则和运算律为基础的，要熟练掌握整式乘法的计算.乘法公式：(ab)(a_b)二a2_b2,(a二b)2二a2二2abb2,(a二b)(a2二abb2)二a3二b32(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab▲倒一角关系：t、”一,~*■、.、/■、.z./..、.-i-rz)~~?—rr、./x/亠/xr、.、、—2(a+b)\口HI、.>r与之互逆的变形因式分解仕分式冋题中「兀为里要,故要非常③整式的除法：a2+b21除法是乘法的逆运算，要熟练掌握单项式除以单严及多项式除以单项式的运算法则.做一做万无一失例1将下列各数填入相对应的集合内，并用“<”号将下列各数连接起来.,2,-a/8,—，sin30，-V43有理数集合{}无理数集合--—<<<<<【提示】实数的分类关键是要理解相关概念；实数的大小比较可借助大小比较发则实行比较，并能估计无理数的大致范围•【说明】①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；如‘1‘1—sin30=，-.4=-2,2②实数的大小比较还可借助于数轴直观地实行比较11例2已知：3(2a—b)+3+a=O=0,求一十一的相反数的倒数.ab【提示】两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a、b的值.本题涉及到【说明】完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并使用这个特征解题，本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等例3计算(2)2(一』)一(_2)2一1」(一1.52)；(2)、3cos30-(-2)」1(.2007-1)°•TOC\o"1-5"\h\z2322,2222144..,一【提示】(1)式中因为(一)=()2，所以可提取"9再实行运算；3(-1.5)299式中将各部分分别求值，再将他们求和.212212~°11>o【解】(1)(―)(—1)—()(一「5)(2)3cos30-(-2)(■.2007—1)2322【说明】准确实行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幕的运算、特殊三角函数值的计算等.1211211例4计算⑴(—a■3b■c)(「a■3b—c);⑵(x)(xx)(xx).2424【提示】(1)中可将-a3b看作一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式实行运算；11⑵中先将X2-一化为(X•—)(x-—),再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法.422【解】⑴原式=.⑵原式=【说明】整式运算时要注意能灵活使用乘法公式.例5(1)若代数式2x23x7的值为8,求代数式4x2■6x-9的值；(2)若x为实数，说明代数式3x2-6x8大于0.【提示】(1)中由条件可知的2x23^1值，可将2x23^1作为整体求4x2•6x的值，就可得4x2，6x-9的值.(2)中使用配方法可确定代数式值的正负.【解】(1)(2)【说明】①注意整体思想在代数式求值中的使用；②配方法是常见的数学方法，在验证代数式的值、根的判别式、二次函数化成顶点式等情形中有较为广泛的使用.例6图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2;再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3,按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：⑴将下表填写完整:图形编号12345三角形个数159⑵在第n个图形中有个三角形(用含n的式子表示).【提示】根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题•解决这类问题，首先要从简单的((7)立方根的概念：如果x3二a,那么x叫做a的立方根，记为x=3.a((7)立方根的概念：如果x3二a,那么x叫做a的立方根，记为x=3.a情形入手，其次抓住“编号”，“序号”等与其他数量之间的关系，从而寻找出规律•本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点，就多出四个小三角形区域.【说明】本题还可从函数的角度去考虑，因为三角形个数y随着图形编号x的变化而变化，可猜想他们之间存有一次函数关系，可设y=kx+b用待定系数法求k、b,再选出其他组数的值代入验证，若猜想不成立，可再尝试用二次函数或反比例函数关系式。(当两个变量的积为常数时)1、因式分解、分式、数的开方细思量确定盲区(请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)、十字相乘法实行因式分解(指数是正整数).了解分式的概念，会利用分式的基本性质实行约分和通分，会实行简单的分式加、减、乘、除运算.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式的分母有理化，会用它们实行相关实数的简单四则运算.再回首查缺补漏1知识系统化(教材相对应章节重要内容的结构与联系)2、基础知识(教材相对应章节重要内容整理)提公因式法因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积一做因式分解，也叫分解因式.2)因式分解的方法：①提公因式法：mambme二m(abc)；②公式法：a2-b2=(ab)(a-b),a2二2abb2=(a二b)2；a3二b3=(a二b)(a2-abb2)；③十字相乘法：2x(ab)xab=(xa)(xb)；2aa2x(ac2a2G)xC|C2=(axcj(a2xc2),(aa2*o).分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解.(3)分式的概念：形如A-(A、B是整式，且B中含有字母，B工0)的代数式叫做分式•分式有B意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.(4)分式的基本性质：-=,A=丄卫(其中M是不为零的整式).BBMBB-M分式的运算与分数的运算相仿.平方根与算术平方根的概念：如果x2=a(a_0),那么x叫做a的平方根，记作x二_、a(a_0)，其中<a(a0)叫做a的算术平方根.((8)二次根式概念：形如a(a_0)的式子叫二次根式.((8)二次根式概念：形如a(a_0)的式子叫二次根式.最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.(11)相关性质：a_0(a_0);(、.a)$二a(a_0)；.a2=|a、ab二、a.b(a_0,b_0)；a■-a—(a_0,b0).bb(12)二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式•②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用•运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式.做一做万无一失例1在二次根式①J2，②23，③J2，④J27中与J3是同类二次根式的是().A.①③B.②③C.①④D.③④【提示】解答本题的关鍵是能准确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与3是否为同类二次根式.【说明】最简二次根式、同类二次根式是两个重要概念，准确理解这两个概念，是实行二次根式加减运算的前提，所以在复习时，应增强二次根式的化简的习题练习.例2把下列各式因式分解：a2-ab-b2(2)8x3—y3(3)6m27mn-20n227【提示】(1)本题在实行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，所以考虑用分组分解法•在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，所以把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解.