精选-大连理工大学至第一学期计算方法期末考试试题A

大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试卷课程名称：计算方法课程名称：计算方法授课院（系）：应用数学系考试日期：2007年11月日 试卷共_ 6_页一二三四五六七八九十总分标准分4281515155////100得分、填空（每一空2分，共42分）.为了减少运算次数，应将表达式.X+16x^+8x-l改写为 .给定3个求积节点：与二°,耳=05和马二1，则用复化梯形公式计算积分Jo 求得的近似值为,用Simpson公式求得的近似值为。1.设函数K力4（T°J）,若当工《一1时，满足K力二°,则其可表示为4,已知加二Q加二&1口）=12,则插』=710X2]=,逼近f（力的Newton插值多项式为。5,用于求大工）二小一1一工二°的根工二°的具有平方收敛的Newton迭代公式为:。[00小101.已知1°° ,则，的Jordan标准型是;.设/是界阶正规矩阵，则Ml=；.求解一阶常微分方程初值问题叫）=（产T*kf,的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：.设”二211_00112为工的近似值，且上吸则m至少有位有效数字;10将工=值4『10将工=值4『0112,用二分法求方程/（力=2廿一现一】二°在区间[13]内的根，进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为.若加启%泗为Newton-Cotes求积公式，则=,若为Gauss型求积公式，则上』2].设有I2一寸，则在Schur分解4=1®即中，.可取为。dI〕.贮=.设10°人则dL也。二、（8分）已知近似值 ,2 ,侬二9一81均为有效数字，试估计算术运算 胃的相对误差界（15分）设线性方程组:

耳+3x； =43对+巧=42H+巧+4巧=7(1)列主元消元法求出上述方程组的解，并计算M1和况；(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。四、(15分)对于如下求解一阶常微分方程初值问题幽二加通幅)二%的数值方法一不，4-不，=人■?+8九1+1)2 』o①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；②要用此方法解V=-20h,M0)=l。为使方法绝对稳定，求出步长A的取值范围并以或。=1,吨二1初值/=0_。1为步长，求出血(0购的近似值与五、(15分)(1)用Schimidt正交化方法，构造【一1口上以N力三1权函数的正交多项式系：。⑨，地，烟,财(2)构造计算 '具有5次代数精度的数值求积公式;的数值解。(3)利用2)的结果求出工的数值解。六、证明题(5分)任选一题1.设43eC"均为可逆矩阵，且齐次线性方程组(/* 二。有非零解,证明：对于中的任何矩阵范数H,证明：对于中的任何矩阵范数H,都有AaB>1A-收敛。2.已知

收敛。大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A卷答案课程名称： 计算方法 授课院（系）： 应用数学系考试日期：2007年11月日 试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分4281515155////100得分一、填空（每一空2分，共42分）16f17f,18?.4-—13x7.为了减少运算次数，应将表达式.r+16?+8x-l奥氏-17卜）眸-1小-砸-1改写为 舶-0卜*16卜+纸-1 ；.给定3个求积节点：与二°,与二帖和马二】，则用复化梯形公式计算如加书+?）积分Jd 求得的近似值为，用Simpson公式求得的近似值为6。1.设函数K力£羽（T&1）,若当工＜T时，满足K力二°,则其可表示为可力=&&+理+谒+n/一44,已知加二Q加二&fQ）=12,则加川二6 ,710期=0 逼近f（力的Newton插值多项式为6及＜5,用于求大工）二/一1一工二°的根工二°的具有平方收敛的Newton迭代公式为:%二为:%二q-2xA.=「0A.=「0-]6.已知Jordan标准型是1°。町或1・。町;.设/是界阶正规矩阵，则⑷广山）；.求解一阶常微分方程初值问题叫）=（产TX",4）=。的向后（隐式）彳Euler法的显式化的格式为：『一1+麻-己1）.设"2ii_oMi2为工的近似值，且卜一，c（r,则m至少有5位有效数字;24]TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 54 3.将工=（工牙，化为『=（士0|的Householder矩阵为：一引;-仰oYf20、HUoj=bJ11• ?12,用二分法求方程/（力=比一乳一】二°在区间£3]内的根，进行一步后根所在区间为进行二步后根所在区间为H2）。求积公式，则13.1而展电4分）（■泌为Newt-求积公式，则Z4s=-J2,若为Gauss型求积公式，则上』，2] 1口.设夙2川，则在Schur分解.二以犷中，度可取为1°一1J或r-l0、也JJ也.设

