2003-数二真题、答案及解析

2003年数学（二）评注填在题中横线上）一、填空题（6424分.把1（1）若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a= .（2）y=f(x)xy2lnx2003年数学（二）评注填在题中横线上）一、填空题（6424分.把1（1）若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a= .（2）y=f(x)xy2lnxy4y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3）y2xxn项的系数是.（4）ea(a0)，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.11111（5）设3维列向量，T是的转置.若T11，则T= .（6）设三阶方阵A,B满足A2BABE，其中E为三阶矩阵，若101A02 0B.20 1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn均为非负数列，且liman0limbn1limcn,则必有nnn(A)anbnn.(B)bncnn成立.(C) 极限limancn不存在.(D)极限limbncn.[]nnnn132（2）设ann11xndx,则极限limnan等于xn03(A) 3(C) (1e1)21.3(1e1)21.3(B)(D)[]1xy()的解，则()的表达式为xx（3）已知y 是微分方程ylnxxyyy2y2x2（A） ..(B)x2x2x2y2(C) ..(D)[]y2（4）f(x)在(,f(x)有(A)(B)(C)(D)xy()的解，则()的表达式为xx（3）已知y 是微分方程ylnxxyyy2y2x2（A） ..(B)x2x2x2y2(C) ..(D)[]y2（4）f(x)在(,f(x)有(A)(B)(C)(D)..三个极小值点和一个极大值点.[]yOx4tanxx（5）I1dx,Idx,则4 2xtanx00(A) I1I21.(B) 1I1I2.(C) I2I11.(D) 1I2I1.[]（6）I：1,2,,rII1,2,,s线性表示，则)rsII必线性相关.(C)当rsI必线性相关.(B)当rsII必线性相关.)rsI必线性相关.[]（10分）ln(1ax3)xarcsinx,x0,x0,x0,设函数f(x)6,x2ax1eax,x4xsin2a为何值时，x=0f(x)的可去间断点？（9分）x12t2,d2y(t1所确定，求12lntea为何值时，x=0f(x)的可去间断点？（9分）x12t2,d2y(t1所确定，求12lnteu.y=y(x)由参数方程ydudx2x9u1（9分）xearctanxdx.3x2)2（12分）y=y(x)在(,y0xxyy=y(x)的反函数.d2xdx(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程 (ysinx)( 为y=y(x)满足的微3dy2dy分方程；(2)y(0)0y(0)3的解.2（12分）y4lnxky4xln4x的交点个数.（12分）21设位于第一象限的曲线y=f(x)过点( 任一点P(x,y)处的法线与y轴的2 2PQ轴平分.y=f(x)的方程；y=sinx在[0,]上的弧长为l，试用ly=f(x)s.（10分）xyy0)y轴旋转而成的旋转曲面（如图2.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m2/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)tt与y)之间的关系式；(2)xy)的方程.3(注：m表示长度米，min表示时间分.)（10分）设函数f(x在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b内可导，且f(x)0.若极限f(2xa)存在，证明：limxa(注：m表示长度米，min表示时间分.)（10分）设函数f(x在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b内可导，且f(x)0.若极限f(2xa)存在，证明：limxa在(a,b)f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点，使xab2a22()；bf(x)dxa(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使2b)(ba)2 2f(f(x)dx.aa（10分）22200A8a相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使6P1AP.（8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: 3c0，l2: 2cy3a0，l3: 0.abc0.41(1ax2)41a.1.【分析lim注xsinxx0意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.11【详解】当x0时，(1ax2)41~ ax2，42.1ax241(1ax2)41lim a1a=-4.于是，根据题设有limx21(1ax2)41a.1.【分析lim注xsinxx0意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.11【详解】当x0时，(1ax2)41~ ax2，42.1ax241(1ax2)41lim a1a=-4.于是，根据题设有limx2xsinx4x0x0】.2..【分析(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】xy2lnxy4x求导，得yxy24y3y，x代入上式，有)y11x1，即xy0.3..【分析】本题相当于先求y=f(x)x=0处的n阶导数值f(n0)，则麦克劳林公f(n)(0)nx项的系数是.【详解】因为y2xln2y2x(ln2)2，,y(x)2x(ln2)n，于是有y(n)(0)(ln2)ny (0)(ln2)x项的系数是(n)nn.中都可找到 .【评注】本题属常规题型，在一般12()d即可.4..【分析】S【详解】所求面积为21214a1222()dS22ae d0014a20e2a(e4a=【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算.】.55..【分析】本题的关键是矩阵T1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行.11111 11【详解】由T111，知5..【分析】本题的关键是矩阵T1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行.11111 11【详解】由T111，知1，于是 11 111 1a1a【评注nA1A2b b12nanP.389【2.11】和《13】.6..【分析】B，再取行列式即可.