(2)把8x3化为(2x)3,313把y化为(y),然后直接利用立方差公式来实行因式分解.(3)对于二次三项式的因式分解，27常常考虑用十字相乘法来分解.【解】(1)原式=原式=原式=.【说明】北师版教材中的因式分解要求偏低.事实上，让学生掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用；另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，能够尝试用分组分解法来实行因式分解.对于立方和(差)公式，在中考总复习时要补充研究，会巧使用公式来因式分解以提升速度例3化简：@一旦)+牛空.2「1.a+1a-4a+3a+2【提示】在实行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的.对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简.【解】原式=•【说明】分式的加减乘除混合计算是考查因式分解、通分、约分等运算水平的经典题型，是中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视.1133例4已知a：,b：，求代数式abab的值.1-、212【提示】因为a、b均为可化简的二次根式，应先将a、b实行化简。而多项式的次数较高，且能够因式分解，所以，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化.【解】【说明】本题考查数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；使用数学思想是：转化思想、整体思想•在复习时要适量地实行相关数学思想和数学方法分析理解练习.2£2例5先化简，再求值：「!_'a2一2a「其中a=1L.a-1a-a2+J3【提示】化简本题时可先利用公式a2a|=-a（a：：：0）来化去根号，然后通过度子、分母因式分解约分化简.【解】【说明】本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性•另外，值得注意的1是化简结果a1后求值的方法技巧，告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求值.aba例6已知（ab）2—4ab■4…Ta，b・3=0,求亠亠2的值.ab【提示】有效利用配方法，由已知条件求出a+b,ab的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b,ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果.【解】【说明】利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论ab,ab的值是解决此题的突破口.利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知ab,ab的式子，体会整体思想方法和转化思想方法.【复习建议】1、复习概念时不要死记硬背，要抓住概念中的关键词语，并对相近概念实行辨析，以达到巩固概念的目的.2、复习性质、公式、法则时，要注意使用的条件，并重视对典型例题的变式训练，以达到熟悉使用公式、法则，提升运算水平的目的.3、因为十字相乘、分母有理化、立方和（差）公式等内容新教材上没有，可能有些有些不太重视，只要达到理解掌握和简单应用（不要钻牛角）的要求即可.三、方程（组）及其应用细思量确定盲区（请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会）（1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.（2）会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）、简单的三元一次方程组、二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方

程）（3）理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.（4）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.（5）掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活使用.（6）能根据具体问题中的数量关系，列出方程（组），解决简单问题.再回首查缺补漏方程{组}的应用1知识系统化方程{组}的应用2、方程含有叫做方边的值相值，叫做有一个未解，也叫解的过程一元①只基础知识的相关概念未知数的等式2、方程含有叫做方边的值相值，叫做有一个未解，也叫解的过程一元①只一次方程含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是ax•b=0a=0.一元一次方程的解法.二元一次方程（组）含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程.由几个方程所组成的一组方程叫做方程组.方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解.求方程组的解的过程叫做解方程组.含有两个未知数，且未知项的次数都是1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组.二元一次方程组的解法•其基本思想是消元•其基本方法是代入消元法和加减消元法.三元一次方程（组）含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程.含有三个未知数，且未知项的次数都是1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组.三元一次方程组的解法•其基本思想仍是消元•其基本方法仍是代入法和加减法.一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般形式为ax2bx^0（a,b,c是已知数，a=0）,其中ax2,bx分别叫做二次项，一次项；a,b,c分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项.配方法、因式分解法、②一元二次方程的解法.其基本思想是降次.其常用方法：直接开平方法、公式法、十字相乘法.配方法、因式分解法、③一元二次方程ax2bxc=0（a,b,c是已知数，a=0）的根的判别式（二二b2-4ac）：

（i）当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（ii）当&=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；（iii）当厶：::0时，一元二次方程没有实数根.以上结论，反之亦成立.④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax?+bx+c=0（a,b,c是已知数，cbca=0）的两根为Xi、x2，则xix^,xix2▲其它根与系数的关系（学习过程的自我发现意识）当b=0时<———方程两根互为相反数*A抛物线对称轴为Y轴当a+b+c=0时*»方程必有一根为1<>抛物线过（1,0）点求根公式x12a抛物线与X轴两交点当a-b+c=0时*>方程必有一根为一1<>抛物线过（一1求根公式x12a抛物线与X轴两交点做一做万无一失做一做万无一失（以上内容在二次函数图像信息中常会遇到，尤为重要）*二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组.二元二次方程组的解法•其基本思想是消元、降次•其方法主要是代入消元法.分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法.其基本思想是将分式方程转化为整式方程.其方法是使用等式性质在方程两边同乘以最简公分母•解分式方程必须要验根.