讲直线倾斜角与斜率核心考点练-学年高二数学考试满分全攻略教版2020选修第一册解析

第1讲直线的倾斜角与斜率(考点讲与练在平面直角坐标于一条与x轴相交的直如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.可见，直线的倾斜角的取值范围是0.二、直线的斜率倾斜角的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k2ktan(

).所以，倾斜角是

2

取值范围是()直线上任意两点A(xyB(x

)，当x

k

y1y2x

时，斜率

x1 到目前为止，我们已经学习了三个概 方向向量、倾斜角和斜率，它们之间可互相转化若已知直线l的方向向量duv，那么当u0时，斜率kv，倾斜角u tan 求得；当u0时，斜率k不存在，倾斜角 若已知直线l的倾斜角，那么斜 ，方向向量d(cos,sin)若已知直线l的斜率k，那么倾斜角k可以 求得，方向向量d(1,k)1．（2018·市嘉定区第一中学高二期中）设直线xmyn0的倾斜角度为,则它关于y轴对称的直线的倾斜角是（ B．2

C．

D．2【答案】【分析】利用对称性，求出直线关于y轴对称的直线的倾斜角即可y轴对称的直线的倾斜角为，则有，所以.故答案为2．（2021··高二专题练习）直线2xy10的倾斜角为 A．arctan B．arctan

C．arctan

D．arctan【答案】tan=2，0，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果【详解】因为直线2xy10的斜率k2，所以tan=2，0，，所以=arctan2所以直线2xy10的倾斜角为arctan2故选ktan90ky2y1

xx 3．（2022··高三专题练习）直线axbyc0(a0,b0)的倾斜角是 A．arctanbC．arctana

B．arctanbD．arctanb 【答案】【分析】计算直线斜率为ka0b【详解】线axbyc0(a0,b0，则ka0，故倾斜角为arctana b 故选 B．2

C．

D．32【答案】【分析】可分类讨论求出对称直线l【详解】当[0时，直线l的倾斜角为，当,时，直线l 3，当时，直线l的倾斜角为，因此ABD均可能，只有C 线l倾斜角为时，直线l与直线lx轴垂直的直线对称．5．（2021·金山·高二期末）已知点P2,2、Q2,2的直线倾斜角大小 4【分析】求出直线PQ的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线PQ【详解】直线PQ的斜率为

2212设直线PQ的倾斜角为，0，因此，4故答案为：46．（2021··高二专题练习）直线y2x3的倾斜角是 【答案】arctan【分析】根据斜率公式化简即可【详解】解：由题意得ktan2,arctan故答案为：arctan27．（2020·市嘉定区第一中学高二期中）若直线3xy20与直线x10的夹角，则 6【详解】直线3xy20的斜率为

，2333x10的倾斜角为，2 68．（2021·市奉贤中学高二阶段练习）直线x3y10的倾斜角 【答案】arctan3x3y10y1x1，即斜率为1，设倾斜角为 tan1，所以arctan1 故答案为：arctan39．（2020··高二练习）直线l过点A(1,2),B(m,3)，求直线l的倾斜角【答案】倾斜角

m

(m(m

m

(m【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，然后利用斜率和倾斜角的关系可求直线l的倾斜角【详解】设直线的倾斜角为，当m1时，倾斜角为；当m1时，直线的斜率k2

m1因 ，所以

m

(m(m

m

(m考查数算的素养.1．（2021··高二专题练习）直 A．450 B．1350, C．900，不存 D．1800，不存【答案】故选C． 练习）设直线l:yxtanb，其中k,kZ2b0bRl的斜率是tanl的倾斜角是lra(sin,cos)平行；④l的法向量与向量b(sin,cos)平行.其中真命题有 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【详解】因为直线l:yxtanb，其中kkZ2所以l的斜率是tanl的倾斜角满足tantan，但不一定有l的方向向量为(1tan，因为1cossintanl的法向量为(tan1)，因为1sincostan，所以④对；3．（2017·市七宝中学高二期中）直线cos130xsin130y10的倾斜角是 A． B． 【答案】 【详解】由题：直线cos130xsin130y10的斜率ksin130cos40cos140tan140所以其倾斜角为140. 练习）若0，则直线yxcot的倾斜角等于 2A．

B．2

C．2

D．【答案】【分析】设直线的倾斜角为，0,，根据直线的斜率与倾斜角的关系以及诱导公式计【详解】解：设直线的倾斜角为，0,依题意可得tan又cottan且 所以, 所以 2故选Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第ii123pi第ip1p2p3中最大的是（A．

B．

C．

D．【答案】pi为第ipiAiBi中点与原点连pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，piAiBi中点与原点连线的斜率，p1p2p3故选直线m的一个法向量为(cos,sin 0)，则直线m的倾斜角是 2A.

