数学-课程导学第七章第二节

第二节

空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．要点梳理·基础落实考纲点击柱、锥、台和球的侧面积和体积知识扫描Shπr2hπrlπ(r1＋r2)lChSh4πR2

[辨析]如何求不规则几何体的体积？提示可以将不规则几何体“分割”成若干个规则的几何体求体积，即所谓的“分割法”求不规则几何体的体积，也可以给不规则几何体“补上”一个规则的几何体使“补”后的几何体变成规则几何体求解．1．(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是A．4π

B．3π

C．2π

D．π解析由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π.答案C小题热身3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr，解得r＝1，即直径为2.答案24．已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积V＝________．5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．(1)(2015·三明模拟)已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为________．考点突破·规律总结考点一几何体的表面积例1【答案】

162π(2)(2014·浙江)几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是A．90cm2

B．129cm2

C．132cm2

D．138cm2【答案】

D[规律方法]

几何体表面积的求法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．1．(2014·常德期末)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A．60

B．54

C．48

D．24◎变式训练答案A考点二几何体的体积例2【答案】

C【解析】

如图，该长方体的底面边长为2，高为3，点B、C、D分别为对应棱的中点，沿着平行四边形ABCD切割该长方体，显然被切割的部分占上面正方体的一半，所以剩余的部分体积为8.【答案】D[规律方法]

求几何体体积的类型及思路(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．2．(2014·菏泽模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为◎变式训练答案C考点三多面体与球的切、接问题例3【解析】

如图：∵球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴AB为球的直径．△ABC在球大圆上，∴AC⊥BC.设球半径为R，则PO＝OA＝OB＝OC＝R.又∵AB＝2AC，【答案】

D(2)(2014·长春模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．[规律方法]

解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．3．(2014·黄冈模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为◎变式训练答案D创新设计·素能培优[解题模型构建]

8.利用等体积法求空间

几何体的体积(2014·福建)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．典例【审题】

①信息搜集：底面为直角三角形的三棱锥，有一条侧棱垂直于底面三角形，要求证明线面垂直并求三棱锥A－MBC的体积．②信息处理：要证线面垂直，需证线线垂直，所给条件中已经存在一个线线垂直，另外一个可通过线面垂直得到，第(2)要求三棱锥A－MBC的体积，直接求底面MBC上的高比较困难，可以利用第(1)问的结论求出底面ABM上的高，即可转换顶点求体积．解析(1)证明∵PC⊥BC，PC⊥AB，又AB∩BC＝B，∴PC⊥平面