列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）：⑤解方程（组）：⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句.(1)丿'2x+3y=16,(1)丿'2x+3y=16,①、x+4y=13;②3x2yz=13,xy2z=7,例1解二元一次方程组和三元一次方程组:iXiX—2y—1=0.【提示】⑴因为方程②中的x的系数为1,所以应把方程②变形为x=13-4y，然后把它代入方程①求出y后再求x即可.（2）三个未知数的系数中最简单的系数是z的系数，故考虑先消去z，而消去z的方法有①+③；②+③X22—②，我们选择①+③和②+③X2,消去同一个未知数z，就能够得到关于x与y的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组.【解】⑴（2）【说明】本题主要考查计算水平.复习时要增强计算水平的强化练习，为解决综合题中的计算打好基础•该题体现了化归思想方法•请尝试用其它消元方法解这两个方程组，并实行比较.例2解方程和方程组：十2（1）x2+3x-1=0;（2）（ax-bf=ax-b（aD（3）」“一y+6厂11一0,①xxxx【提示】(1)解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法•本题通过尝试，选用公式法较为适宜.(2)该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以ax_b，否则，方程将失根.(3)题中方程②是二兀一次方程，把它变形为x=2y1，并把它代入方程①，可得到关于y的一兀二次方程.【解】(1)(2)(3)由②，得x=2y•1.③把③代入①，得22y•1一y2•6y-11=0,即y_10y9=0.解之得yi=9,y2=1.当y<)=9时，x-i=19;当y2=1时，x2=3.所以原方程组的解是禺所以原方程组的解是禺=19,X2=3,y=9,【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算水平；化【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算水平；化(消元、降次)思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与物线的交点坐标等问题.例3解分式方程：1-x63(1)3;(2)飞1.x-22-Xx-1x-1【提示】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数该题不但考查了数学的转x轴的交点坐标、直线与抛x降幕排列，(1)的最简公分母是X-2公分母是X-2,(2)的最简公分母是x1x-1•分式方程可转化为元一次方程或一元二次方程.程.【解】(1)(2)【说明】解分式方程的关键在于确定准确的最简公分母和检验.没有分母的项•该题考查了化归思想，应注重这种数学思想.值得注意的是在去分母时不要遗漏例4已知：例4已知：x1,x2是关于x的方程4x2-3m-5x-6m2=0的两个实数根，且X1的值.【提示】题中有条件：x1,x2是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根与系数的关系等；题中要求m的值，应列出关于m的关系式.【解】因x1,x2是关于x的方程4x2-1.3m-5x-6m2=0的两个实数根,故x-ix23m-53m22故x-ix23m-53m223m2<0,x-X2-3k2k3m-5设=-3k,x2=2k,所以i：2-3k2k=-mk=g,整理得<4解之得mn=1m2=54k2=m2.当m=1,m2=5时，△分别都大于0.m的值1或5【说明】本题考查的知识点是根的判别式，根与系数的关系，及绝对值的概念，解方程及方程组.复习时要求能使用消元思想合理消去未知数，重视善于联想的自主解题意识.例5某地中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人)，？准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套46套至90套91套及以上每套服装的价格60元50元40元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元.如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共能够节省多少钱？甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案.【提示】(1)因为甲、乙两校联合起来购买92套服装，所以每套服装的价格为40元.因为甲、乙两校共92人，甲校人数多于乙校人数，所以甲校人数多于46人；又因为甲校人数不够90人，所以甲校应按每套50元购买，乙校应按每套60元购买.利用(2)的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；因为91X40V90X50，即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少，所以，还需与按每套40元购买时的服装款比较.【解】(1)由题意得5000-92X40=5000—3680=1320(元)即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元.(2)设甲、乙两所学校分别有x名，y名学生准备参加演出由题意得:=52‘X+y=92、50x+60y=5000由题意得:=52答：甲、乙两所学校分别有52名，40名学生准备参加演出.(3)因为甲校有10人不能参加演出，所以甲校有52—10=42人参加演出

若两校各自购买服装，则需要42X60+40X60=4920（元）;若两校联合起来购买服装，则需要50X（42+40）=4100（元），此时比各自购买服装能够节约4920—4100=820（元）;但如果两校联合购买91套服装只需40X9仁3640（元），此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460（元）所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）.【说明】本题属于代数信息型开放题，考查对实际问题的提示、抽象、概括和计算水平；解题的关键是要从题目中所提供的信息，找出等量关系，建立方程或方程组.要求复习时注重分类讨论思想和数学建模（方程（组））思想.例6已知：如图，矩形ABCD中，AD=a,DC=b在AB上找一点E,使E点与CD的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE=x•问：这样的点E是否存有？若存有，这样的点E有几个？请说明理由.【提示】要使Rt△ADE,Rt△BEC,△ECD彼此相似，点E必须满足/AED+ZBEC=90,为此，可设在AB上存有满足条件的点E使得Rt△ADE^Rt△BEC即可解决.【解】依题意，要使分成的三个三角形相似，则/AED+ZBEC=90，而/BEC+ZECB=90,即/AEDZECB则厶ADE^ABEC.AEADxaBCBEab-x整理得：x2-bxa2=0,•-b2-4ac二b2ab-2a而b2a0,当b-2a:::0即b:::而b2a0,当b-2a:::0即b:::2a时,■：:：:0,方程无实数解，即符合条件的点E不存有.当b-2a=0即b=2a时，：■0,方程有两个相等的实数解，即点E存有，且只有一个，是AB的中点.当b-2a0即b2a当b-2a0即b2a时,■:-0,方程有两个不相等的实数解,x1,2-bbF都符合题意，即存有两个点满足条件.【说明】本题是数形结合型题目.在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的相关知识来做.解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件，通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的；同时，还要注意分类讨论思想的使用.