数学分析3部分习题解析曲面积分

数学分析3数学分析3习曲面积分部关注的要点1（单变量的奇偶性的简算技巧；利用曲面的轮换对称性的简算技巧；记住第一型曲面积分的常用性（积分的计算和中经常用；熟记第一型曲面积分通过向坐标平面进行投影转化为二重积分的计算公式（即投影公式，注意此公式对曲面方程的表示的要求，并能熟练利用此公式计算第一型曲面积分。2（标平面的垂直关系；记住第二型曲面积分的线性性和曲面可加性（这两个性质在第二型曲面积分的计算和中经常用；熟记第一、二型曲面积分的转化关系（即利用曲面正向的法向量来转化的关系；熟记第二型曲面积分的沿正向积分与负向积分的关系；熟记第二型曲面积分通过向面方程为zz(x,y时，正向是指上侧；曲面方程为xxyz)时，正向是指前侧；曲面方yy(x,z)时，正向是指右侧，并能熟练利用此公式计算第二型曲面积3（（即外侧第二型曲线积分之间关系的斯托克斯公式（注意公式中曲面正向和曲线正向符合右手法则，并能P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,的原函数的方法（有两种常用方法：一是观察法 的方法；二是通过计算第二型曲线积(x,y,zu(x,y,z)(x,y,z)P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,00来求的方法，其中从起点到终点的积分路径可选择方1节部分习1（1）（2）(xyz)dSSx2y2z2a2z0(x2y2)dSSx2y2z1节部分习1（1）（2）(xyz)dSSx2y2z2a2z0(x2y2)dSSx2y2z11dSSx2y2R2z0zHx2（4）xyzdSSxyz1【做题之前，请回顾：1、第一型曲面积分借助曲面方程的表示以及曲面向适当坐标平面影区域化为二重积分计算的公式2、曲面积分的线性性和曲面可3、第一型曲面积分的简算方法（利用曲面方程简化被积函数；利用曲面关于坐标平面对称利用曲面的轮换对称；利用曲面积分的几何意义，即曲面的面积【解法提示（1）Syzxz平面都对称xySxdS0SydS0，从而S(xyz)dSSzdS（）Sza2x2y2xyDxy:xya zzxya ,y，1xy。 ax 2ax 2 ax 2(xyz)dSSa2x2y2 a2x2（2）2111（S（圆锥体的表面）底面和锥面的并（如图示注：具体计算之间应养成观察、简化意识，这往往能使你的具体计算过程大大简 二元函数的形式确定曲面在适当坐标平面用公式前做两件事：一、将曲面方程表示成二元函先用曲面可加性，然后再用化二重积分的计算公式计算计算见教学讲稿第21章第11（3）Sx2y2R2z0zH先用曲面可加性，然后再用化二重积分的计算公式计算计算见教学讲稿第21章第11（3）Sx2y2R2z0zHx2y2111HR2dS S Rx2y2（4）Sz1xyxyDxy(xy)x0,10y1xzz且1xy 3 xyzdS xy(1x 133dxdy61 002x2y2z2a2,x0y0z0：由题设，记曲面为S，其的密度为【解法提示：先回物理中的质心（重心）上述“？”请大家计算给。11又因为S是球面位于第一卦限的部分，所以S 2282xdSSydSSzdS下面计算SzdS。因为S的方程为z axy，它在xy平面上的投影 Dxy:x。11又因为S是球面位于第一卦限的部分，所以S 2282xdSSydSSzdS下面计算SzdS。因为S的方程为z axy，它在xy平面上的投影 Dxy:xya,x0,y0 zza且1xy ax a1 dxdy aaxy 34ay aa故质心为 2223、求密度为x2y2z2a2,(z0)z【解法提示：先回顾物理中曲面对z轴的转动惯量。下面计算此曲面积分。记曲面为S，注意到S的方程为z a2x2y2，它在xy平面上Dxy:xya zza且1xy ax SxydSxy S S S Sx S S y dS S S Sz S S x2xydSSxydS2222Dax xryr33 dr?aa2x2xydSSxydS2222Dax xryr33 dr?aa2a20adr可用“凑元”计算，事其a 0rtr212ta0aadrdr220a2r0a2ra2 ta2d12222aaa2tdt20a204、计算SzdSS2xr0tS:yrsin，D0，zr2【说明：本题的意图是让大家熟悉第一型曲面积分利用曲面的参数方程化为二重积分的计算式。此内容不在本学期的教学范围内的同学可参 曲面积分这一章给出的公式计算过程请大家自x2y2za的边界曲实际上本题曲面S的参数方程还原成的曲面是圆锥面（如下图示因此，请大家按照第一型曲面积分化二重积分的投影法再计算此积分（过程与本节第一大2小题类似最后两个积分计算2节部分习【说明：本节习题中设计的有关第二型曲面积分计算的题，原本意图主要是让大家熟悉曲面积分借助曲面2节部分习【说明：本节习题中设计的有关第二型曲面积分计算的题，原本意图主要是让大家熟悉曲面积分借助曲面方程的表示以及曲面向适当坐标平面的投影区域化为二重积分计算的公式（用式前做三件事：一、将曲面方程表示成二元函数；二、根据二元函数的形式确定曲面在适当坐面上的投影；三、搞清楚曲面的方向是否公式要求的正向。