线性离散卡尔曼滤波器

线性离散卡尔曼滤波公式两种数学推导方法的比较引言卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。从研究的历史来看，卡尔曼是首先研究的离散形式的卡尔曼滤波问题，所以最初的卡尔曼滤波算法被称为基本卡尔曼滤波算法，适用于解决随机线性离散系统的状态或参数估计问题。下面分别对比了离散线性卡尔曼滤波器的相关公式推导的两种方法。离散线性卡尔曼滤波器的直观数学推导下面从直观角度来推导线性离散系统的卡尔曼滤波器，这是书中的推导方法。首先假设线性离散系统模型如下其中，为过程噪声，为观测噪声，为第k次的测量值，是的最优线性估计，是的一步预报估计。过程噪声和观测噪声的统计特性为：初始状态的统计特性为：并假定与和均无关，则有：据以上假设及条件，可得如下直观形式式中，，为待定的增益矩阵。下面按照目标函数最小的要求，确定最优滤波增益矩阵。由述定义可得从而由于是的线性函数，且测量误差是不相关的，所以根据向量知识有于是，滤波误差协方差矩阵为式中，。对上式同时加减一项：变形如下：要使最小，则要使得上式中最后一项为0，即：此时，误差协方差矩阵为下面计算预测误差协方差矩阵。为此，先计算预测误差因此有由于于是有至此，线性离散系统的卡尔曼滤波器的公式推导完毕。离散线性卡尔曼滤波器的正交投影法数学推导与之前讨论的不同，此处讨论的离散线性系统中，考虑到和可能是相关的，所以假设系统的形式为：（1）（2）（1）式为状态方程，（2）式为观测方程,式中为维状态向量；为维控制向量；为维动态噪声；为阶状态转移矩阵；B为阶矩阵;为阶矩阵；z为维观测向量；为维观测噪声；H为矩阵。D为阶矩阵。卡尔曼滤波器通过观测方程的关测量的可测参数估计状态方程中状态量的状态值。将(2)式中视为量测的系统误差项，与为零均值白噪声序列,由于状态方程中以及的存在，可知在同一时刻和之间可能是相关的，这是与上面的直观推导过程中所假设的不同的。由此，可知，模型的基本统计规律为：（3）这里是克罗内科函数,即:初始状态的统计特性为（4）此时和不相关。下面利用正交投影法推导线性离散系统的卡尔曼滤波公式：首先将动态方程变形，使得动态噪声和量测噪声不相关。（5）令：（6）（7）（8）将视为新控制项，则（9）取（10）则动态噪声与量测声不相关。然后求取最优线性测量的估计值设基于钱k-1次测量的测量向量集合，记y是x在z上的投影为则（11）（12）将（9）（11）（7）代入到（12）里得（13）接下来就是求最优线性测量值（14）之后找到与的新息成分，由上式可以得到（15）（16）（17）求取的递推公式（18）其中（19）之后求取误差方差的递推公式：（20）（21）分别对上述两个等式的两边求方差阵，由（7）（8）（10）式可得（22）由（16）（17）（19）得到综上，可知预测方程为滤波方程为增益矩阵方差阵于是，线性离散系统的卡尔曼滤波器的公式推导完毕。小结从以上的推导中我们可以看出不管是直观推导还是投影法推导最后都可以正确得到离散线性系统的卡尔曼滤波公式，但是直观推导在数学上不够严密，但是容易理解；而投影法虽然在数学