本题也可用与圆相关的知识解答【复习建议】1、立足教材打好基础，通过复习使提升计算水平，掌握方程（组）的基本知识，基本方法，基本技能.2、注重实践操作依托思想理论的意识.3、重视情景（信息）问题的提示，增强情景提示或信息提取水平，增强用数学知识解决情景问题水平即建模水平.4、提升方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合使用水平，力争做到相互联系，融会贯通.5、重视与社会发展相适合的一些实际问题，增强用数学的意识.四、不等式(组)及其应用细思量确定盲区(请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会)1•掌握不等式及其基本性质掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法，用数轴确定解集3•根据具体问题中的数量关系，列出不等式(组)，解决简单的问题•再回首查缺补漏1、知识脉络2、基础知识不等式的相关概念用不等号表示不等关系的式子叫做不等式使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集求不等式的解集的过程，叫做解不等式•不等式的基本性质不等式的性质1TOC\o"1-5"\h\z不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变•女口果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.不等式的性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变•如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变•如果a>b，并且c<0，那么ac<bc.一元一次不等式只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式•解一元一次不等式与解一元一次方程相类似，基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时，不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向必须改变一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图：一元一次不等式组

（1）几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组,再利用数轴求出它们的公（2）解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集共部分,再利用数轴求出它们的公（3）由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的几种情况如下:方法与技巧记忆语言数学应用语言图形语言记忆语言数学应用语言图形语言同大取大当a>b时，(X>a亠1的解集是X>a1X>bba同小取小当a>b时，/Xva1的解集是XvbIXvbba大小小大取中间当a>b时，|Xva的解集是b<XvaX>bb02a大小等同取定值不等式组｛X>a的解集是X—aX<a*.Li?,…a02大大小小则无解当a>b时，|rX>a的解集是无解LXvb1►b0a不等式（组）的应用解不等式的应用问题关键是建立不等式模型，会根据题中的不等量关系建立不等式（组）,解决实际应用问题•具体能够参见“三、方程（组）及其应用”中列方程（组）解应用题的一般步骤•做一做万无一失例1.解下列不等式（组）,并把解集在数轴上表示出来⑴x51「=寺解：（1）⑵"2(x+8)<10-4(x-3)①£x+12x—1,-<1.L23②解集在数轴上表示为（2）解集在数轴上表示为：•••不等式组的解集为：2x—3v=a—1例2.已知关于x、y的方程组丿y的解是负数，求a的取值范围£+2y=a((2)已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力【分析】先由方程组求出方程组的解组,求a的取值范围.【分析】先由方程组求出方程组的解组,求a的取值范围.2x—3v=a—1【解】解方程组丿yx+2y=a5a-2x=7a1•••方程组的解是负数,Z即ycO.5a—2<0,7a+1c<0.7r5'a—1a：：：-1.(用含a的代数式表示),再由方程组的解为负数列出不等式【说明】本题主要考查解方程组和分步解决问题的水平•当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母看作已知数实行计算•也可尝试寻找更快捷的方法。例3.现计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往基地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式.如果每节A型车厢最多可装甲种货物35t和乙种货物15t,每节B型车厢最多可装甲种TOC\o"1-5"\h\z货物25t和乙种货物35t,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种方案？在(2)的方案中，哪种方案费用最省？并求出最省费用•【分析】题(1)中总费用应该是A型车厢的费用和B型车厢的费用的总和•题(2)的要求是A型车厢的甲种货物最大装载量与B型车厢的甲种货物最大装载量的和很多于1240吨；A型车厢的乙种货物最大装载量与B型车厢的乙种货物最大装载量的和很多于880吨.【解】(1)•••用A型车厢x节，则B型车厢为(40-x)节，得y=0.6x0.8(40-x)--0.2x32.⑵依题意，得[35x+25(40-x)>1240,d5x+35(40—x)>880.解之，解之，得•/x取整数，•••共有三种方案：24节A型车厢和25节A型车厢和26节A型车厢和x=24或25或2616节B型车厢；15节B型车厢；14节B型车厢.""方案设计问题”，要善于把这类问10辆汽车将甲、乙、丙三种规，且必须满载，每种大蒜很多于一(3)当x=24时，y=27.2万元；当x=25时，y=27万元；当x=26时，讨=26.8万元；故安排方案③，即A型车厢26节，B型车厢14节最省，最省费用为26.8万元.【说明】当前中考越来越注重水平的考查.本题是一道实际生活中的题转化，抽象为数学问题加以解决.例4.大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜车•设用x辆车装运甲种大蒜，用y辆车装运乙种大蒜，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围•设此次运输公司的利润为M单位：百元),求M与x的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相对应的车辆分配方案大蒜规格甲乙丙每辆汽车的满载量/t81011运输每吨大蒜获利/百兀2.22.12【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共loot;每种大蒜很多于一车由题意能够列出方程和不等式题(2)中运输公司的利润M是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和【解】(1)t用x辆车装运甲种大蒜，用y辆车装运乙种大蒜，•••装运丙种大蒜的车辆为(10—x—y)辆•根据题意，得8x10y11(10—x—y)=100,化简，得y=-3x+10.•••每种大蒜很多于一车，•|_3x10>1,x>1.解之得1<xW3.⑵根据题意，得M=2.28x+2.110y+211(10—x—y)=—1.4x210.•/k=—1.4:::0,M随x的增大而减小.又•••1WxW3，•••当x=1时M有最大值.M最大=—1.4+210=208.6(百元)此时相对应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜，用7辆车装运乙种大蒜，用2辆车装运丙种大蒜【说明】不等式的使用常常与方程(组)、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能全面思考问题的水平.例5.