数形结合思想

第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：1实数与数轴上的点的对应关系；2函数与图象的对应关系；3以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；4所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式－22＋－12＝4，表示坐标平面内以2,1为圆心，以2为半径的圆．1．最新·重庆已知圆C1：－22＋－32＝1，圆C2：－32＋－42＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，m∈R恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则123的取值范围是________．审题破题本题以新定义为背景，要先写出f的解析式，然后将方程f＝m根的个数转化为函数＝f的图象和直线＝m的交点个数．答案eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1－\r3,16，0解析由定义可知，f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12－1，≤0，,－－1，>0作出函数f的图象，如图所示．由图可知，当00，且2＋3＝2×eq\f1,2＝1，∴230，∴当a0时，由f′>0，解得eq\ra，由f′0时，f的单调增区间为－∞，－eq\ra，eq\ra，＋∞；单调减区间为－eq\ra，eq\ra．[4分]2∵f在＝－1处取得极值，∴f′－1＝3×－12－3a＝0，∴a＝1[6分]∴f＝3－3－1，f′＝32－3，由f′＝0，解得1＝－1，2＝1由1中f的单调性可知，f在＝－1处取得极大值f－1＝1，在＝1处取得极小值f1＝－3因为直线＝m与函数＝f的图象有三个不同的交点，结合如图所示f的图象可知：m的取值范围是－3,1．[12分]评分细则1求出f′给1分，不写出单调区间扣1分；2只画图象没有说明极值扣2分；3没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒1解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；2解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围．1．设函数f定义在实数集上，f2－＝f，且当≥1时，f＝n，则有A．feq\f1,3|eq\f1,3－1|>|eq\f1,2－1|，∴feq\f1,20若f－4＝f0，f－2＝－2，则函数＝g＝f－的零点个数为A．1B．2C．3D．4答案C解析由f－4＝f0得16－4b＋c＝c由f－2＝－2，得4－2b＋c＝－2联立两方程解得：b＝4，c＝2于是，f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12＋4＋2，≤0，,2，>0在同一直角坐标系内，作出函数＝f与函数＝的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3．若方程＋＝eq\r1－2有且只有一个解，则的取值范围是A．[－1,1B．＝±eq\r2C．[－1,1]D．＝eq\r2或∈[－1,1答案D解析令＝＋，令＝eq\r1－2，则2＋2＝1≥0．作出图象如图：而＝＋中，是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔＝eq\r2或－1≤eq\f1,24>0，可得0eq\f\r2,2eq\f1,2综上可得a的取值范围是eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f\r2,2，16．已知in＝|in＝eq\r5－1专题限时规范训练一、选择题1．已知f是定义在－3,3上的奇函数，当010，若a、b、c互不相等，且fa＝fb＝fc，则abc的取值范围是A．1,10B．5,6C．10,12D．20,24答案C解析a，b，c互不相等，不妨设a4时，f＝10－，f的最大值在＝4时取得，为64．函数f＝eq\f1,2－in在区间[0,2π]上的零点个数为A．1B．2C．3D．4答案B解析函数f＝eq\f1,2－in在区间[0,2π]上的零点个数即为方程eq\f1,2－in＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数＝eq\f1,2与＝in交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为25．已知双曲线eq\f2,a2－eq\f2,b2＝1a>0，b>0的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A．1,2]B．1,2C．[2，＋∞D．2，＋∞答案C解析∵渐近线＝eq\fb,a与过焦点F的直线平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线与双曲线的右支有一个交点，∴eq\fb,a≥eq\r3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥26．设a＝ineq\f5π,7，b＝coeq\f2π,7，c＝taneq\f2π,7，则A．a1D．00，,≤2，则eq\f,的最小值是________．答案2解析可行域如图所示．