电子教案-新概念物理02粒子

第四节

能量守恒定律

§3.4

能量守恒定律一、动能定理已知力是位矢函数F(r),试求质点从A点(r=rA)经过路径L到B点(r=rB)的速率v(rB)牛顿第二定律：F(r)=mdv/dt

F(r)dr=(mdv/dt)dr=mdvdr/dt=mvdv

=m(vxdvx+vydvy+vzdvz)=mvdv经过路径L:AB

LF(r)dr=

VaVbmvdv=mvB2/2-mvA2/2

LF(r)dr=mvB2/2-mvA2/21、功：dA=F(r)dr=Fdscos=FtdsA=

LF(r)dr=

LFtds=L

Fxdx+

L

Fydy+L

Fzdz

功率：P=dA/dt=F(r)dr/dt=F(r)v2、动能：Ek=mv

2/2=P2/2m(与参考系有关)在SI制中功单位焦耳(J)，功率单位瓦特(W)

动能和功的单位是一样的，但意义不同。功Work

反映力的空间积累，其大小取决于过程，是个过程量；动能KineticEnergy

表示物体的运动状态，是个状态量。

3、动能定理质点：A=EkB-EkA质点系：A外力+A内力=Ek-Eko

其中Eko

和Ek分别表示质点系的初态和末态总动能例3-6一对作用与反作用力所作的功设质点质量位矢位移作用力

1m1r1dr1

F122m2r2dr2F21其中F12为质点2对1的作用力

F21为质点1对2的作用力

F12和F21是一对作用和反作用力，由牛顿第三定律可知：F12=-F21

这对作用和反作用力所作的功为：

dA=F12

dr1+

F21

dr2

=F12(dr1-dr2)=F12

dr12dA=F12

dr12上式表明：一对作用和反作用力所作的功只与F12

和相对位移dr12

有关，而这两者都是不随参考系而变化的，由此得出结论：

任何一对作用力所作的功与参考系选择无关，而一般单个力所作的功与参考系有关。例3-7一弹簧放在水平位置上，如图所示，把质量为m的质点向右移动一距离L，然后释放。当质点离平衡位置的距离为x时，试求它的动能。解：当弹簧伸长一距离x时，弹簧对质点的作用力：F=-kx(k为倔强系数)

当质点被释放时，x=L，F=-kL，v0=0，因而初动能为零。Fm0Xkx

令v表示在中间位置x上的速率，把质点从L移至x时对质点所作的功为

A=LxFdx=Lx-kxdx=k(L2-x2)/2根据动能定理可得：

mv2/2-0=k(L2-x2)/2因此上式表明，只要x的绝对值相同，速率便具有相同的值；也就是说，质点的运动对称于O点。在x处的速度vx=±v，说明该处的质点可向左或向右运动。同时表明质点的运动将限于在x=-L和x=+L的范围内。二、势能PotentialEnergy1、保守力ConservativeForce

与势能如果一个力仅取决于质点的位矢r，并且力所作的功A

可用Ep(r)这个量在始点处和终点的量值之差来表示，而与所经历的路径无关，则该力称为保守力，量Ep(r)称为势能，它是质点位置的函数。因此

A=AB

F(r)dr=-(EpB-EpA)此式表示保守力作功等于势能增量的负值。势能通常被定义为含有任意常数，我们可将势能的零点定在任何方便的位置处。

如果路径是闭合，亦即A和B是同一点，则EPA=EPB

，于是净功等于零，即

A闭合

=∮F·dr

=0积分∮符号上的圆圈表示路径是闭合的。因此，对于保守力沿任一闭合路径的功为零。反之可以证明∮F·dr=0的条件也可作为保守力的又一定义。设

EpA=0根据A=ABF(r)dr=-(EpB-EpA)

得EpB=-ABF(r)dr

EpB

=BAF(r)dr积分关系

2、力与势能关系

S方向上的分量：FS=-dEp/ds其中dEp/ds叫做Ep的方向导数。

证明：在S方向上作位移ds，保守力作功：

FSds

=-[(Ep+dEp)-Ep]=-dEp

故FS=-dEp/dsdsEP+dEPEFSIII

当一矢量在任一方向上的分量等于一个函数在该方向上的方向导数时，这个矢量就叫做这个函数的梯度Gradient。因此，我们说F是Ep的梯度的负值，写成一般形式：

F=-gradEp

=-

Ep

微分关系式中“grad”代表梯度。直角坐标分量:FxxeEPe=FyyeEPe=Fzzee=EP例3-8恒力所作的功与势能解：设质点m在一大小和方向都恒定的力F作用下运动，当质点沿路径从A运动到B时，恒力F