我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：日平均风速v/(m/s)vc33Evc6v启6日发电量/kWhA型发电机0>36>150B型发电机0>24>90根据上面的数据回答:(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为kWh;发电机共10台，希望购置的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量很多于102000kWh,请你提供符合条件的购机方案【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来，如一台A型发电机一年有60d的日发电量》150kWh,有100d的日发电量》36kWh,则可求出一台A型发电机的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案，所以，只要是符合要求的方案均可，实际上购机方案可能不止一套•【解】(1)12600X(2)设购A型发电机X台，则购B型发电机(10—x)台•根据题意，得0.3x0.210-X<2.6，12600X780010-X>102000.解之得：5<X<6.•••可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相对应的数学模型.【复习建议】1、立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式(组)的基本知识、基本方法和基本技能.2、多样化题型的适合性训练，重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化不等式(组)思想和方法的渗透、总结.增强学生自觉使用不等式(组)模型解决现实生活中的数学问题的意识和水平3、注重知识间的联系，将不等式(组)知识与函数知识、方程(组)知识有机结合，强化训练学生综合使用数学知识的水平，从而把数学知识转化为自身素质五、函数及其应用细思量确定盲区(请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会)探索具体问题中的数量关系和变化规律.函数通过简单实例，了解常量、变量的意义.TOC\o"1-5"\h\z能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例.能结合图象对简单实际问题中的函数关系实行提示.能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.结合对函数关系的提示，尝试对变量的变化规律实行初步预测.一次函数结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式.会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(kM0)探索并理解其性质(k>0或kv0时，图象的变化情况).理解正比例函数.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.能用一次函数解决实际问题.反比例函数结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式•能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=k(kM0)探索并理解其性x质(k>0或kv0时，图象的变化情况).提示(3)能用反比例函数解决某些实际问题.二次函数TOC\o"1-5"\h\z通过对实际问题情境的提示确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义•会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上理解二次函数的性质.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题•会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.再回首查缺补漏知识脉络基础知识一次函数一次函数的图象：函数y=kx亠b(k、b是常数，k丰0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.一次函数的性质：设y=kxb(k^0)，则当k>0时，y随x的增大而增大；当kv0，y随x的增大而减小.正比例函数的图象：函数y=kx(k是常数，kz0)的图象是过原点及点(1，k)的一条直线•当k>0时，图象过原点及第一、第三象限；当kv0时，图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：设y=kx(kz0)，则当k>0时，y随x的增大而增大；当kv0时，y随x的增大而减小.一次函数的图象与性质解析式y=kx+b（k、b为常数且kz0）k的取值情况K>0Kv0b的取值情况b>0bv0b=0b=0b>0|bv0函数名称一般一次函数正比例函数一般一次函数

图像特征样图上L1\y%X/pxPKxo^x\ox位置特征、——、三\象限一、三、四象限、三,、象限二、四象限一、二、四象限二、三、四象限平移特征直线y=kx沿y轴向上平移|b|个单位直线y=kx沿y轴向下平移|b|个单位<y=kx(k>0)y=kx直线y=kx沿y轴向上平移|b|个单位>直线y=kx沿y轴向下平移|b|个单位N1“交占八、、特征和x轴交于（一b,0）和y轴交于（0,b）图像过原点（0,0）和x轴交于（一—,0）和y轴交于（0,b）面积特征和两轴围成的三角形面积S=1•1-b|・|b|=為增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小反比例函数k（1）反比例函数的图象：函数y（kz0）是双曲线.当k>0时，图象在第一、第三象限；当kv0x时，图象在第二、第四象限.k（2）反比例函数的性质：设y=（kz0），则当k>0时，在每个象限中，y随x的增大而减小；当xkv0时，在每个象限中，y随x的增大而增大.反比例函数的图象与性质解析式k亠-1y=x或y=kx(kz0)图像名称双曲线图像特征K的取值K>0Kv0样图y1V>OX10x位置特征两分支分居一、三象限两分支分居二、四象限渐进特征|x|越大越靠近x轴，|x越小越靠近y轴，但永不能到达x轴或y轴对称特征两分支总疋关于原点0中心对称，且关于y—x和y—一x轴对称等积特征图像的上的任意点向两轴作垂线和两轴围成的矩形面积为定值（或着说都相等）。即：S=|x|・|y|=|k|图像的上的任意点向一轴作垂线和它与原点的连线及坐标轴围成的三角形面积为定值（或着说都相等）。即：S=1|x|・|y|=£|k|函数性增减性每一象限内y随x的增大而减小每一象限内y随x的增大而增大质定积性满足解析式的每一组变量值的积为定值。即：x•y-k二次函数一般式：y二ax2bxc(a=0).图象：函数y=ax2bxc(a=0)的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.性质：设y=ax2bxc(a=0)开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当av0时，抛物线开口向下；对称轴：直线x—；2a顶点坐标(-b,4证-圧)；2a4a增减性：当a>0时，如果x—，那么y随x的增大而减小，如果x_-——，那么y随x的2a2a增大而增大；当av0时，如果x乞-，那么y随x的增大而增大，如果x_-一，那么y随x的增2a2a大而减小.2顶点式y二ax-hka=0.2图象：函数y=ax-h•ka=0的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.2性质：设y=ax-hi亠ka=0开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当av0时，抛物线开口向下；对称轴：直线x=h；顶点坐标(h,k)；增减性：当a>0时，如果x_h，那么y随x的增大而减小，如果x_h，那么y随x的增大而增大；当av0时，如果x_h，那么y随x的增大而增大，如果x_h，那么y随x的增大而减小.平移变化规律：22对于抛物线y°=a(x-h0)+k0和yi=a(x-h1)+kih单独控制左右平移，即:当hi>h0时，yi可看作由y。沿X轴方向平移(hi—h。)个单位所得。当hivh°时，yi可看作由y°沿X轴方向平移(h°—hi)个单位所得。k单独控制上下平移，即:当ki>k°时，yi可看作由y°沿X轴方向平移(ki—k°)个单位所得。当kivk0时，yi可看作由y°沿X轴方向平移(辰一ki)个单位所得。h和k同时变化时可分两步去提示(先左右再上下或先上下再左右)交点式：v=a(x-m)(x-n)m、n分别为抛物线与X轴两个交点的横坐标