又eq\f,的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率由图知，过点A的直线OA的斜率最小．联立eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－＋1＝0，,＝2，得A1,2，∴OA＝eq\f2－0,1－0＝2∴eq\f,的最小值为210．设A＝{，|2＋－12＝1}，B＝{，|＋＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是__________．答案m≥eq\r2－1解析集合A是一个圆2＋－12＝1上的点的集合，集合B是一个不等式＋＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含如图，即直线＋＋m＝0应与圆相切或相离在圆的下方，而当直线与圆相切时有eq\f|m＋1|,\r2＝1，又m>0，∴m＝eq\r2－1，故m的取值范围是m≥eq\r2－111．若函数f＝a－－aa＞0且a≠1有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案a＞1解析设函数＝aa＞0且a≠1和函数＝＋＝a－－aa＞0且a≠1有两个零点，就是函数＝aa＞0且a≠1的图象与函数＝＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数＝aa＞1的图象过点0,1，而直线＝＋a的图象与轴的交点一定在点0,1的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞112．已知函数f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1e，≥0,－2，0，又f[f]＝依据＝f[f]的大致图象如图知，存在实数，使得方程f[f]＋＝0恰有1个实根；存在实数，使得方程f[f]＋＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②三、解答题13．已知函数f＝3＋a2＋b1若函数＝f在＝2处有极值－6，求＝f的单调递减区间；2若＝f的导数f′对∈[－1,1]都有f′≤2，求eq\fb,a－1的范围．解1f′＝32＋2a＋b，依题意有eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f′2＝0，,f2＝－6即eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co112＋4a＋b＝0，,8＋4a＋2b＝－6，解得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1a＝－\f5,2，,b＝－2∴f′＝32－5－′＜0，得－eq\f1,3＜＜2∴＝f的单调递减区间是eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f1,3，22由eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f′－1＝3－2a＋b≤2，,f′1＝3＋2a＋b≤2，得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12a－b－1≥0，,2a＋b＋1≤0不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12a－b－1＝0，,2a＋b＋1＝0，得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1a＝0，,b＝－1∴Q点的坐标为0，－1．设＝eq\fb,a－1，则表示平面区域内的点a，b与点P1,0连线的斜率．∵PQ＝1，由图可知≥1或＜－2，即eq\fb,a－1∈－∞，－2∪[1，＋∞．14．设关于θ的方程eq\r3coθ＋inθ＋a＝0在区间0,2π内有相异的两个实根α、β1求实数a的取值范围；2求α＋β的值．解方法一1设＝coθ，＝inθ，则由题设知，直线：eq\r3＋＋a＝0与圆2＋2＝1有两个不同的交点Acoα，inα和Bcoβ，inβ．所以原点O到直线的距离小于半径1，即d＝eq\f\b\c\|\rc\|\a\v4\a\co10＋0＋a,\r\r32＋12＝eq\f|a|,2＜1，∴－2＜a＜2又∵α、β∈0,2π，且α≠β∴直线不过点1,0，即eq\r3＋a≠0∴a≠－eq\r3，即a∈－2，－eq\r3∪－eq\r3，2．2如图，不妨设∠OA＝α，∠OB＝－β，作OH⊥AB，垂足为H，则∠BOH＝eq\fα－β,2∵OH⊥AB，∴AB·OH＝－1∴taneq\fα＋β,2＝eq\f\r3,3又∵eq\fα＋β,2∈0,2π，∴α＋β＝eq\fπ,3或α＋β＝eq\f7π,3方法二1原方程可化为inθ＋eq\fπ,3＝－eq\fa,2，作出函数＝in＋eq\fπ,3∈0,2π的图象．由图知，方程在0,2π内有相异实根α，β的充要条件是eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－1＜－\fa,2＜1,－\fa,2≠\f\r3,2，即－2＜a＜－eq\r3或－eq\r3＜a＜22由图知：当－eq\r3＜a＜2，即－eq\fa,2∈eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－1，\f\r3,2时，直线＝－eq\fa,2与三角函数＝in＋eq\fπ,3的图象交于C