三角函数知识点与题型 讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

高一数学必修一上册知识点与题型汇编：三角函数设计师：宁老师第一章：角第一部分：象限角知识点：如下表所示：象限角定义 在平面直角坐标系中：①以坐标原点为角的端点；②以x轴的非负半轴为始边；③终边所在的象限为角的象限。角的正负 ①逆时针旋转为正角；②顺时针旋转为负角。终边相同的角

与终边相同的角为3600k，kN。正角的象限划分

象限第一象限第二象限第三象限第四象限

角的范围(003600k,9003600k)(9003600k,18003600k)3600k,27003600k)(27003600k,36003600k)负角的象限划分 象限第一象第二象第三象第四象

角的范围(36003600k,27003600k)(27003600k,18003600k)(18003600k,9003600k)(9003600k,003600k)题型：判断下列角的象限。37870； ②108650； 435870； 80500。37870。378736010余数为187378701870103600。37870与1870终边相同，象限相同；1870,27001870是第三象限角。37870是第三象限角。②108650。1086536030余数为65108650650303600。108650与650650(00,900650是第一象限角。所以：108650是第一象限角。③ 435870 。 43587360121 余 数 为1743587017012136004358701701213600。435870与170170(900,00)170是第四象限角。435870是第四象限角。④ 80500 。 805036022 余 数 为130805001300223600805001300223600。80500与1300终边相同，象限相同；1300(1800,9001300是第三象限角。所以：80500是第三象限角。 题型：判断

和可能所在象限。2 3如下表所示：图象计算方法 所在限

可能所在象限2y三 二四四 二 三

第一象限第二象限第三象限第四象限

第一象限、第三象限第一象限、第三象限第二象限、第四象限第二象限、第四象限图象计算方法 所在限

可能所在象限3y 第一象限 第一象限、第二象限、第三象限四三二二

第二象限 第一象限、第二象限、第四象限三 四 第三象限 第一象限、第三象限、第四象限四二三

第四象限 第二象限、第三象限、第四象限弧度的定义①弧度的定义：在圆中，圆心角的大小（单位：rad弧度的定义①弧度的定义：在圆中，圆心角的大小（单位：rad）等于圆心角所对的弧长与半径的比值。②定义式：r(rad)。如下图所示：lrlrad与0的关系①rad与0的转换关系：1800 rad。②转换关系推理：当圆心角为3600时：圆心角所对的弧长为圆的周长2r。2(rad)。终边相同的角正角的象限划分r36002(rad1800(rad。与终边相同的角为kkZ象限第一象限角的范围(0k, k)2第二象限( k,k2第三象限k,2k)第四象限(2k,2k)负角的象限划分象限第一象限角的范围k,2k)第二象限第二象限(2k,k)第三象限(k, k)2第四象限( k,0k)2题型：把弧度转换为度象限弧度转换为度第一象①rad18象限弧度转换为度第一象①rad180030②04rad18004450；③3rad1800360；0限66④1rad11180063300；⑤74rad704315；06Ⓐrad518003300。03第二象①rad518001500rad318001350限66；②44；③rad2180033120；0④rad71800662100；⑤54rad518040225；0Ⓐrad418003240。03第三象①rad71800限662100 ；②rad51800442250 ；③rad41800240；033④rad5180061500；⑤4rad318004135；06Ⓐrad2180033120。0第四象第四象①1rad1118003300限66；②74rad7043150 ；③rad51800300；033④rad180030 ；⑤0rad18004506644；Ⓐrad180060。033题型：把度转换为弧度解法设计：原理:1800(rad)。如下表所示：象限第一象 ①

度转换为弧度300 450 300

rad rad；②450 rad rad；限 1800

6 1800 4600 3300 1③600

rad rad；④3300 rad rad；180 3 1800 63150 ⑤ 5

rad rad ； Ⓐ1800 4第二象

0

3000radrad。1800 31500 1350 ①1500

rad

；②1350

rad rad；限 1800 6 1800 41200 2100 ③1200

rad rad；④2100 rad rad；1800 3 1800 62250 2400 ⑤2250

rad rad2400 rad。1800 4 1800 3第三象

2100 2250 ①2100

rad rad；②2250 rad rad；限 1800

6 1800 42400 1500 ③2400

rad；④1500 rad rad；1800⑤ 5

3 1800 61350radrad ； Ⓐ1800 4120012001800rad23rad。第四象①33003300rad限1800rad；②315 0631501800rad74rad；3000 300 ③3000 rad rad；④300 rad rad；1800318006450⑤4501800rad rad；Ⓐ6004600180rad rad。3题型：判断下列角的象限。①

rad；

1000②

rad；

③

rad

④

rad。3 11 7 6解法设计：①

118rad3

。263

。118619 余数为4118419619

19

4192118

终边相同，象限相同；3 3 3 3 3 3 3(,)3 2rad是第三象限角。3 3② rad11

。 11

。 10002245 余 数 为101000104522451000

10

4522

1000

10

45

终边相同，11 11 11 11 11 11 11象限相同；

(,)