此时抛物线的对称轴为：直线m+n此时抛物线的对称轴为：直线m+n其它需要自己理解的规律：1、a的正负决定开口方向2当a>0€・开口向上t>•函数存有最小值b4ac-b）—,）当av0<>开口向下靈>•函数存有最大值2a4a|a控制开口大小a|越大^=A开口越小^=»对称轴某侧y随x的变化越快|a|越小咲A开口越大*a对称轴某侧y随x的变化越缓2、左同右异（a和b的符号与对称轴的关系）对称轴在Y轴左侧y>a和b同号对称轴在Y轴右侧*->a和b异号3、抛物线与两轴的交点:22抛物线y二axbxc（^=0）总与丫轴交于（o,c）点；若方程axbx0的两根分别为Xi分别为Xi和X,则抛物线2y二axbxc(a=0)与X轴交于(xi,0)(X2,0)两点。4、顶点与最值24、顶点与最值2若抛物线y二axbxc（a=0）顶点为（b4ac-b22a'4a那么当ac-,b2x取一扫时，二次函数必存有最（大、小）值为4a那么当ac-,b2x取一扫时，二次函数必存有最（大、小）值为4ab2a4ac-b24a5、本册第11页与一元二次方程相关内容待定系数法1、解释:所谓待定系数法，指的是O1根据确定的函数类型设出相对应解析式，O2再将给定的或获取变量的值代入所设的解析式，得到关于待定字母的方程（组），O解方程（组）求出待定字母的值，O将所求得的字母的值代回所设的解析式，从而得到目标函数的解析式的一种方法。2、二次函数中待定系数法的使用技巧：能获取顶点坐标的可设顶点式，再找两点代入求之。能获取与X轴两交点的可设交点式，再找一点代入求出a即可。或取得是一般的三点，只能设一般式解三元一次方程组求出a、b、c了做一做万无一失例1如图，二次函数y二ax2，bxc的图象开口向上，图象经过点（一1,2）和（1,0），且与y轴相交于负半轴.给出四个结论：①abc::0:②2ab0:③a•c=1;a畀.其中准确结论的序号是.【提示】利用图象的位置可判断a、b、c的符号，结合图象对称轴的位置，经过的点可推断出准确结论.【解】由图象可知：a>0,bv0,cv0,「.abc>0;•.•对称轴x=b在（1,0）的左侧，•••bv1,•••2ab0；2a2a

"a—b+c=2•••图象过点(一1,2)和(1,0),「.，•••a・c=1,b=-1；a+b+c=0••a=1—c>1.•准确的序号为：②③④.【说明】函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要使用•本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论•复习总要增强这种思想方法的应用练习•例2设直线y1=xb与抛物线y2=x2c的交点为A(3,5)和B.⑴求出b、c和点B的坐标；⑵画出草图，根据图像回答：当x在什么范围时m.(组(组)的思路解决•借助于函数图象可直观地解决函数值的大小比较【解】(1)【解】(1)•••直线y,=x•b与抛物线y2=x2c的交于点A(3,5),2二力=x2,2二力=x2,y2=x-4.由yj2得x1」2,x2=3y=x-4%=0y2=5二B(-2,0).图象如图所示，由图象可知：当x_-2或x_3时，【说明】本题着重考查与函数图象交点相关的问题及函数值的大小比较问题，要求能够利用y1/\/jA(:⑸•\/\/LQ)'1-/Vd]1/1LV-5■数形结合思想，沟通函数和方程(组)、不等式的联系和相互转化.例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,-4),且抛物线在x轴上截得的线段长为4,求抛物线的解析式.【提示】因为抛物线是轴对称图形，所以抛物线在x轴上截得的线段被抛物线的对称轴垂直平分,从而可求得抛物线与x轴的两个交点坐标.【解】•••抛物线的顶点为(1,7)，•设抛物线的解析式为•••抛物线的对称轴为直线x=1,又•••抛物线在x轴上截得的线段长为4,•••抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)，代入所设•0=4a4,「.a=1,22x轴的交点为•抛物线的解析式为y二xT-4，即y=x-2x-3.x轴的交点为【说明】抛物线的对称性常常是解题的切入口，本题也能够通过设抛物线与

（x1,0）（x2,0），则％-x2=4，利用根与系数的关系来求解，但这样显然比较繁琐例4某经销店为一家工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再实行结算，未售出的由厂家负责处理）•当每吨售价为260元时，月销售量为45吨•该经销店为提升经营利润，准备采取降价的方式实行促销•经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该经销店的月销售量为p（吨），月利润为y（元），月销售额为w（元）,.（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出p与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）;（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【提示】根据题意，月销售量p是每吨售价x的一次函数，月利润y是每吨售价x的二次函数，月销售额w也是每吨售价x的二次函数，通过配方可解决（3）、（4）问题.【解】（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量p=45260一2407.5=60吨；10TOC\o"1-5"\h\z260-x3由题意得：p=45•7.5，即p=-x240.104『3）前32（2）y=（x—100）p=（x—100）—一x+240，即y=—一x2+315x—24000.4丿4⑶配方得：y=—3(x—210$+9075,•••当x=210时，ymax=9075(元).4w=xp=x'—?x+240i,即卩w=-3(x—160)+19200,.44•••当x=160时Wmax=19200.•y与w不是同时取得最大值，小静说法不对【说明】本题是一次函数和二次函数在实际生活中的综合使用，关键要理解商品经济中的进价（成本价），售价，单位利润（每件商品的利润），销售数量，总利润，销售额的概念及其关系.单位利润=售价—进价，总利润=单位利润X销售数量，销售额=售价X销售数量.例5如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点AB的坐标分别为（4,0）（43），动点M,N分别从O,B同时出发，以每y秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP丄OA，交AC于P，连结NP,已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为（,）（用含x的代数式表示）;（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相对应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.【提示】求P点坐标，由图可知，就是要求线段OM,PM,由厶APMACO可得；求厶NPC的面积的关键是用x的代数式表示边CN上的高PQ；△NPC是等腰三角形有三种情形，不能遗漏.一3【解】⑴由题意可知，C(0,3),M(x,0)N(4-x3),.P点坐标为(x3-x).43设厶NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4-x,NC边上的高为上x，其中0<x<4.4332323S(4-X)x(-x24x)(x-2)248823.S的最大值为一，此时x=2.2延长MP交CB于Q，则有PQ_BC.