所作的功为：

A=ABF(r)dr

=

FAB

dr

=

F(rB-rA)=F

rB-FrA

结论:恒力F

所作的功与路径无关。

举例:重力为一恒力，F=mg=-mgj

(j为竖直向上的单位方向矢量)，则重力作功：

A=F

rB-FrA

=-mgj(rB-rA)=-mg(hB-hA)=mghA-mghB

显然，重力作功与质点的路径无关，只取决于路径二端点的高度差hB-hA，因此重力是保守力。重力势能：Ep=mgh例3-9有心力作功与势能解：设有心力的力心为参考系原点O，一般有心力可表示为F(r)=F(r)ro

其中ro

为r

的单位矢量。有心力作功为：

A=ABF(r)dr

=ABF(r)rodr=rA

rBF(r)dr（路径无关）所以有心力为保守力，并且相应的势能仅取决于质点至力心的距离，即

Ep=Ep(r)=-

F(r)drEp=-

F(r)dr例如：(1)F(r)=k/r2Ep=-

F(r)dr=k/r2dr=k/r+C对于与r成反比的势能，在决定C时，习惯上取r=∞处的Ep∞=0，所以C=0，因而有：

Ep=k/r

此式在研究万有引力和库仑力时十分有用。（2）一维有心力F=-kx

（弹性力）

Ep=-Fdx=kxdx=kx2/2+C习惯上令x=0时，Epo=0，所以C=0，因而

Ep=kx2/2这个式子在讨论振动时是很有用的。三、能量守恒定律1、功能原理假定内力是保守的，则存在内势能Epi

内势能

——每对质点势能、与参考系无关当时刻t0t，内力作功Ai和Epi存在关系

Ai=Epi,0-EpiAe+Ai=Ek-Ek0(质点系动能定理

)Ae+Epi,0-Epi=Ek-Ek0

Ae=(Ek+Epi)-(Ek0+Epi,0)

即功能原理：

Ae=U-U0Ek=imivi2/2Epi=ijij

Epij系统原能：U=Ek+Epi

2、能量守恒定律考虑孤立系统或外力作功为零(Ae=0)于是U=Ek+Epi=恒量即：一个孤立质点系的动能和内势能之和(即原能)恒保持不变。这个重要结论称为能量守恒定律。

到目前为止，这个定律是作为动量守恒和内力为保守力这个假设的结果而出现的。然而，我们在宇宙中所观察到的所有过程中，这个定律都是成立的，因此可认为它已超出了我们在叙述它对所曾采用过的特殊假设而是普遍成立的定律。自然界普遍成立的三大守恒定律

1、动量守恒定律

2、角动量守恒定律

3、能量守恒定律上面三个守恒定律似乎是统治所有自然界中可能发生的一切过程的基本规则，无疑它们是物理学中三个最重要的定律。

若作用在质点系上的外力也是保守力Ae=Epe,o-Epe式中Epe和Epe,o分别为时间t和to时与外力相关的势能。因此：

Epe,o-Epe=U-Uo

U+Epe=(U+Epe)。质点系总能量：E=U+Epe=Ek+Epi+Epe结论：当质点系在保守内力和保守外力作用下运动时，其总能量保持为恒量。

例如：两个质点m1和m2，它们被一弹性系数为k的弹簧联结在一起，如果该系统被抛在空中（无其他外力作用），

动能：Ek=m1v12/2+m2v22/2内势能：Epi=kx2/2（x是一弹簧的形变）外势能：Epe=m1gh1+m2gh2h1、h2分别是m1和m2在地球表面上的高度系统原能：U=m1v12/2+m2v22/2+kx2/2

总能量：E=m1v12/2+m2v22/2+kx2/2+m1gh1+m2gh2

在运动过程中：总能量必须保持为常量。

3、内动能、内能(1)内动能Eki

：相对于C-参考系的动能(2)内能Ui

：内动能和内势能之和。即Ui=Eki+Epi=(Ek+Ep)i4、任意参考系的动能和内动能之间的关系可证明：Ek=Eki+MvC2/2系统平动动能或轨道动能：EkC=MvC2/2

表示质量为M=∑imi的质点以该系质心的速度运动时的动能。结论：系统的运动可以分成两部分，其中之一是以质心速度运动的平移运动，另一是相对于质心的内运动。

让我们再来考虑一下（1）投掷手抛出一个旋转球的情形球对地面的总动能是相对于质心的内动能(它对应于旋转动能)与相对于地面的平动动能(它对应于轨道动能)这二者之和。（2）单个分子运动一般说来，我们感兴趣的是内运动，由于这个原因，在许多过程的描述中，我们采用C-参考系。