是第二象限角。所以：

rad是第二象限角。11 2 11 11③ rad7

。 7

。 68144 余 数 为12681241441468

12

414

68

12

4

4与7 7 7 7 7 7 7 7终边相同，7象限相同； (2, ) 是第一象限角。所以：7 2 7 7象限角。

rad是第一④ rad6

。 6

。 3531229 余 数 为53535291235352912353

2912

353

5

292353

5

296 6 6 6 6 6 6 6与6

终边相同，

(,)5

是第三象限角。所以：353

rad是第三象限角。

6 2 6 6第二章：三角函数定义第一部分：初中直角三角形三角函数定义如下表所示：认识边认识边A①角对边BC；②角邻边AB；BC③斜边AC。三角函数定义①正弦sin对边；②余弦cos邻边；③正切tan对边。斜边斜边邻边直角三角形认①sin对边BC；识A斜边AC②cos斜边AC；邻边ABBC③tan对边BC。邻边AB第二部分：三角函数终边上任意点定义知识点：如下表所示：三角函数正负角的象第一象限第二象限第三象限第四象限限sin正正负负costan正正负负负正正负作图方法①在平面直角坐标系中，画出作图方法①在平面直角坐标系中，画出角的终边；②在角的终边上取任意点(xy)；③过任意点(xyx轴的垂线。作图yyx2y2x(x,y)yxx三角函数定义①sinyx2y2；②cosxx2y2；③tany。x已知：角终边过点sincos和tan的值；已知：角终边过点sincos和tan的值。x2y2(3)242本 题 解 答 ：x2y2(3)242

4 ；5x2y2cosx2y2

3 3；(3)(3)242tany 44。x 3 3x2y2（ 2 ） sinx2y2

1 ；(2)(2)2(1)25cos x

2

；2 552 5(2)2(1)(2)2(1)2

11。x2x2y2x 2 2题型：计算下列题目。已知：角的终边在直线y 2x上。求解：sincos和tan的值；已知：y2xsincos和tan的值。31）分类讨论：①当x0时：令x1y 2x

212

任意点2)。2x2y222x2y22( 2)2x2y2x2y2( 2)2

；23623633 1 ；33322tany 。222x 122②当x0时：令x1y 2x2

(1)

任意点2)。x2y2 2x2y2 2(1)2( 2)2x2y2cosx2y2

23(1)2(23(1)2( 2)23

；6363 ；332tany 2 。2x 1（2）分类讨论：x0x3y2x232任意点。sin ycos x

2x2yx2y2x2y2

3 332(2)21321332(2)2132131332(2)21332(2)21331313tanyx

22。3 3x0x3y2x2(32任意点。3 3x2y2(3)2x2y2(3)222

2 ；132131313213cos x13tany 13

3x2y2(3)2x2y2(3)222

；31313313x 3 3作图方法作图方法一个单位圆（r1的圆，单位圆与终边相交于点PxA；③过点Px轴的垂线，垂足为点M；④过点A作单位圆的切线与终边相交于点T。作图yTPOMAx三角函数定义RtOPMsinPMPMPMPM；OPPMPM的长度为正弦值。r1RtOPMsinOMOMOMOM；OPOMOM的长度为余弦值。r1RtOATtanATATATAT；OAATAT的长度为正切值。r1如下表所示：正弦值正弦值余弦值正切值sin6 ；sin3002112 3cos 6 2 3tan 6 3cos30032tan30033sin422；cos422；tan 1；tan45014sin45022cos45022sin 332032 1 1cos ；cos6003 22tan 336003第三章：三角函数同角之间基本关系第一部分：三角函数同角之间的基本关系如下表所示：间基本关系推导方式一

