湘潭大学人工智能课件模糊系统Part1

ArtificialIntelligence(AI)

人工智能第五章：模糊逻辑系统ArtificialIntelligence(AI)

人模糊计算模糊计算模糊性：在日常生活中早已运用自如，在科学分析中理论却还未完善美国加州大学扎德（L.A.Zadeh）教授1965年提出的模糊集合与模糊逻辑理论是模糊计算的数学基础。它主要用来处理现实世界中因模糊而引起的不确定性。目前，模糊理论已经在推理、控制、决策等方面得到了非常广泛的应用。模糊计算模糊计算内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊逻辑原理沙堆问题：“从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”是？否？一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问题！模糊逻辑原理沙堆问题：一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问模糊逻辑原理问题就在于：“沙堆”这个概念是模糊的，没有一个清晰的界限将“沙堆”与“非沙堆”分开。我们没有办法明确指出，在这个不断拿走沙子的过程中，什么时候“沙堆”不再是“沙堆”。与“沙堆”相似的模糊概念还有“年轻人”、“小个子”、“大房子”等。这种在生活中常见的模糊概念，在用传统数学方法处理时，往往会出现问题。模糊逻辑原理问题就在于：模糊逻辑原理如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？如果规定沙堆只能由10000粒以上的沙子组成，“沙堆”这个概念的模糊性就消除了。10000粒沙子组成的是沙堆，9999粒沙子组成的不是沙堆：这在数学上没有任何问题。？然而，仅仅取走微不足道的一粒沙子，就将“沙堆”变为“非沙堆”，这又不符合我们日常生活中的思维习惯模糊逻辑原理如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？？模糊逻辑原理模糊逻辑就是用来解决这一矛盾的工具之一在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。在处理一些问题时，精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。自然语言模糊逻辑原理模糊逻辑就是用来解决这一矛盾的工具之一自然语言模糊逻辑原理模糊逻辑的发展，是由理论准备到理论提出再到理论应用的过程模糊逻辑原理模糊逻辑的发展，是由理论准备到理论提出再到理论应内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊集从精确到模糊精确答案确定：要么是，要么不是f:A→{0,1}如：他是学生？不是学生？模糊答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间

μA:U→[0,1]如：他是成年人？不是成年人？大概是成年人？模糊集从精确到模糊模糊集表示“20岁左右”原集合（年龄）{....,17,18,19,20,21,22,23,...}模糊集可以表示为：0.8/18+0.9/19+1/20+0.9/21+0.8/120.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23隶属度[0,1]/集合元素模糊集表示“20岁左右”隶属度[0,1]/集合元素模糊集集合及其特征函数在论域中，把具有某种属性的事物的全体称为集合。由于集合中的元素都具有某种属性，因此可以用集合表示某一种概念，而且可用一个函数来刻画它，该函数称为特征函数。设A是论域U上的一个集合，对任意u∈U，令则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度。模糊集集合及其特征函数模糊集集合及其特征函数集合A与其特征函数可以认为是等价的：A={u|CA(u)=1}模糊集与隶属函数模糊集把特征函数的取值范围从{0,1}推广到[0,1]上。设U是论域，μA是把任意u∈U映射为[0,1]上某个值的函数，即μA:U→[0,1]

或u→μA(u)

则称μA为定义在U上的一个隶属函数，由μA(u)(u∈U)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，μA(u)称为u对A的隶属度。模糊集集合及其特征函数模糊集模糊集的例子论域U={1,2,3,4,5}，用模糊集表示“大”和“小”。解：设A、B分别表示“大”与“小”的模糊集，μA

，μB分别为相应的隶属函数。A={0,0,0.1,0.6,1}B={1,0.5,0.01,0,0}其中：μA(1)=0,μA(2)=0,μA(3)=0.1,μA(4)=0.6,μA(5)=1μB(1)=1,μB(2)=0.5,μB(3)=0.01,μB(4)=0,μB(5)=0模糊集模糊集的例子模糊集模糊集的表示方法(1)论域离散且为有限若论域U={u1,…,un}为离散论域，模糊集A表示为：A={μA(u1),μA(u2),…,

μA(un)}也可写为：A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un其中，隶属度为0的元素可以不写。

例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4模糊集模糊集的表示方法模糊集模糊集的表示方法(2)论域连续若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。