这种方法仅是第二型曲面积分基本方法，但并非最简单的方法，实际上，本节涉及的积分除第3大题外，其余大题涉及的积于都满足下一节高斯公式的条件，因此利用高斯公式化为三重积分计算更简单。因此1（1）Sy(xz)dydzxdzdxyxz)dxdySxyz0xyza （2）S(xy)dydzyz)dzdxzx)dxdyS是以原点为中心，边长为2（3）SxydydzyzdzdxzxdxdySxyz0xyz1SyzdzdxSxyz1 SxdydzydzdxzdxdyS是球面(xa)yb)zc)R 【做题之前，请回1、下一节中的高斯公式（注意高斯公式对曲面的要求和对函数的要求2、第二型曲面积分的两种常用的简化方法（一是利用曲面与坐标面的垂直关系简化的方法二是利用曲面的方程简化的方法0a0a0a【解法提示（1）S为边界的有界闭区域为y(xz)dydzx2dzdx(y2xz)dxdy(yx)dxdydzV其中三重积Vyx)dxdydzVydxdydzVxdxdydz?的计算比较简单，请大家。3大题外，都用本节习题1,11,11,1（2）S为边界的有界闭区域为(xy)dydz(yz)dzdx(zx1,11,11,1（2）S为边界的有界闭区域为(xy)dydz(yz)dzdx(zx(111)dxdydz3V24（3）S为边界的四面体区域为V（如下图示xydydzyzdzdxzxdxdyV(yzx)dxdydz。（4（补充有向曲面再用高斯公式）补xy平面上的圆S0xy1，方向取下侧 S外S0Vx2y2z21z0（上半球体yzdzdx (yz)dxdydzS外S0VVxryrzr1 2d00024又注意到S0xz平面（或S0:z0所以 yzdzdx0，从0yzdzdx yzdzdxyzdzdx4SS外S0S0（5）S为边界的球体为Vxa)2yb)2zc)2R2x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzVxax2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzVxar其中三重积分(xyz)dxdydz可用广义球坐标ybrsinsin（即以(abzcr的对应区域为020,0,R2为球心的球坐标变换，其中，事2(abc)r2 2、设某流体的流速为vk,y0x2y2z24【注：第二型曲面积分的物理意义之一：若向量函数P,Q,R表示流体的流PdydzQdzdx表示流体从曲面S的负侧出发流过曲面的流量本题直接由上述物理意义化为第二型曲面积分计算。记球面为Skdydzydzdx0dxdySkdydz下面直接用高斯公式不难计算上述积分S为边界的球体为Vx2y2z24，由高斯4kdydzydzdx0dxdySkdydzydzdxVdxdydzV32333ISf(x)dydzgy)dzdxh(z)dxdyS0xa,0yb,0z的表面并取外侧为正向，f(x),gyh(z)S最后三个积分的计算请大家自xr计算（想想为什么不直接用球坐标变换yrzr【不能用高斯公式，而采用第二型曲面积分的基本计算方法——计算之前，请回顾：1、第二型曲面积分的曲面可加2、第二型曲面积分的两种常用的简化方法（一是利用曲面与坐标面的垂直关系简化的方法【不能用高斯公式，而采用第二型曲面积分的基本计算方法——计算之前，请回顾：1、第二型曲面积分的曲面可加2、第二型曲面积分的两种常用的简化方法（一是利用曲面与坐标面的垂直关系简化的方法二是利用曲面的方程简化的方法3、第二型曲面积分借助曲面方程的表示以及曲面向适当坐标平面的投影区域化为二重积分S2zcDxy0a0,bS1下S2xz平面S1下S2yzxy平面S1后S2xzISf(x)dydzg(y)dzdxf(x)dydzS fS12Sh(z)dxdyS g(y)dzdxg(y)dzdxSS122f(x)dydzS f(x)dydzf(a)f(0)bcS12g(y)dzdxg(b)g(0)ach(z)dxdyh(ch(0)abg(y)dzdxS12h(z)dxdySS2不能提供函数满足连续可微的要求，而这是高斯公式对函数的基本If(af(0)bcg(bg(0)ach(ch(0)4、求磁场强度E(xyzx2y2z2，求从球内出x2If(af(0)bcg(bg(0)ach(ch(0)4、求磁场强度E(xyzx2y2z2，求从球内出x2y2z2a2z0【注：第二型曲面积分的物理意义之二：若向量函数P,Q,R表示磁场的强PdydzQdzdx表示磁场从曲面S的负侧出发穿过曲面的磁通量本题直接由上述物理意义化为第二型曲面积分计算。