①sin2cos21tansin。cos三角函数终边上任意一点的定义得到：三角函数终边上任意点定义

①sin yx2y2

；②cos xx2y2

；③tany。xsin2cos2

y )2

x )2

y2 x2y2x2x2y2

x2yx2y

x2y21。

x2y2 x2y2

x2y2sin

yx2y2

y x2y2

ytan。cos

xx2y2

x2y2 x x推导方式二 直角三角形中三角函数的定义得到：直角三角形中三角函数定义

①sin对边cos邻边tan对边。斜边 斜边 邻边sin2cos2对边

邻边

对边2邻边

斜边2

1。斜边2 斜边2 斜边2 斜边2附：对边和邻边为直角三角形两条直角边，勾股定理得到：附：对边和邻边为直角三角形两条直角边，勾股定理得到：对边2邻边2斜边2。对边cossin斜边对边斜边对边tan。邻边斜边斜边 邻边 邻边如下表所示：题目角的象sink。

计算过程sin2cos21cos21sin21k2。分类讨论：①当角为第一象限角或者第四象限角时：计算：cos和

sin ktan的值。

cos

0

1k2。

cos

。1k2②当角为第二象限角或者第三象限角时：cos0cos1k2。tansin k 。已知： 角的限，cosk。

cos 1k2sin2cos21sin21cos21k2。分类讨论：①当角为第一象限角或者第二象限角时：计算：sin

sin0sin 1k

。tan

sin

1k2。tan的值。

cos k②当角为第三象限角或者第四象限角时：sin0sin 1k2。tan

sin 1k2。角的象tank。

tansinksinkcoscos

cos k计算：sincos的值。

把sinkcos代入sin2cos21得到：k2cos2cos21(k21)cos21cos2①当角为第一象限角或者第四象限角时：

1 。k21cos0cos 1 1 ；k21 k21sinsinkcosk1k21kk21。②当角为第二象限角或者第三象限角时：cos0cos1k211k21k；sinkcosk(1k21)k21。化简题型a化简题型asinbcoscsindcoscsindcosasinbcos计算方法asinbcoscoscsindcoscosasinbcoscsindcoscoscosatanbctandcoscosasin2bsincosccos2asin2 bsin cos ccos2asin2 bsin cos ccos21asin2bsincosccos2asin2bsincosccos2sin2cos2cos2sin2cos2cos2asin2bsincosccos2cos2cos2cos2a(sin)bsin12coscos2 cos2sin2cos2(sin)1coscos2atan2btan1tan21。第四部分：判断正负sin的正负cos的正负tan的正负正sin的正负cos的正负tan的正负正正tansin0sin2的正负sin2sincoscos正负tansin0sin正负tansin0sin2sincos0cos负正tansin0sin2sincos0cos负负tansin0sin2sincos0cossin正tan正cos的正负cossinsin2的正负sin2sincostan正负cossin0sin2sincos0tan负正cossin0sin2sincos0tan负负cossin0sin2sincos0tancos正tan正正负负正负cos正tan正正负负正负负sin的正负sincostansincostan0sincostan0sincostan0sin2的正负sin2sincossin2sincos0sin2sincossin2sincos0第四章：诱导公式第一部分：诱导公式的判断方法如下表所示：诱导公式判使用条件

特殊两角和差公式，特殊之处在于其中一个角为的倍数。2诱导公式正负看象限，奇变偶不变。判断总原则第一步判

的倍数 终边所在的坐标轴断 的倍2

20rara-ra03600,3600

x轴的正半轴

rad2 2

rad902700

y轴的正半轴轴。

rara1801800rad rad2709002 22x轴的正半轴第一象限第四象限y轴的正半轴2x轴的正半轴第一象限第四象限y轴的正半轴第二象限第一象限x轴的负半轴第三象限第二象限y轴的负半轴第四象限第三象限

轴的负半轴轴的负半轴另一个角为负第三步：正第一象限第二象限第三象限第四象限负看象限。正弦sin余弦cos正正正负负负负正正切tan正负正负第四步：奇变偶不变。

（900（2

）的奇数倍：

三角函数名称改变：①sincos；②cossin；--，2 2 2 290-900,270-0

tancot(cot 1。tan（（9002

）的偶数倍：

三角函数名称不变：①sinsin；②coscos；--，180-1800360-0

tantan。第二部分：诱导公式化简如下表所示：)cos sin()cos )cossin()cos2 2 2 2)sin

cos(2

)sin

)sin cos()sin2 tan(2

)

1 2 2tan) 1

) 1 ) 12 tan 2 tan 2 tan)sin )sin)cos

)sin )sin)cos

)tan

)cos)cos)tan )tan )tansinsinsin()sincos()coscos(2k)coscos(2k)costan()tantantan第五章：三角函数恒等变换第一部分：两角和差公式如下表所示：三角函数两角和公式 三角函数两角差公式)sincossincos)coscossinsin)tantan1tantan