5、能量的形式(1)机械能：宏观上机械运动相联系的动能和势能(2)热能：与分子运动相联系的动能(3)化学能：与电子所引起的，原子和分子的重新分布相联系的能量(4)电能：与带电粒子的运动所引起的能量总之，能量是物理学一个极为普遍，极为重要的物理量，它具有机械能，热能、电磁能、化学能、生物能、核能等多种形式，各种形式的能量可以相互转换。能量这一概念的重大价值，在于它转换时的守恒性。

物理学史上不止一次地发生过这样的情况。在某类新现象里似乎有一部分能量消失了或凭空产生出来，后来物理学家们总能够确认出一种新的能量形式，使能量的守恒律得以保持。虽然我们不能给能量下个普遍的定义，但这决不意味着它是一个可以随意延拓的含糊概念。关键的问题是科学家们确定了能量转换的各种当量，从而使得能量守恒定律可以用实验的方法加以定量地验证或否定。此外，每确认出一种新形式的能量之后，在其基础上建立起来的理论，又能定量地预言一大批新效应，后者经受住了新实验的检验。四、机械能守恒定律

机械运动：宏观物体在宏观上的运动从宏观上看:内力中可能有非保守内力例如：摩擦力是非保守内力因为:(1)滑动摩擦永远与相对位移的方向相反，它所作的功取决于运行的路径，而且即使路径闭合，功也不为零。

(2)流体的摩擦与相对速度的方向相反，它取决于速度而不是位置。

但我们绝不能认为，由于象摩擦这类非保守力的存在，就必须意味着在基本粒子间也可能有非保守性相互作用的存在。

我们说摩擦力并不是相当于两个质点之间的某种相互作用，它实际上是一种统计的概念.举例来说:

滑动摩擦是两个相互接触的物体大量分子间的许多个别相互作用的结果。每一个个别的相互作用都可以用一个保守力来表示，但宏观效应却是非保守性的。其原因是虽然当一物体完成了某一闭合轨道时，从宏观上看，它回到了原来的位置，但是就大量的个别分子而言，它们并没有恢复到各自原来的状态。所以从微观上来看，最终状态和初始状态并不一样，甚至在统计意义上也不是等效的。

宏观上：内力=保守内力+非保守内力

保守内力作功：Aic=Epio-Epi非保守内力作功：Aid

保守外力作功：Aec=Epeo-Epe非保守外力作功：Aed

质点系动能定理：Ae+Ai=Ek-Ek0

Aed+Aec+Aid+Aic=Ek-Eko

Aed+Epeo-Epe+Aid+Epio-Epi=Ek-Eko

Aed+Aid=(Ek+Epi+Epe)-(Eko+Epio+Epeo)=(Ek+Ep)-(Eko+Epo)=EM-EMo

1、机械运动的功能原理：

Aed+Aid=EM-EMo宏观上，总势能：Ep=Epi+Epe

总动能：Ek

总机械能：EM=Ek+Ep物理意义：

非保守力（非保守外力和非保守内力）所作的总功等于系统总机械能的增量。2、机械能守恒定律：

如果非保守力作功为零(Aed+Aid=0)，则系统的总机械能(Ek+Ep)保持不变。五、一维势能的讨论OXEPABDCFGHIK例3-10处于保守力场中的某一质点被限制在x轴上运动，它的势能Ep(x)是x的函数，它的总机械能E是一常数，设t=0时，质点位置为x0。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向x轴正方向，试求质点位置x与时间t的关系。解：在t时刻，质点位置为x，速度为v。机械能守恒定律：

E=mv2/2+Ep(x)=m(dx/dt)2/2+Ep(x)例3-11一链条总长为L，质量为m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为a。设链条与桌面之间的摩擦系数为μ，令链条由静止开始运动，则(1)链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条离开桌面时的速率是多少？解：设链条线密度为ρ=m/L1、建立坐标OX轴，链条下垂一端的长度为x，则

摩擦力：f=μρg（L-x）OL-xxX

f=μmg（L-x）/L摩擦力作功：Af=-∫aLfdx=-∫aL

μmg（L-x）/Ldx=-μmg（L-a）2/2L2、重力作功：AG=∫aLmgx/Ldx=mg（L2-a2）/2L动能定理：Af+AG=mv2/2-mvo2/2因为vo=0OL-xxX六、守恒律与对称性对称性：是指物理规律在某种变换下的不变性。现代物理学已经确认物理规律每一种对称性，就相应存在一个对应的守恒定律。1、时间均匀性与能量守恒定律从微观的角度看、宇宙中所有相互作用都是保守力，都可用相互作用势能来表达。时间均匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关，亦即，对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总能量自然是守恒的。

2、空间均匀性与动量守恒定律

考虑一对粒子A和B，相互作用势能为EP，现将A沿任意方向移到A’，位移为△r，势能