若NP二CP,：PQ_BC,NQ=CQ=x..3x=4,x=4.3TOC\o"1-5"\h\z5若CP二CN，则CN=4-x,PQ=3x,CP,4164—x二x•x=.9若CN二NP，贝UCN=4-x.3tPQ,NQ=4-2x,4TOC\o"1-5"\h\z2222232128丁在Rt△PNQ中，PN=NQPQ..(4—x)=(4—2x)(x),x=457416128综上所述，x，或x，或X二957【说明】本题为双动点综合题，是中考的压轴题，有较大的难度.(1)(2)两小题与函数相关，解题的关键在于把握动点的运动规律，用x的代数式表示出动点的路程，从而结合相似形的知识把其它相关线段也用x的代数式表示出来为解题服务.(3)要用到分类讨论的思想方法•【复习建议】通过复习，应熟练掌握函数的基本知识、基本方法和基本技能.重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化函数思想和方法的应用理解、总结和升华.增强自觉使用函数模型解决现实生活中的数学问题的意识和水平增强函数知识与方程(组),不等式(组)知识、相似三角形知识等的联系，提升综合使用数学知识的水平，更快、更好地构建数学知识网络.重视学科间知识、方法的联系，复习中可综合物理、化学等学科相关知识及其特点，用数学的视角来增强相关知识的学习与巩固六、图形与图形的变换细思量确定盲区(请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会)图形的初步理解直观理解立体图形、视图、展开图•②直观理解平面图形，了解图形的分割与组合.准确理解两点间的距离和含义，掌握点、线段、直线、射线的表达方式.能理解线段间的数量关系，学会比较线段的大小，理解“线段的和差也是线段”这个事实.理解角的两种定义，准确理解角与角之间的数量关系，学会比较角的大小，理解角的和、差及角平分线的概念.准确理解互为余角和补角的概念以及它们之间的数量关系.理解垂线的概念并能用三角尺、量角器过一点画已知直线的垂线；理解点到直线的距离，并能度量点到直线的距离.理解同位角，内错角和同旁内角的概念，并学会识别它们.理解平行线的概念，理解平行线的特征，会用三角尺、直尺过已知直线外一点画这条已知直线的平行线，并会识别实际生活与数学图形中的平行线.2）轴对称通过生活中的具体实例理解轴对称的概念.理解并熟练应用线段、角、圆等图形的轴对称性.能按要求画出简单平面图形的轴对称图形.能利用轴对称实行图案的设计.能使用等腰三角形的两底角相等，三线合一实行简单证明和计算.熟练掌握并能使用等边三角形的性质解题.（3）平移和旋转通过实例理解图形的平移变换，掌握下列基本性质：对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等；平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.能按要求作出简单的平面图形平移后的图形，注意平移的方向和距离.通过具体实例理解图形的旋转变换，掌握下列基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.理解旋转对称图形，并能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形，注意旋转中心，旋转角度，旋转方向.通过实例理解中心对称，并掌握下列基本性质：连结对称点和线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180的旋转对称图形.灵活应用轴对称、平移与旋转或它们的组合实行图案设计.理解和欣赏这些图形变换在现实生活中的应用.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理水平，培养学生的数学说理的习惯与水平.再回首查缺补漏1、知识系统化2、基础知识两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.视图有正视图、俯视图、侧视图（左视图、右视图）平行线间的距离处处相等.平移是由移动的方向和距离决定的.平移的特征：对应线段平行（或共线）且相等；连结对应的线段平行（或共线）且相等；对应角分别相等；平移后的图形与原图形全等.图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定.旋转的特征：对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；旋转后的图形与原图形全等.

,特别是隐藏在复杂的图形中时,特别是隐藏在复杂的图形中时做一做万无一失例1•如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540米2,则道路的宽应是米？【提示】尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了.【解】将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，设道路宽为x米，则有32x设道路宽为x米，则有32x(20_x)x=3220-540,整理，得x2_52x100=0,二(x_50)(x_2)=0,◎1个单位◎1个单位长)中，RtABC从点ABC边与网格的底部重合时，继续以•••Xi=50(不合题意，舍去)，X2=2••••道路宽应为2米.【变式】如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1,则图中阴影部分的面积是[答案为5]例2.如图是一个台球桌，(1)若击球者想通过击打E球，让E球先撞上AB边，反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中画出这个点，并说明是如何确定的？(2)若击球者想让E球先撞AB边，再撞AD边，反弹后撞上G球，他应将E球打在AB边上的哪一点？【解】(1)作E球关于AB的对称点E'，连结EF交AB于P,则P为所求的点，如图(1).(2)分别作球关于AB的对称点E,球G关于AD的对称点G，连结EG■交AB于P,交AD于Q,点P、Q即为所求的点(如图(2)).【说明】本题利用了两点之间线段最短的原理及中垂线的性质来解决实际生活中的问题.这是中考中常考的一种题型，在复习中应引起充足的重视.例3.如图①和②，在20X20的等距网络(每格的宽和高均为与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，RtABC停止移动。设运动时间为x秒，厶QAC的面积为y.(1)如图①，当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出RtA^B1C1关于直线QN成轴对称的图形；如图②，在RtABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？在RtABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？为什么？((3)((3)AN①B1/V/\AN①B1/V/\X、L7$/CVX、、/(//-/Bi②【提示】解本题的关键是排除网格的干扰，能抽象出网格中的四边形、三角形；对于（y-S®形QMBC-S.amq-S.ABC；对于（3）y=S梯形BAQP-Scpq-S£bc，应注意自变里的取值范围,在其约束条件下求函数最值.y=S梯形QMBC-SamQ一SABC=16时，y最大二72.【解】(1)y=S梯形QMBC-SamQ一SABC=16时，y最大二72.=丄(420)(x4)-丄20x-丄44=2x4022由一次函数的性质知：当x=0时，y最小=40；当x当16<x<32时，PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,111所以y=S梯形baqp-Scpq-SABC匕(420)(36-x)-220(32-x)-?44二-2x104(16<x<32)由一次函数的性质知：当x=32时，y最小工40；当x=16时，y最大二72.例4•如图，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,少？已知长方体的长为2cm,宽为1cm,高为4cm.