)sincossincos)coscossinsin)tantan1tantan第二部分：二倍角公式如下表所示：二倍角公式二倍角公式sin2sincos二倍角公式推理sin)sincossincos2sincos。coscos2sin2cos)coscossinsincos2sin2。2cos2112sin2sin2cos21cos21sin2。coscos2sin21sin2sin212sin2。sin2cos21sin21cos2。coscos2sin2cos2cos2)2cos21。tan2tan1tan2tan2tan()tantan2tan1tantan 1tan2。如下表所示：半角公式 半角公式推理sincos

1sin2sin22sincossincos1sin2。2 21 1cos211coscos2cos212cos21coscos2 cos2 2 2 2。sin2

1 111coscos12sin22sin21cossin2 cos2 2 2 2。第四部分：和差化积公式如下表所示：和差化积公式和差化积公式和差化积公式推导sinsincos))))22sincossincossincossincos22sincossincos。2sincos))))22sincossincos(sincossincos)2sincossincossincossincos22sincossincos。2coscos)))22coscossinsincoscossinsin22coscoscoscos。2sinsin))))22coscossinsin(coscossinsin)2coscossinsincoscossinsin22sinsinsinsin。2第五部分：辅助角公式如下表所示：辅助角公式辅助角公式辅助角公式推理asinxbcosx a2b2sin(x)asinxbcosxa2b(2asinxa2b2ba2b2cosx)b。a a2b2(cosinxsincosx) a2b2sin(x)。cosaa2b2sinba2b2。asinxbcosxb。aa2b2sin(x)asinxbcosx a2b2(aa2b2sinxba2b2cosx) a2b2(cosinxsincosx) a2b2sin(x)。cosaa2b2sinba2b2。acosxbsinxb。aa2b2cos(x)acosxbsinx a2b2(aa2b2cosxba2b2sinx) a2b2(cocosxsinsinx) a2b2cos(x)。cosaa2b2sinba2b2。acosxbsinxb。aa2b2cos(x)acosxbsinx a2b2(aa2b2cosxba2b2sinx) a2b2(cocosxsinsinx) a2b2cos(x)。cosaa2b2sinba2b2。第六章：三角函数图象以及性质第一部分：正弦的图象以及性质如下表所示：ff(xsinx的描点x022f(x)01010f(xsinx的图象y12O222x1最小正周期最小正周期T2xRf(x。①当x2k时：f(x)2f(x) 1。max1x时：2对称性单调性minx为对称轴。xk（kZ。2②中心对称点：函数的零点（x轴的交点。(0k,0（kZ。(xsinx(xsinx奇函数。x[f(x)sinx单调递增；22x[f(x)sinx单调递减。22第二部分：余弦的图象以及性质如下表所示：ff(xcosx的描点x022f(x)10101f(xcosx的图象y12O222x1最小正周期最小正周期对称性T2定义域：xR。值域：f(x)[1,1]。①当x0k时：f(x) 1；②当x时：maxf(x) 1。minx为对称轴。x0k（kZ。②中心对称点：函数的零点（x轴的交点。(2（kZ。(x)cosxy(x)cosx为偶函数。单调性x[02k,f(x)cosx单调递减；x[f(x)cosx单调递增。第三部分：正切的图象以及性质如下表所示：ff(xtanx的描点x2022f(x)00f(xtanx的图象y2O22x最小正周期对称性TxRf(xR。①对称轴：无对称轴。②中心对称点：函数的零点（②中心对称点：函数的零点（x轴的交点。(0k,0（kZ。(xtanx(xtanx奇函数。单调性x(kkf(x)tanx单调递增。22第七章：三角函数性质题型题型一：计算三角函数的最小正周期如下表所示：函数解析式函数解析式f(x))最小正周期Tf(x))bf(x)A)bTT题型二：计算三角函数的最值题型：计算三角函数在定义域上的最值。如下表所示：三角函数三角函数f(x))bf(x))最大值f(x) A|maxf(x) A|max最小值f(x) |A|minf(x) |A|min题型：计算三角函数在给定区间的值域。如下表所示：题目题目计算最值计算：函数假设：tx 。x[ , f(x)2sin(x3)1在区间[上的值域。6 63f(x)2sint1。如下图所示：y12]t[ , ]。6 6 2 21sint12t22sint232sint11计 算 ： 函

