微积分复习资料

-.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系；掌握无穷小量的运算性质；会比较无穷小的阶，熟练掌握求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换求极限，常用的等价无穷小代换是：当0时,有：～;～～;～;～.…….3.掌握两个重要极限:(Ⅰ).(Ⅱ).记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：4.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：.5.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必有下列三种情况之一发生：⑴、在点无定义；⑵、不存在；⑶、存在，但若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。6.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及罗必塔法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.求极限：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵⑶解:=1\*GB2⑴此极限为型∵当时，有～,～∴=2\*GB2⑵此极限为型，可用重要极限。＝.⑶此极限为型,仍可用重要极限=.例2．判断函数的间断点，并判断其类型。解：由于∴是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。∵∴为函数y的可去间断点；∴为函数y的第二类（无穷型）间断。例3．函数在点处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是∵∴四.练习题及参考答案1.填空=1\*GB2⑴设=当=时,在处连续=2\*GB2⑵设=,则=2.求极限=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵．3.求函数的间断点，并判断间断点的类型。答案:1.=1\*GB2⑴.3=2\*GB2⑵.1;2.=1\*GB2⑴.;=2\*GB2⑵..3.间断点为可去间断点，间断点为第二类（无穷型）。自我复习.习题二(A)11.⑾,⑿,⒀.24.(2),⑶，(4),⑺.25.⑴.28.⑴.30.⑴,⑵,⑶.37．⑴,⑷.第三章导数与微分一.本章重点.导数概念及导数的计算.二.复习要求1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：.2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程和法线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：=1\*GB2⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；=2\*GB2⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求下列函数的导数：=1\*GB2⑴．，求⑵．=,求.⑶．设=由方程所确定，求⑷.,求解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：.⑵本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：上式两边对求导，视y为中间变量:=⑶．本题为隐函数求导，将原方程两边对求导，视为中间变量：解上面关于的方程，得：.⑷.例3．求曲线在其切线斜率等于处的切线方程和法线方程。解：由已知条件，解出切点：令代入原方程，得：，即切点为.∴切线方程为：；法线方程为：.例4、设试讨论在处的连续性及可导性。分析与解：由已知，；（1）讨论在处的连续性。∵∴在处连续。（2）讨论在处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：即存在四.练习题及参考答案1.求函数的导数：=1\*GB2⑴,求⑵,求2.设试讨论在处的连续性及可导性。3.设确定是的函数，求.答案：1（1）；(2).；2.在处连续，3.自我复习:习题三(A)5；13；18；19；18；21,⑵，⑼，⒇；24.(2)(4)；25；26⑶，⑺，⑻;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；47.⑴，⑵，⑷．第四章中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的罗彼塔法则；应用导数判定函数的单调性、求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析与弹性分析；求曲线的渐近线。二.复习要求熟练掌握用罗彼塔法则求未定式极限的方法。注意:⑴罗彼塔法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。⑵罗彼塔法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.⑶．在求未定式极限时，将罗彼塔法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。掌握函数极值的概念及求函数极值方法.掌握最值的概念及其与极值的关系,熟练掌握求经济应用问题最值的方法.如求最大总收入,最大总利润等.掌握用函数的最值证明不等式。掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.了解函数弹性的概念,知道需求弹性与一般函数弹性的区别,会求需求弹性.熟练掌握求曲线渐近线的方法。曲线的渐近线有如下三类：⑴水平渐近线：若，则就是曲线的水平渐近线。⑵铅直渐近线：若，则就是曲线的铅直渐近线。⑶斜渐近线：若，且，则就是曲线的斜渐近线。（注：上面⑴、⑵、⑶中极限若是单侧的，结论亦成立。）三.例题选解例1.求下列极限(1).(2).(3).解：(1)型)=（罗必达）=（整理，用罗）（不是未定式）＝0.(2)原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得：∵（代换）（罗必达）（代换）＝0∴原式＝(3)==（代换）（罗必达）＝例2.证明：分析：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。证明：设F(x)=,则F(0)=0，，下面来证明时，有，记则，且等号只在离散的点成立。∴单增，即当时，有此说明也单增。当时，有F(x)=即例3.求函数的凹凸区间和拐点。解：函数的定义域为由，得，令解出的两点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x0拐点拐点可见曲线的上凹区间为及；下凹（凸）区间是；分别是拐点的横坐标，将其分别代人原方程求得拐点纵坐标，得拐点为：。例4.求曲线的渐近线。解：函数为有理分式，其定义域为；∵；∴为曲线的铅直渐近线；又∴是曲线的斜渐近线。例5.⑴已知某产品的利润函数为，其中为产量，试求为多少时，利润最大？⑵.设某商品的需求函数为，求需求弹性。解：⑴由得，∴产量单位时，可获最大利润。⑵.，∴需求弹性为：四.练习题与参考答案1.求极限(1)⑵⑶2.证明.当x>0时，有:(1)(2).3.求的凹凸区间与拐点。4.求函数的单调区间和极值，凹凸区间与拐点，渐近线.5.求曲线的所有渐近线。参考答案：1.(1).0；⑵.；⑶.e.3.上凹区间（1＋∞）；下凹区间（-∞1）；拐点（1,2）.4.驻点为；函数的单增区间为；单减区间为：；函数的极大值为；函数的极小值为。5.铅直渐近线：斜渐近线：自我复习:习题四(A)8,9.⑼，⑾，⑿；11；12；14.⑵；16；18.⑴，⑵；19.⑴；32.⑵；35.⑻；40；41；44；45.第五章不定积分一.本章重点原函数与不定积分的概念，不定积分的计算二.复习要求理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握不定积分的基本性质。熟记并正确理解基本积分公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。熟练掌握不定积分的第一换元法(凑微分法)。凑微分法的关键是要凑出适当的换元因子的微分.使其在换元后可直接利用基本积分公式计算结果。掌握不定积分第二换元法的原理。当被积函数含有根式而不能用直接积分法或凑微分法积分时,一般要用第二换元法有理化根式。熟练掌握含时的有理化变换。熟练掌握不定积分的分部积分法，熟悉常见的几类用分部积分法求积分的类型及其中，的选择.三.例题选解例.求下列不定积分(1)(2)(3)⑷解：(1)方法1：该积分可用凑微分，也可以按照书上的写法：令，则（换元）方法2：本题还可以采用三角代换：令(2).此积分可用第二类换元法求解。令,