【例【详解】A2BABE知，A2E)BAE，即(AE)(AE)BAE，(AE)BE.A+E可逆，于是有AE1，B再两边取行列式，得00201010012AE2,B因为所以.【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.完全类似例题见《数学大串讲》P.160【11】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7.【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限limancn是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极n限limbncn属1型，必为无穷大量，即不存在.n2【详解】用举反例法，取annbn1，1,2,，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.完68..【分析.【详解nn1nn13232nann11xndx=1xnd(1xn)x003n3)n]21}，11nn= (1xn)2nn1n1033n可见 )n8..【分析.【详解nn1nn13232nann11xndx=1xnd(1xn)x003n3)n]21}，11nn= (1xn)2nn1n1033n可见 )n]21}(1e1)21.nn1nn【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般中均可找到其计算方法.的中间变量为u，求出(u)的表达式，x9..【分析】将y 代入微分方程，再令lnxx进而可计算出().yxy(，得x【详解】将y 代入微分方程ylnxxylnx1(lnx)，即.ln2ln2xy21u2x令lnx=u，有(u)，故()= .应选(A).x2y【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10..【分析】与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解3x=0则是导数不存在的点.x=0x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).f(x的图象，本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.11..【分析】直接计算I1,I2tanx>x,x>0.tanxx1，1，从而有详解】因为当x>0时，有tanx>x，于是xtanx744tanxxI1dx，I2dx ，44 xtanx00可见有I1I2I24，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注I11，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)一定为正确选项.12..【分析】本题为一般上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：1,2,,rII1,2,srsI必线性相关.I：44tanxxI1dx，I2dx ，44 xtanx00可见有I1I2I24，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注I11，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)一定为正确选项.12..【分析】本题为一般上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：1,2,,rII1,2,srsI必线性相关.I：1,2,,rII1,2,,s线性表示，且向量rs.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到.010【详解1010212,,121001011线性无关，排除(A)1,,，则,线211 211000110性无关，排除(B)；1,,，线性表示，但线性无1211 21001关，排除(C).故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到理11.（10分），定..x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即f(00)f(0)f(00).ln(1ax3)ax3【详解】 f(00)limf(x)limlimxarcsinx03ax23ax2lim=limx0 11x01x211x23ax26a.=limx01x228x2ax1eaxf(00)limf(x)limxsinx4x0x0x2ax12xaeaxaeax4lim2a4.2=4limx22xx0x0f(00)f(00)，有6a2a24ax2ax1eaxf(00)limf(x)limxsinx4x0x0x2ax12xaeaxaeax4lim2a4.2=4limx22xx0x0f(00)f(00)，有6a2a24a1a2.a=-1limf(x)6f(0)f(x)x=0处连续.x0a=-2limf(x)12f(0)x=0f(x)的可去间断点.x0【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.,数学大串讲》14【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.t的取值.注意e12lntdy【详解】由 22etdx， 4t，dt 12lnt t 12lnt dtdydtdxdt2etdydxe12lnt,得t)4td2y1ddy 1 e2 1 ( ) = 所以dxdt2(12lnt)2 t 4tdx2 dtdxe=.4t2(12lnt)2x=9x12t2t>1t=2,故d2yee2.t)222dxx9t2【评注P.53【例2.9,《23】.15..【分析】被积函数含有根号1x2，典型地应作代换：x=tant,或被积函数含有arctanx=t，即x=tant.9【详解xtant，则xearctanxettantdx=sectdt=esintdt.2t33(1x2)(1tan2t)22又etsintdtetdcost=(etcostetcostdt)=etcostetsintetsintdt，故 etsintdt1et(sint【详解xtant，则xearctanxettantdx=sectdt=esintdt.2t33(1x2)(1tan2t)22又etsintdtetdcost=(etcostetcostdt)=etcostetsintetsintdt，故 etsintdt1et(sintcost)C.2xearctanx1x1)C1x2arctanx3dx= e (2 2因此1x22(x1)earctanxC.=21x2【评注】本题也可用分布积分法：xearctanxxdx=arctanxde231xx2)2xearctanxearctanxdx=31x2x2)2xearctanx1arctanxde2=1xxearctan21xdx，=31x21x2x2)2移项整理得xearctanx(x1)earctanxC.dx=321x2x2)2本题的关键是含有反三角函数，作代换arctanxt或tant=x,完全类似例题见《数学dx dy dx16..