（8分）已知近似值面二121,,二3£5,侬=9£1均为有效数字，试估计算术运算 力的相对误差界。解：由已知，%-小Lit尸二IxM忖-勺,1又娟 -^|<-xir22 2 ；1 2 ；1 12令危死出卜耳乜/（%勺收）二生曳♦%玉 %由函数运算的误差估计式fk刈巧）一/（4，当）Ai/）+£（，?,陶h啊，）=h一&善F）“-芳户7从而，相对误差可写成1/（用阳.电）1/（用阳.电）-44母;的J1/（%与,的）三、（15分）设线性方程组：5+g =4■药士巧 =42jq+巧+4x^=7（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出㈣匈（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的 Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）

故a(L1jF2

--004

18-302

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18-30A30TOC\o"1-5"\h\z3240=4八361=4加-9）=0拆⑼0T-昨.iu ，则4/J=oD9,故=9>1,从而Gauss-Seidel迭代法发散又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：（ X0 -30鸟=-300「「彳。1de侬一讣*易）=°3-3,故H易卜3>1,从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数「3104、N=1304矩阵为： （2147J是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。守=*-以）铲=；（4-好）孝同守=*-以）铲=；（4-好）孝同=；（7—潭一则4染'=*-省）铲=32x产-刊4四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题幽二加通『（3/的数值方法-彳^4-不,二40九2+8Aj1+£）2 』o①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；②要用此方法解一二-如，则）T。为使方法绝对稳定，求出步长1A的取值范围并以端=1,即T初值，入二0-01为步长，求出M0叫）的近似值修解:（1）解:（1）注意,肥■，从而-Q+吗=。；+24）-1（1*2；+24）-1（1*2、1）=一X o,148故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为:⑵令,,得4⑵令,,得4二1,为一一5,满足根条件；又方法阶P=3>],故此差分格式收敛。⑶又对于模型问题："二川（*<0）,取*二的⑷产响“一冲⑷产响“一冲产扑〃-+A2而要使得-+«21-A

8-+«21-A

8<2<1.4二1一士<2.3匚 8-3A1——11

1*2 幽W而iT嘉,自然成立。现在冉由18-3/8」荻得-4+tt<4+fflJ<4-4*<=>-l+k<l+2*<l-S由-1+A<1+2A,可推出-2<%{0,即*w(-2<)。#五、(15分)(1)用Schimidt正交化方法，构造卜”!上以火力三】权函数的正交多项式系：a(立a①，粼力，。国;⑵构造计算L人力*具有5次代数精度的数值求积公式;(3)利用2)的结果(3)利用2)的结果求出以Kde的数值解。解：由2。+1=5=1!=2,即应构造具有3个Gauss点的求积公式。首先构造3次正交多项式，令2I 30d23d2I 30d23d2523

2502325<1527「881«-25r27-151<15x27;25-4545x25_32^3J2=B5 225r；令网（二）二0即得,卷A4白/一白)1352M二卷A4白/一白)1352M二0F,得取八)二1,工？，令0*4卧"。）+“£即得到方程组:2=4+4+423/3」—=即得到方程组:2=4+4+423/3」—=-4+—435,5勺解之,得4=4=；,从而具有5次代数精度Gauss求积公式0（尬”#卧涧+:稳⑵内田则有“w比、秋）明.102.^550⑵内田则有“w比、秋）明.102.^55010-2历.’10,2布91 _1$J10+2岳一• ^^1（50+1045）+128x,ii2+shi1岂屈卜-10时36六、证明题（5分）任选一题i.设4£eC1Ml均为可逆矩阵，且齐次线性方程组M+JJ）x=o有非零解,证明：对于