B.2

C.2

【答案】设直线l的方程为xycos30(R)，则直线l的倾斜角的范围是 (,3 (,3 [0,【答案】

4

48．（2022··高三专题练习）直线xy10的倾斜角 4yx1，则直线斜率k1，又倾斜角的范围为[0,p).xy103434x2 ·高二专题练习）直线y3

（参数tR）的倾斜角 【答案】arctan2y3t可得ty3x22tx22yx2y4则直线的斜率为k1，设其倾斜角为，0,2故arctan12arctan1210．（2020··上外浦东附中高二阶段练习）过点A1,2且与原点距离最大的直线倾斜角 【答案】arctan2【详解】

21

2，而过点A1,2且与原点距离最大的直线与OA垂直，因此其斜为k1，斜率为正，倾斜角为锐角，故倾斜角为arctan1 arctan12 ·高二专题练习）若直线l的斜率为2，直线l的倾斜角比l的倾斜角大 则直线l2的斜率 【答案】【分析】记直线l1的倾斜角为，直线l2的倾斜角为，根据题意求出tan【详解】直线l1的倾斜角为，直线l2的倾斜角为因为直线l1的斜率为

tantan所以tantan

4

2

3 4

1 tan4故答案为312．（2020··高二练习）直线2x3y50的一个方向向量是 【答案】(3

(2,

arctan 【详解】直线方程2x3y5A2,B直线2x3y50的一个方向向量是(32，一个法向量是(22x3y50y2x5，则斜率为 设倾斜角为，0,，则tan2，解得arctan 故答案为：(32(232arctan 13．（2015··位育中学高二期中）已知A1,2、Bm,3AB的斜率k和倾斜角已知实数m 1,0，求直线AB的倾斜角的取值范围 【答案】（1）见解析；（2）2 43【分析】（1）讨论m1m1与m1【详解】（1）当m1AB2当m1k

m1若m1，则

m1若m1，则

m1当m1AB2当m1时k

1,，,,2342342 3 AB的倾斜角的取值范围为2 4314.P(1m,1m)和Q(32m【答案】当m2km1m（1）当m(, [1,)时，k0，此时直线的倾斜角为0或锐角，所arctanm1m当m(2,1k0，此时直线的倾斜角为钝角，所以arctanm1m当m2时，直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角215.（1）已知两点A(3,3)，B(-1,5)，直线l:ykx1与线段AB有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围；（2）直线l过点M(-1,2)且与以A(-2,-3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率k及倾斜角的取值范围.2 【答案】（1） ,arctan3 （2）k(1] [5或l的斜率不存在，[arctan5,2

1arctan]21．（2022··高三专题练习）若直线l的一个法向量n(3,1)，则直线l的一个方向向量 【答案】直线l的倾斜角．【详解】解：直线l的一个法向量为n3,1直线l的一个方向向量为(13设直线l的倾斜角为，则有tan331又0，∴arctan3， 2．（2020·市大同中学高二期中）直线axbyab(a0，b0)的倾斜角为 A．arctan(baC．arctana

B．arctan(abD．arctanb【答案】【分析】根据直线方程求出斜率ka0b【详解】设直线axbyaba0b0)的倾斜角是由斜率ka0，即倾斜角为钝角，则tan 因为arctana，所以arctanb

22 故选 嘉定·高二期中）若直线l过点A4,1B3a2aR，则直线的倾斜取值范围是 A．0,

, ,

C．0,3

,, 4

42

4

4 【答案】1【分析】设直线的倾斜角为，则tana211a2，由1a2，可得tan113【详解】解：设直线的倾斜角为a2tan 1a23因为aR，所以1a21，即tan因为[0,，所以0或 所以直线的倾斜角取值范围是0, , 4 故选4．（2020··华师大二附中高二期中）若一条直线的斜率k(1,1)，则该直线的倾斜 【答案】03, 4 【详解】因为直线的斜率k(1,1，记该直线的倾斜角为所以当k0,1时0tan1，因此倾斜角044 当k(10)1tan0，因此倾斜角3, 故答案为03, 4 5．（2021··高二专题练习）直线x2y10的倾斜角 【答案】arctan2【详解】直线x2y10的斜率k12所以直线的倾斜角是arctan12arctan126．（2020·市建平中学高二期中）过点M(0,1)和N(1,m21)（mR）的直线的倾斜角 π【答案】[02m2【详解】由题意直线MN的斜率为k 1

0设MN的倾斜角为，则tan0，又[0,，∴[02π故答案为：[0,27．（2022··高三专题练习）若直线l的方程为xcosy30R，则其倾斜角 【答案】03, 4

xcosy30yxcos3直线的斜率kcos，即k1,1，设直线的倾斜角为，则tan1,1，即03, 4

03, 4

·高二专题练习）已知点A22B5,3和P54，若过点P的直线与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围 【答案】,arctan2 7【分析】由题意根据直线的斜率公式，求得直线PA的斜率、PB的斜率，再根据直线的斜率和倾斜角的关系求得直线PA的倾斜角、PB的倾斜角，可得结论.【详解】点A22B5,3P54，若过点P的直线l与线段AB有公共点PA的斜率为242PB2 故直线PA的倾斜角为arctan2，直线PB的倾斜角为 则l的倾斜角的取值范围为,arctan2 7 ,arctan2 7 ·高三专题练习）A(02mB1m2的直线倾斜角为，求的取值【答案】0, 3, 2 【分析】设直线的斜率为k，根据斜率公式求出k的范围，再根据倾斜角和斜率的关系得答【详解】解：设直线的斜率为k m2 则k (m1)11∴0,3, 2 【点睛】本题考查斜率和倾斜角的关系，注意：直线斜率k不存在，倾斜角2率k存在，是一实数，并且k0时，0k0时，, 2 10．（2020··高二练习）求直线xysin20(R)的倾斜角的取值范围 【答案】3 4【详解】当sin0x20，其倾斜角222当sin0y