例4•如图，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,少？已知长方体的长为2cm,宽为1cm,高为4cm.【解】根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：Af,CB',BB剪开，得图1）\B2+BB2=（2｝卡1）2B42=A©那么沿哪条路最近？最短路程是多(1)r沿AA,AB2二(2)沿AC,ABrD全AC2乜BB2=©1)2CC：CB：bD:d'a剪开,4=425得图4A(3)沿ADCDD；BDACb^CAJaAb剪开,A得图23)C(1)(2)AB2=AD2BD2=12(42)2-136=37综上所述，最短路径应为（1综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB25，即AB=5cm,答：最短路径为（1）所示5cm.【说明】长方体中的最短路径问题要比圆柱体中的最短路径问题复杂，因为其展开图有三种情况,要比较后方能确定，但基本原理是一样的，需要将立体图形展开为平面图形才能解答，这里我们利用了答：最短路径为（1）所示5cm.【说明】长方体中的最短路径问题要比圆柱体中的最短路径问题复杂，因为其展开图有三种情况,要比较后方能确定，但基本原理是一样的，需要将立体图形展开为平面图形才能解答，这里我们利用了“两点之间线段最短”这个最朴素的原理，只要掌握了最基本的原理，同一类问题，从而解决问题。例5.在矩形ABCD中，如图，AB=3，BC=4，将矩形折叠,的长.无论题目多复杂，我们都能转化使点C与点A重合，求折痕EF题,解:A【说明】图形翻折后有两个全等的直角三角形，本题正是禾体现了一种常用的数学思想和方法一一方程思想及数形结合的方例6.为了改善农民吃水质量，市政府决定从新建的水厂寸用直角三角形中的勾股A向两村知三点A、B、CA之间的距离相等，为了节约成本，降低工程造价，请你设计一种最佳方案，使铺设的输水管道最短.在图画出你所设计方案的线路图.解：设AB=BC=AC=a图（1）所示方案的线路总长为AB•AC=2a,图（2）RtADC中，AD=（a2-（；a）2二身a.图（2）图（2）所示方案的线路总长为ADBC图（2）所示方案的线路总长为ADBC（1）a图（3）延长AO交BC于E，因为OA=0B=0C所以，0E_BC,BE二CE=?,2在RtQBE中，BOE=30，设OE=x,0B=2<所以,2a22x（2）=（2x）,所以,a，所以,OB图（3）所示方案的线路总长为

OAOBOC=30B「3a比较可知-3av（亠）av22a,所以，图（3）所示方案最好.【说明】本题是一道方案设计型开放题，首先要设计出不同的方案，再通过计算来确定哪个方案最好，问题的难点是准确的设计出三种不同的方案.例7•将一矩形纸片OAB放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上,OA=6,OC10。（1）如图①，在OAh取一点E,将也EOC沿EC折叠，使

O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；(2)如图②，在OAOC边上选择适当的点E\F,将也EOF沿EF折叠，使0点落在AB边上的D•点，过D■作DG//y轴，交EF于T点，交0C于G点，求证：TG=AE.(3)在(2)的条件下，设T(x,y)，①探求：y与x之间的函数关系式；②指出自变量x的取值范围.(4)如图③，如果将矩形OABC变为平行四边形OABC，，使OC'=10,0C•边上的高等于6,其他条件均不变，探求：这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系式？若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为准确的函数关系式.【解】(1)方法1设OE=m或(0,m),则AE=6_m,CD=10,由勾股定理得BD=8，则AD=2,在.：ADE中，由勾股定理得(6-m)2•在.：ADE中，由勾股定理得(6-m)2•22二m2解得m103所以E(0,10).3方法2:设OE=m或E(0,m)，贝UAE=6-m,CD=10,由勾股定理得BD=8，则AD=2，由.EDC=/EAD=90,得AED二/CDB，所以八BCD，故专送，解得m二10，所以E(0,2).3EF垂直平分OD，即OP=PD，由OE//DG,AE二TG.(2)连结EF垂直平分OD，即OP=PD，由OE//DG,AE二TG.(3)①连结OT,由(2)可得OT二DT，由勾股定理可得，x2•y2二((3)①连结OT,12得yx23。②结合(1)可得AD'OG=2时，AD•最大，即x最大，此时G点与F点重合，12四边形AOFD•为正方形，所以x最大为6,即x<6，所以，2<x<6.y与x之间仍然满足(3)中所得函数关系式，理由如下：连结OT,仍然可得OT•二D”T,即xy=(6-y)，所以，(3)中所得的函数关系式仍然成立.【说明】这是一道中考压轴题，综合应用了直角三角形(或相似三角形)、四边形、方程、函数等知识，突出了数形结合思想.【复习建议】1•理清概念，注重操作，通过复习，应熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能.•重视提升分解、组合图形的水平，重视在折叠、旋转、展开过程中思维连贯性的训练，减少思维的盲目性、间断性，突出化归思想.•增强图形与图形变换知识与方程(方程组)知识、函数知识、面积知识、网格知识、相似三角形知识、图形设计知识及其它学科间知识的联系，提升综合使用数学知识的水平.•重视对课本例题、习题的研究，能实行适当变式与引伸，积极实行开放型、探求型问题的训练，提升用所学知识和水平去提示、解决新问题的水平.七、三角形细思量确定盲区(请在各项后面用符号标明：A表示能顺利完成；B表示经常出错；C表示根本不会)

了解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性•掌握三角形中位线的性质.了解等腰三角形的相关概念，探索并掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；一个三角形是等腰三角形的条件：有两个角相等的三角形是等腰三角形；了解等边三角形的概念并探索其性质了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半；判定一个三角形是直角三角形的条件：有两个角互余的三角形是直角三角形•体验勾股定理的探索过程，会使用勾股定理解决简单问题；会使用勾股定理的逆定理判定直角三角形•再回首查缺补漏1、知识系统化I―B三萌形的冇爻概念一角形—•齣一角形—•齣IT恥—*—*特匪=角形等边三觥2、基础知识三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180°;三角形三个外角的和等于360°;三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的半•(3)等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于60°.（4）直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于90°的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方0与三角函数联系解直角三角形做一做万无一失例1（1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长.（2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另两个内角的度数.【提示】利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得.【解】（1）分两种情况：若腰长为12,底边长为5,则第三边长为12.若腰长为5,底边长为12,则第三边长为5.但此时两边之和小于第三边,故不合题意.所以第三边长为12.（2）分两种情况：①②所以这个三角形的另两个内角分别是或.【说明】此题使用“分类讨论”的数学思想,本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系例2如图，"ABC中,DE分别是A