记上球面为S，方向为外侧，则所求磁量x2dydzy2dzdx下不难计算上述积分（xy平面上的圆片S0:xya，方向取下侧事实上，记封闭曲面 为边界的有界 0区域为Vx2y2z2a2z0（即上半球体，由高斯公式V关于yzx2dydzy2dzdxz2dxdy2(xy S外S0VV关于xz平面对 xryrzr a r3dr 200 0,20,0, 2S0xzS0yzS0z0S0yzS0xz x2dydz z2dxdy0x2dydzy2dzdxS0S0S0S0从x2dydzy2dzdxz2dxdy x2dydzy2dzdxS外S00x2dydzy2dzdxz2dxdya43节部分习1（1）SyzdydzzxdzdxxydxdySx2y2z21SxdydzydzdxzdxdyS是立方体0xyza ）SxdySxdydzydzdxzdxdyS是立方体0xyza ）SxdydzydzdxzdxdyS是锥面xyz与平面zh所围空间区 （0zh）的表面，方向（4）SxdydzydzdxzdxdyS x2y2z21的外（5）Sxdydzydzdxzdxdy，其中S是上半球面z axy的外侧 【做题之前，请回顾：1、高斯公式（注意：高斯公式对曲面的要求和对函数的要求2、用高斯公式计算曲面积分的方法（思考：对封闭曲面如何用？对非封闭曲面又如何用？；3、第二型曲面积分的两种常用的简化方法（一是利用曲面与坐标面的垂直关系简化的方法二是利用曲面的方程简化的方法【解法提示（1）S为边界的有界闭区域为Vx2y2z21yzdydzzxdzdxxydxdyV(000)dxdydz00a0a0a（2）S为边界的有界闭区域为x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzV。（3）记以S为边界的锥体为V x2y2zh。由高斯公式x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzV其中三重V(xyz)dxdydz的计算，可按下面的方法易得，事实上，注意计算xdxdydz0ydxdydz0yzxz(xyz)dxdydzV。4用关于zhh D(zdxdy zdz 340V(x,y,z)z0,h,(x,y)D(z):xy22（4）S为边界的有界闭区域为Vx2y2z21x3dydzy3dzdxz3dxdy3(x2y2z2)dxdydzV。V(xyz)dxdydz的计算，请大家用球坐标变换自 V(xyz)dxdydz的计算，请大封闭曲面（x2y2z2a2z0的表面）封闭曲面（x2y2z2a2z0的表面）2、应用高斯公式计算三重积分V(xyyzzx)dxdydz，其中Vx0y00z1x2y2所确定的空间区域（如图示【斯公式常用意图是用三重积分计算曲面积分，而本题是告诉大家利用高斯公反过来用第二型曲面积分计算三重积分，但这样的方法意义不大。实际上，本题中的三重积分直接用三重积分的基本计算法即化累次积分的方法很容易计算全没有必要用【解法提示：记VS，并取外侧为正向，考Sxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy(xyyzzx)dxdydzSxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy因此计算Sxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy即可求出三重积分。关于此第二型曲面积分的具(xyyz。此题意义和价值不大，可实际上此第二型曲面积分的计算比直接计知道有这种方大家不必关注本具体计算请大xyS0xya 3（1）Lyz)dxzx)d3（1）Lyz)dxzx)dyxy)dzLxyz1与三个坐标面的交线 它（2）LxydxdyzdzLyz1xy2 （3）Lyz)dxxz)dyyx)dzLA(a00),B(0a0),C(00a)为顶点ABCA的方向（a0。