x

，其斜率k

4tan(,1][1,)，则, 4 所以，倾斜角的取值范围是3 4【答案】设三角形的三个顶点为A、B、C，不妨设A为直角顶点，设AB所在直线为l1，斜率k1，倾斜角为，并且l1的方向向量为duv，AC所在直线为l2，斜率为k2（不妨规定则l2的法向量为duv，从而l2的方向向量dv,u故l的斜率kvl的斜率kukk1为定值（这是两条直线垂直的充 1条件，当然斜率为0及不存在的情况要单独考虑tan(tantan1tantan

,tank1,tan

所以tan(所以，

21．（2016·市建平中学高二期末）直线3x4y50的倾斜角是 A．arctan

B．arctan

C．arctan3

D．arctan 4 【答案】【分析】根据所给的直线3x4y50，得到直线的斜率是3，得到tan3 0,，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果【详解】解：由直线3x4y50可知：直线的斜率ktan40,arctan(3)4故选 ， D．直线的倾斜角0， 2 【答案】， 【详解】A.直线的倾斜角0， 2 故错误，B.当a90时斜率不存在。C.只有当a0,时，直线的倾斜角才是α3．（2018·市向明中学高二期中）直线xsiny20的倾斜角的取值范围是 A．[0,

B．[

3

[3[3,4

D．[0,](

34 2【答案】【详解】因为直线xsiny20ksin1,1，设直线倾斜角为，则tan1,1，又0，所以0或3 即所求直线的倾斜角的范围是[0,][

,) 故选 A． 【答案】k

3 3 33试题分析：直 的斜3

3,3，所以当k0,3

时，直线的倾斜角063,0时，直线的倾斜角6, 0 即正切函数在0，0 在0，上的图象不连续，从 在，

0,3

22，上分两段递增，所以求解时，应当把斜率k的范围分成

3和

3,0

5．（2020··高二练习）已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中a为实数，这两条直线的夹角在0,a

3,3

B． 33C．

3,11,3

D．1,3 【答案】试题分析：由直线方程L1yx，可得直线的倾斜角为450

，所以直线L2axy0的倾斜角的取值范围是300600且450率为tan300atan600且tan450，即3a1或1a3

3，故选6．（2016·市市西中学高二期中）直线l的一个方向向量为d(1,2)，则l的倾斜角等 B．

arctan

arctan【答案】【详解】由题：直线l的一个方向向量为d12，设直线倾斜角为所以直线的斜率ktan2，, 所以,0tan( 所以所以arctan故选7．（2022··高三专题练平面直角坐标系xoy中,直线axbyc=0ab0的arctanb

arctana

arctanb

arctanb【答案】【分析】根据直线方程求出斜率kab【详解】因为直线axbyc=0ab

0所以斜率ka0b所以arctanb故选8．（2016··华师大二附中高二阶段练习）若直线l的斜率k[1,1]，则直线l的倾斜角的范围是 【答案】03, 4

【分析】根据题意，设直线的倾斜角为1tan1，又由【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为，若直线l的斜率k[1,1]，则有1tan1，又由[0,)，则03, 4

03, 4

【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，关键是掌握的公式 ·高二专题练习）若直线l的倾斜角的范围为围 【答案】[1,【详解】直线l的倾斜角则l的斜率tan[1,3．故答案为：[1,3． 33

徐汇·高二期末）2【详解】设直线的倾斜角为2所以cos1212121

32333此直线的斜率ktan2 312故答案为：311．（2020··上外浦东附中高二阶段练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系 【答案】k2k3由图像可得k10k2k30，即k2k3k1故答案为k2k3k1 市七宝中学高二期末）直线l的斜率k为3，则直线l4 【答案】

arctan4【分析】设倾斜角为，根据倾斜角与斜率的关系，有ktan4

【详解】设倾斜角为因为直线l的斜率k为34所以ktan34又因为[0,)所以

arctan34

arctan34值范围

3y10 【答案】[0,]

, αtanα

33∴3 3 又α的范围为[0,)α的范围为05,， 故答案为05,． x1tsin 交大附中高二期中）已知直线l的参数方程是y2t

6（t6数），则直线l的倾斜角 3【分析】将直线l的参数方程化简为普通方程求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解x11【详解】化简参数方程得 y23 消去参数ty

3x

32所以直线l的斜率为3因为倾斜角的范围是[0,233 ·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知A34B32