文科考研微积分第二章一元函数微分学

第二章

一元函数微分学1文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第1页!一、导数定义

种形式：第二种形式：导数的几何意义：切线的斜率；

内容提要2文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第2页!二、求导法则

基本初等函数的导数；导数的四则运算；反函数、复合函数求导；隐函数求导；高阶导数,几个简单函数的n阶导数：3文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第3页!渐近线问题：4文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第4页!解例2连续：

可导：

5文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第5页!例4(Ⅰ98二3

)（A）3（B）2（C）1（D）0分析解类题(Ⅰ92二3)

6文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第6页!解例67文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第7页!所以8文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第8页!解例7(1)9文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第9页!例8解10文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第10页!例9解(A)，(B)两项中分母的极限为0，11文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第11页!题型2：利用导数求曲线的切线和法线方程解例1所以所求切线方程为

12文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第12页!题型3：一般导函数的计算解例1先化简，所以13文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第13页!解例3(1)式两边再关于x求导：

14文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第14页!例5解先用待定系数法分解，另:15文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第15页!解法2由麦克劳林公式,得例616文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第16页!解例1（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续（C）连续但不可导 （D）可导

【答案】应选(C).

题型4：可导、连续与极限的关系17文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第17页!题型5：微分的概念与计算解例1两边对x求导，

18文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第18页!题型6：利用导数确定单调区间与极值解例119文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第19页!例2解20文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第20页!根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).例3解(Ⅰ03二4)xyo(A)

一个极小值点和两个极大值点.(B)

两个极小值点和一个极大值点.(C)

两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.21文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第21页!例5解(Ⅱ96六8)

两边关于x求导,得

对(1)式再求导，得

22文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第22页!题型7：求函数曲线的凹凸区间与拐点解例123文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第23页!故应选(C).24文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第24页!（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线又有铅直渐近线选(D).解例2(Ⅰ91二3)

25文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第25页!故应选(D).例3解（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条

26文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第26页!解例4（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条

故应选(D).27文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第27页!证例228文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第28页!证例3的零点的个数。29文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第29页!题型10：确定方程的根例1证(1)30文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第30页!证且由题设及(1)知,

例131文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第31页!例2证[Ⅰ05(18)12](Ⅰ)略.所以32文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第32页!【证明】不妨设存在例433文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第33页!题型11：利用导数证明不等式证例1于是34文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第34页!证法2例235文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第35页!题型12：导数在经济上的应用解例1需求弹性为

36文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第36页!例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.

（2）（3）37文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第37页!38文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第38页!解例3(Ⅰ05二4)(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.所以选(C).39文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第39页!解法2一般，斜渐近线求法：40文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第40页!三、中值定理费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.

四、导数的应用洛必达法则——求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题.

41文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第41页!典型例题解例1题型1：导数的定义42文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第42页!解例343文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第43页!例5解(Ⅰ99二3

)（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续（C）连续但不可导 （D）可导

选(D).44文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第44页!45文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第45页!46文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第46页!(2)及时分离非零因子47文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第47页!所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).48文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第48页!存在.【答案】应选(D)。

反例：存在，49文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第49页!解例250文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第50页!例2解用对数求导法,51文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第51页!解例452文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第52页!例6解法1由Leibniz公式：得53文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第53页!题型4：可导、连续与极限的关系解例1（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续（C）连续但不可导 （D）可导

54文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第54页!类题55文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第55页!例2解56文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第56页!选（A）.

57文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第57页!58文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第58页!例4解选(C).59文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第59页!例6解于是所求线段的最短长度为

60文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第60页!解例261文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第61页!题型8：求函数曲线的渐近线解例1（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

选(B).

62文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第62页!例3解（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条

63文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第63页!【评注】例3（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条

64文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第64页!题型9：确定函数方程

f(x)

=

0

的根解例1（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

选(B).

【评注】xyo65文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第65页!66文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第66页!xyo只有一个交点；有两个交点；67文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第67页!分析：用微分方程法,

原等式改写为证(2)例168文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第68页!(Ⅳ95七5)类题69文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第69页!例3解70文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第70页!71文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第71页!证法1【分析】

根据所证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

例2[Ⅰ04(15)12]72文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第72页!再用单调性进行证明即可.例273文科考研微积分第二章一元函数微分学共78页，您现在浏览的是第73页!例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.

（1）利润函数为

74文科考研微积分第二章一元函