【分析】将 转化为 比较简单， = ，关键是应注意：1 1ydydxdydxdyd2xd dxd 1dx( )= ()2dy dydy dxy dy10y 1y(y)3 =.y2y然后再代入原方程化简即可.dx1【详解】(1)由反函数的求导公式知 dy，于是有ydx yyd2xd dxd 11( )= ( ) = .dy2 dydy dxy dy y2 y (y)y 1y(y)3 =.y2y然后再代入原方程化简即可.dx1【详解】(1)由反函数的求导公式知 dy，于是有ydx yyd2xd dxd 11( )= ( ) = .dy2 dydy dxy dy y2 y (y)3代入原微分方程得yysinx.( *)(2)方程(*)yy0的通解为x xYC1eCe .2设方程(*)的特解为y*AcosxBsinx，代入方程(*)A0B1y*1sinxyysinx的通解是22.yYy*Ce1y(0)0y(0)3，得C1C1.故所求初值问题的解为122ye.【评注例17..【分析】问题等价于讨论方程ln4k0有几个不同的实根.本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）.4xk，y【详解】设).(则有4-k不难看出，x=1是(x)的驻点.O1x当0x1(x)0，即(x)单调减少；当x>1时，(x)0，即(x)单调增加，故(1)4k为函数(x)的最小值.k<44-k>0时，(x)0无实根，即两条曲线无交点；当k=44-k=0(x)0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；4-k<0时，由于lim(x)lim[lnk]；x0k<44-k>0时，(x)0无实根，即两条曲线无交点；当k=44-k=0(x)0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；4-k<0时，由于lim(x)lim[lnk]；x0x0lim(x)lim[lnk]，xx故(x)0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,内，即两条曲线有两个交点.【评注开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标...)PQy=f(x)的方程.b(2)将曲线y=f(x)化为参数方程，再利用弧长公式s x2y2dt进行计算即可.a【详解】(1)y=f(x)P(x,y)处的法线方程为1Yy (Xx)，y为法线上任意一点的坐标.X=0，则xYy ，yx故Q点的坐标为(0,y ).由题设知y1yyx)0，即2ydyxdx0.y2积分得 x22y2C(C为任意常数).1 的方程为2y2x2x22y21.(2) 在[0，]上的弧长为122l1cosxdx21cos2xdx.200曲线y=f(x)的参数方程为xcost,0t .2y2sint,22112故 ssin2t cos2tdt2l1cosxdx21cos2xdx.200曲线y=f(x)的参数方程为xcost,0t .2y2sint,22112故 ssin2t cos2tdt21sin2tdt，200令t u，则22121202s1cos2u(du)1cos2udu0l24l.=22【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)0到，而不是20到2.P.174的【例12.18】以及P.172的【解题提示二-P.74的第七题.19..【分析】液面的面积将以m2/mint时刻液面面积应为：22tt与y)之间的关系式；又也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】(1)设在t时刻，液面的高度为2y)4t,从而t2y4.y，则由题设知此时液面的面积为y(2)液面的高度为y时，液体的体积为 (u)du3t3(y)12.220y求导，得2y)6y)y，即y)6y).解此微分方程，得yy)Ce6C为任意常数，由(0)2C=2,故所求曲线方程为13yx2e6.【评注求解。的第四题(实际考题相当于)f(x)>0.(2)要xaxa证明(3)注意利用(2)的结论证明即可.【详解(1)limf(2xalimf(2xa)f(a)0.yx2e6.【评注求解。的第四题(实际考题相当于)f(x)>0.(2)要xaxa证明(3)注意利用(2)的结论证明即可.【详解(1)limf(2xalimf(2xa)f(a)0.f(x)0，xaxaxa在(a,b)内单调增加，故f(x)f(a)0,x(a,b).x(2)设F(x)=x,g(x) f(t)dt(axb),则g(x)f(x)0，故F(x),g(x)满2a足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使(x2)F(b)F(a)b2a2，g(b)g(a)baxxf(t)dt f(t)dt ( f(t)dt)aaa2()b2a2即.bf(x)dxa(3)f()f(f(0)f(f(a，在[a,上应用拉格朗日中值定理，知在(a,内存在一点f()f()(a，从而由(2)的结论得2b2a2，bf(x)dxa2b)(ba)2 2即有 f(f(x)dx.aa【评注(3)，关键是用（2）的结论：2ab2a22bf()(ba)2 2f(x)dxbaf(x)dxaf()f()(a)（(2)）f()f(a)f()(a)，14可见对f(x)在区间[a,]上应用拉格朗日中值定理即可.P.120【4.4118-19】.数学大串讲》P.54【例..A的特征值，再根据特征值的重数与线a.P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为2802200a6E可见对f(x)在区间[a,]上应用拉格朗日中值定理即可.P.120【4.4118-19】.数学大串讲》P.54【例..A的特征值，再根据特征值的重数与线a.P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为2802200a6EA(6)[(2)216]=(6)2(2)，A的特征值为12632.A相似于对角矩阵，故对应126应有两个线性无关的特征向量，即3r(6EA)2，于是有r(6EA)1.4 21000 20由 6EA8a0a，40 000a=0.于是对应于126的两个线性无关的特征向量可取为010，2.1012当32时，424000 210002EA801，0 1x0,2x得对应于2的特征向量2.1 2解方程组 x0,33 3 01501201P02PP1AP.0【评注】完全类似的例题见《 数学大串讲》P.222【例18-19】和《文登数学全真22..【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系2.【详解方法一：必要性设三条直线l101201P02PP1AP.0【评注】完全类似的例题见《 数学大串讲》P.222【例18-