3f(x1。域：[3,1]。

所以：f(x)值 f(x)cos(2x )2

t2x

x[6

, )t[ , )3 3 6 26 f(xcost2。[ 如下图所示：在区间

, 上的值域。3 3 y1 3cot15 6 23

t 3 2 2 cost2 32cost212。f(x

32]。2

32f(x)2计 算 ： 函 数

f(x)1tan(x)2

tx

x(4

, )t( , )2 4 4 22 4 f(x)

tant22在区间(

, 上的值域。4 如下图所示：y tant1 4 t 12 21tant1221tant21222f(x)5。2所以：f(x)的值域为：(5,)。2题型：计算关于sinx或cosx的二次函数的值域。如下表所示：题目题目计计算最值算f(xcos2xsinx11sin2xsinx1sin2xsinxf(xcos2xsinx1。在xR上的值域。tsinxxRtf(xt2t（开口向下。对称轴：t 1 t1。22f(x) 轴t1 处2取得最大值：f(x) (1)(11。2max224f(x在t1f(x)f(x的值域：[21。412。min计算f(x)cos2xcosx在xR上的值域。f(x)cos2xcosx2cos2x1cosx2cos2xcosx1。假设：tcosx。xRtf(x)2t1（开口向上。t12t1。4f(x)在t14处取得最小值：f(x) f(x) 21)119。2min448f(x在t1f(x)所以：f(x)的值域：[9,2]。822112。max计算f(x)cos2x2sinx112sin2x2sinx12sin2xf(x)cos2x2sinx。sinxx(0t。f(x开在x(0, )上的2域。2口向下。t22(2)t1。2f(x)在t0处取得最大值：f(x)f(x在t1f(x)min所以：f(x)的值域：(4,0)。max202200。2214。题型三：解三角函数的不等式题型：简单三角函数不等式。如下表所示：题目题目sinx12解不等式ysinx的图像，如下图所示：y1y1sinx在直线2sinx12代表062622xy 上方的图21x的取1值范围。图中只是一个周期的范围，每个周期都有这样范sinx1x(

围。2k)。解不等式

2 6 6：函数ycosx的图像，如下图所示：cosx 2。2

y1yi在直线

cosx

2代表2 4 4 x 0 2

y

2上方的2 2 21 2xsinx1

的解为x(

取值范围。图中期的范围，每个周期围。2k,52k)。2 6 6解不等式x 3。函数ytanx的图像，如下图所示：y3ytanx在直线y 2 3 2取值范围。图中每个周期都有这

tanx 3 代 表tx的只是一个周期的范围，样的范围。所以：tanx 3的解为x(2

k,3

k。题型：标准三角函数不等式。如下表所示：题型四：计算三角函数的单调性决定单调性的因素。如下表所示：A的正负的正负单调性正正单调性不变正负单调性改变负正单调性改变负负单调性不变简单三角函数的单调性。如下表所示：三角函数三角函数f(x)sinx单调性x[kkf(xsinx单调递增。22x[kkf(xsinx单调递减。22f(x)cosxf(x)tanxx[k,2kf(x)cosx单调递增。x[0k,kf(x)cosx单调递减。x(kkf(xtanx单调递增。22标准三角函数的单调性。如下表所示：三角函数三角函数单调性f(x)2sin(x)13A20，10单调性改变。①当 22kx3 22kf(x单调递减。xx2 32 366x。66x[2kf(x单调递减。66②当x 232f(x单调递增。 x x

2k2 3 2 3 6 66

2kx72k。67所以：当x[

2k,

2k]时：f(x)单调递增。f(x)1cos(2x2 4

A2

6 60，20单调性改变。①当02x4

2k时：f(x)单调递增。04

2x4

4

2k2x52k4kx8

5k。8 所以：当x[ k, k]时：f(x)单调递增。8 8②当2k2x4

22k时：f(x)单调递减。

2x2x

2k4 4 4 45kx9k。8 8所以：当x[ k,

k]时：f(x)单调递减。8 8f(x)tan(1x2 6

)

A10，12

0f(x单调性不变。当k1x

k时：f(x)单调递增。2 2 6 2

k1x

k1x2

k2 6 2 2 6 3 2 322kx4。3 3所以：当x( 2kf(x单调递增。3 3标准三角函数在给定区间的单调性。如下表所示：三角函数计

单调性A10，10f(x单调性不变。f(x)sin(x 6

当2

x6

2

2k时：f(x)单调递增。在区间(3单调性。

,

2

x2 6

x 2

2k。3 3x[3

2k,22k]时：f(x)单调递增。3① 当 k0 时

x[

, ] ，x(3

,交集为x(3

3 3, ]35②当k1x[

, ]，x(

,交集为x。3 3 3 所以：当x( 3

]时：f(x)单调递增。3x,f(x单调递减。3计 算A20，30单调性不变。f(x)2cos(3x

1当3x

22k时：f(x)单调