超几何分布与二项分布辨析

超几何分布与二项分布辨析对于离散型随机变量的这两种分布列，学生经常分不清楚，特别是对于同一个具体问题错误的使用另一种分布列模型时所求的期望又是正确的，这更加使学生感到困惑。下面从两个方面来区分这两种分布列。一、基本概念1．独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下，重复做的〃次试验称为n次独立重复试验.各次试验的结果不受其它试验的影响．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率都为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cnpk(1-p)n，k=0,1,2,…，n.则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X〜B(n,p)，并称p为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件｛X=k｝发生的概率CkCn-k为P(X=k)= mnm，k=0,1,2,…，m，(其中m是M，n 中的最小值，nWN, MWN, n、M、N^N*).CnN则称分布列X01•••mPC0Cn-0M ATMC1Cn-1A# ATM•••CmCn-mM ATMCnNCnNCnN为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布记作X〜H(N、M、n).3.二项分布、超几何分布的均值、方差若X〜B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).若X〜H(N、M、n),则E(X)=nM.二、两种分布列的区别(一)从抽样方法来区分例1、盒子中有大小相同的4个红球和6个黑球.从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球次数X的分布列。解：由已知X~N(3,0.4)，P(X=k)=Ck-0.4k-(1-0.4,(k=0,1,2,3)所以，X的分布列为：3X0123p271255412536125E（X）=3x0.4=1.2（2）从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个球），求取到红球个数Y的分布列。解：由已知Y服从超几何分布，P（Y二k）=C4°CT,（k二0,1,2,3）C310所以，Y的分布列为:Y0123P1130E（X）=0x1+1x1+2x—+3x丄二1.2|或E（X）=3x±6 2 10 30 （ 10丿问题（1）抽取1个球后放回，每次抽到红球概率不变——独立重复试验，因此，X=1表示有1次抽到红球，有可能是在第1、2、3次抽到，所以P（X=1）=0.4x0.6x0.6+0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4二C1x0.4x0.623问题（2）抽取1个球后不放回，每次抽到红球概率改变——非独立重复试验，从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个球），因此Y=1表示抽到1个红球，若逐个抽取，有可能是在第1、2、3次抽到，所以P（Y=1）=—x6x5+6x4x5+6x5x4（逐个抽取）109810981098C1C24x6x5x31=—士= =—（同时抽取）C3 10x9x8 210从以上对比可见，超几何分布与二项分布从抽样方法上来说，就是不放回抽样和放回抽样的区别。但具体到实际问题，学生还是搞不清，这时还需要从另一个角度来区分。（二）从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分例2、某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1） 从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X,求X分布列和期望；（2） 用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y,求Y分布列和期望；（3） 用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z,求Z分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2,都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。第（3）问是从所生产的全部产品中抽取，而全部产品有多少件题目条件没给出，这时总体N不明确（若总体N明确，就属于第（2）问情况），其中所含次品件数M自然也是不明确的。因此，类似的，在“用频率估计概率”这一条件，该随机变量的分布为二项分布。解：（1）x的可能取值为0，1,2,根据题意X〜H（10、2、3），所以x分布列为：P（X=k）=C°C",（k二0丄2）C210E（X）=3x—=0.610（2） Y的可能取值为0，1，2，3,根据题意Y〜B（3,0.2），所以Y分布列为：P（Y=k）=Ck•0.2k•（1-0.2>-k,（k=0,1,2,3）3E（Y）=3x0.2=0.6（3）Z的可能取值为0，1，2，3,根据题意Z〜B（3,0.2），所以Z分布列为：P（Z=k）=Ck•0.2k•G-0.2>-k,（k=0,1,2,3）3E（Z）=3x0.2=0.6以上分析用一个表归纳如下抽取总体个数N总体中所含次品M个数随机变量分布类型明确明确超几何分布明确不明确二项分布不明确不明确二项分布MM从例2可以看到，当p保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与肓相差越小，因此,NN当N很大时，超几何分布可以近似看成二项分布。三、专题强化训练：1．在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量・4镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户•按照分层抽样，从A,B,C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，［5,15），［15,25），［25,35），［35,45），［45,55］，绘制成如下频率分布直方图・HIE0.02SQ.Q2QB.01E——Q.P1Q-—0.005-“ 5 1526J5琦乔走谕掘侵/户(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X,求X的分布列及数学期望.1.【详解】(1)因为A,B,C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，贝屹镇应选取80X如=16(人)，200所以这40人中有16人来自C镇因为X=10X0.15+20X0.25+30X0.3+40X0.2+50X0.1=28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35显然X可取0，1，2，3,且X〜B(3,3)，贝95P(X=0)=(2)3=丄， P(X=1)=C1(3)1(2)2=弧，TOC\o"1-5"\h\z5 125 35 5 125P(X=2)=C2(3)2(2)1=牡，P(X=3)=(3)3=亚35 5 125 5 125所以X的分布列为X0123P8365427125125125125TOC\o"1-5"\h\z所以数学期望E(X)=0x』+1x弧+2X虫+3X亚=9125 125 125 125 5

2．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标%和y,制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户•若0<%<0.6,贝Q认定该户为“绝对贫困户”，若0.65%<0.8,贝g认定该户为“相对贫困户”，若0.8<%<1,贝»认定该户为“低收入户”；若yh100,贝9认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.户”，若0.8<%<1,贝»认定该户为“低收入户”；若yh100,贝9认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；#-+*;#*一十十■+一 「—:卜++十++***T*+*-+■+4匸-+*4*-十4-+*■-十+**一十+才上11i111J-+常+十1)=的=Cfo皿120=2)=clc1)=的=Cfo皿120=2)=clc6=120Cfo10p(e=3)=（3=亠Cfo120130（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用f表示所选3户中乙村的户数，求f的分布 列和数学期望E®；（3） 试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）・2.解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脫贫的绝对贫困户”的概率为P=且=0.150（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，f的可能值为0,1,2,3•从而=0)=A3=-20=1,(Pf=C3q 120 6所以f的分布列为:£012p丄丄S12故f的数学期望E（f）=0X1+1X1+2X^+3X丄=空=1.2.62103010（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差.

3．某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成,该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见,如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.农村不忻成(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2农村不忻成(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为“是否赞成高考改革方案与城乡户口有关”?風弗居忌風弗居忌嵌神居民合计注：K注：K2二(ad-be匕(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)PtK1>际｝710C.050.005艮口益70&乱8417.^9(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分布列及数学期望E(X).

3.解析：(1)完成2x2列联表，如下:麻赞成城儀居民帥农村居民10■7--7-合计75代入公式，得K2观测值:K2(ad-K2(ad-be)2(a+b丿(c+d丿(a+c丿(b+d丿100x(300-675卫45x55x75x25沁3.03<3.841.□我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”(2)用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，X的可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=(0.4》=0.064P(X=1)=Cix0.6x(0.4)2=0.2883P(X=2)=C2x0.62x0.4=0.4323P(X=3)=C3x0.63=0.2163口X口X的分布列为:4．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调査人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士500人尤人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数X的分布列和数学期望.4•解：（1）□抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06,岂土二0蕊= ，解得％=60,□持“无所谓”态度