【做题之前，请回顾：1、斯托克斯公式，在掌握公式时，应注意（1） 可借助行列式，即LPdxQdyRdz；（3）第二型曲线积分的积分曲线且公式中涉及的函数在此曲面上连续可微2、斯托克斯公式提供了利用第二型曲面积分计算沿空间封闭曲线的第二型曲线积分的一种法3、第二型曲面积分化二重积分（1）S在实施此算法时，应注意选择以封闭曲线为边界且便于第二型曲面积分计算的积分曲面y2z2z2x2y2z2z2x2x2y2(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dzLS2S(yz)dydz(zx)dzdx(x下面用投影法计算Syz)dydzzx)dzdxxy)dxdySSSz1xyD0x10y1xz1z上S(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyD(x2y112xyxLyz)dxzx)dyxy)dz0 （2）xySxyyzDyzyz1 0dxdy0Sx2y31x2y3dxdyzdz3x2y2dxdyLSS注意到Sxy平面，所以Sxydxdy0，故 xydxdyzdz02 2L（3）如图示xyzaSzaxySyxy(yz)dx(xz)dy(yx)dz2yxy(yz)dx(xz)dy(yx)dz2LSSSSSzaxyD0xa0yax1上zdxdydxdy 1a2dydz x2Lyz)dxxz)dyyx)dz2Sdydza24（1）yzdxzxdyxydz（2）(x22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz【做题之间，请回顾：1、曲线积分与路径无关的条件（因为被积表达式存在原函数可通分与路径的条件来验证2、被积表达式的原函数的两种求法（一是：观察法；二是：利用第二型曲线积分的求法。议能观察的尽可能用观察，这样计算过程比较简单；实在观察不出来，再用求第二型曲线积分法【解法提示：本题只给出用观察法得出的结果（1）d(xyzyzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydzxyzxyzC（2）易见，d1x3y3z32xyzx22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz(x22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz的原函数1(x3y3z32xyz，从而所有原函31为(x3y3z32xyzC35xdxy2dyz3dzxdxydy(x2,y2,z2(x1y1z1和(x2y2z2xyza (x,y,zxy 11完成（注意求积分时，注意选择从起点到终点且平行于坐标轴的折线作为积分路用第二种方法来求原函数的过程，请大家自【做题之间，请回顾：1、曲线积分与路2、当曲线积分与路径无关时，曲线积分的计算有两种；。由于本题两个小题中的被积表达式的原函数都容易观察出来，因此，本题计算都是用牛顿—布尼茨公式【解法提示（1）Px,Qy2Rz3R3QR00x;x0yz;【做题之间，请回顾：1、曲线积分与路2、当曲线积分与路径无关时，曲线积分的计算有两种；。由于本题两个小题中的被积表达式的原函数都容易观察出来，因此，本题计算都是用牛顿—布尼茨公式【解法提示（1）Px,Qy2Rz3R3QR00x;x0yz;所以此积分与路径无关。xdxy2dyz3dz的原函数为u(xyz)1x21y31z4 xdxy2dyz3dzu(x,y,z)(2,3,4)?以。xyz（2）P,Q,Rx2y2x2y2x2y2R3\(0,0,QRx;z;，3(x2y2z2)3(x2y2z2)3(x2y2z2)xdxydyx2y2u(x,y,z) x2y2z2222xdxydy(x,y,zu(x,y,z)(x2,y2,z2x2y2x2y2z222x2y2z2 x2y2z2 a2 0 x2y2z211V的体积V6S1(xcosycosz3S“？”请大家自行填如能容易找到被积表达式的原函数，可用第二型曲线积分的牛顿—莱布尼茨公式选择从起点到终点的特殊便于计算的积分其中coscoscosS【做题之间，请回顾：1、高斯公式（注意高斯公式的条件；2、第一、二型曲面积分注：涉及曲面积分的等式的证明问题的思路非常简单，不管要证的等式多么复杂总是从要证的等式中涉及的曲面积分出发，分两种情况：若曲面积其中coscoscosS【做题之间，请回顾：1、高斯公式（注意高斯公式的条件；2、第一、二型曲面积分注：涉及曲面积分的等式的证明问题的思路非常简单，不管要证的等式多么复杂总是从要证的等式中涉及的曲面积分出发，分两种情况：若曲面积分是第二的，则直接用高斯公式；若曲面积分是第一型的，则先用第一、二型曲面积分的关系将第一型曲积分转化为第二型曲面积分，再用高斯公式。本题和下面的第7、8题都是此类题Sncos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)(xcosycoszcos)dSSxdydzydzdxzdxdy外(xcosycoszcos)dSV(111)dxdydz3V1即3S7SlScos(nl)dS0nS向【做题之间，请回顾：1、高斯公式（注意高斯公式的条件；2、第一、二型曲面积分3、两个向量夹角余弦的计算公Sncos(nxcos(nycos(nz)la,bcacos(n,bcos(n,ccos(n,z)nncos(n,l