例如：以年龄为论域U=[0,100]，“年轻”和“年老”这两个概念可表示为：模糊集模糊集的表示方法模糊集模糊集的表示方法(3)一般表示方法不管论域U是有限的还是无限的，是连续的亦或是离散的，扎德（L.A.Zadeh）又给出了一种类似于积分的一般表示形式：这里的记号不是数学中的积分符号，也不是求和，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括。模糊集模糊集的表示方法模糊集的运算模糊集的包含运算设A、B分别是U上的两个模糊集，对任意u∈U，都有μB(u)≤μA(u)成立，则称A包含B，记为BA。模糊集的交、并、补运算设A、B分别是U上的两个模糊集，则A和B两个集合的并集A∪B、交集A∩B和A的补集﹁A的隶属函数分别为：模糊集的运算模糊集的包含运算模糊集的运算模糊集运算的例子设U={u1,u2,u3}，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3;B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求A∩B，A∪B和¬AA∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3¬A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集的运算模糊集运算的例子模糊集合上的运算定律幂等律交换律结合律分配律模糊集合上的运算定律幂等律模糊集合上的运算定律吸收律两极律复原律摩根律模糊集合上的运算定律吸收律模糊集的λ水平截集λ水平截集的定义：设A是论域U上的模糊集，λ∈[0,1]，则称普通集合Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ}为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。阈值λ越大，其水平截集Aλ越小。当λ＝1时，Aλ最小，称它为模糊集的核。称KerA={u|u∈U,μA(u)=1}和SuppA={u|u∈U,μA(u)>0}分别为模糊集A的核及支集。当KerA≠Φ时，称A为正规模糊集。模糊集的λ水平截集λ水平截集的定义：模糊集的λ水平截集λ水平截集，核，支集模糊集的λ水平截集λ水平截集，核，支集模糊度模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量设A是论域U上的模糊集，记作A∈F(U)，d是定义在F(U)上的实函数，如果它满足以下条件：(1)d(A)∈[0,1];(2)当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0；(3)若A的隶属函数μA(u)≡0.5，则d(A)=1;(4)若A,B∈F(U)，且对任意u∈U，满足μB(u)≤μA(u)≤0.5

或者μB(u)≥μA(u)≥0.5，则有d(B)≤d(A)(5)对任意A∈F(U)，有d(A)=d(¬A)则称d为定义在F(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。模糊度模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊关系的定义定义在集合上的关系设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡尔乘积为V×W={(v,w)∣任意v∈V，任意w∈W

}

所谓从V到W的关系R，是指V×W上的一个子集，即RV×W记为：对于V×W中的元素(v,w)，若(v,w)∈R，则称v与w有关系R；若(v,w)R，则称v与w没有关系R。模糊关系的定义定义在集合上的关系模糊关系的定义例子：V×W上的关系设：V={1班，2班，3班}，W={男队，女队}则V×W中有6个元素，即V×W={(1班，男队)，(2班，男队)，(3班，男队)，(1班，女队)，(2班，女队)，(3班，女队)}其中，每个元素是一代表队。假设要进行一种双方对垒的循环赛，则每一个赛局都是V×W中的一个子集，它构成了V×W上的一个关系。

模糊关系的定义例子：V×W上的关系模糊关系的定义设Ai是Ui(i=1,2,…,n)上的模糊集，则称

为A1,A2,…,An的笛卡尔乘积，它是U1×U2×…×Un上的一个模糊集。

在U1×…×Un上一个n元模糊关系R是指以U1×…×Un为论域的一个模糊集，记为:取最小模糊关系的定义设Ai是Ui(i=1,2,…,n)上模糊关系的定义例子：U×V上的模糊关系U={张三，李四，王五}V={篮球，排球，足球，乒乓球}U×V上的一个模糊关系R篮球排球足球乒乓球张三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80模糊关系的定义例子：U×V上的模糊关系篮球排球足球乒乓球张模糊关系的定义一般地说，当U和V都是有限论域时，其模糊关系R可用一个模糊矩阵表示。U={u1,u2,…,um}V={v1,v2,…,vn}则U×V上的模糊关系为模糊关系的定义一般地说，当U和V都是有限论域时，其模糊关系R模糊关系的合成模糊关系的合成设R1与R2分别是U×V与V×W上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为R1°R2其隶属函数为隶属函数计算方法：取R1的第i行元素分别与R2的第j列元素相比较，两个数中取其小者，然后再在所得的一组最小数中取最大的一个，以此作为R1°R2的第i行第j列的元素。模糊关系的合成模糊关系的合成模糊关系的合成例子：模糊关系的合成设有两个模糊关系则R1与R2的合成是模糊关系的合成例子：模糊关系的合成问题？问题？ArtificialIntelligence(AI)

人工智能第五章：模糊逻辑系统ArtificialIntelligence(AI)

人模糊计算模糊计算模糊性：在日常生活中早已运用自如，在科学分析中理论却还未完善美国加州大学扎德（L.A.Zadeh）教授1965年提出的模糊集合与模糊逻辑理论是模糊计算的数学基础。它主要用来处理现实世界中因模糊而引起的不确定性。目前，模糊理论已经在推理、控制、决策等方面得到了非常广泛的应用。模糊计算模糊计算内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊逻辑原理沙堆问题：“从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”是？否？一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问题！模糊逻辑原理沙堆问题：一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问模糊逻辑原理问题就在于：“沙堆”这个概念是模糊的，没有一个清晰的界限将“沙堆”与“非沙堆”分开。我们没有办法明确指出，在这个不断拿走沙子的过程中，什么时候“沙堆”不再是“沙堆”。与“沙堆”相似的模糊概念还有“年轻人”、“小个子”、“大房子”等。这种在生活中常见的模糊概念，在用传统数学方法处理时，往往会出现问题。模糊逻辑原理问题就在于：模糊逻辑原理如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？如果规定沙堆只能由10000粒以上的沙子组成，“沙堆”这个概念的模糊性就消除了。10000粒沙子组成的是沙堆，9999粒沙子组成的不是沙堆：这在数学上没有任何问题。？然而，仅仅取走微不足道的一粒沙子，就将“沙堆”变为“非沙堆”，这又不符合我们日常生活中的思维习惯模糊逻辑原理如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？？模糊逻辑原理模糊逻辑就是用来解决这一矛盾的工具之一在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。在处理一些问题时，精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。自然语言模糊逻辑原理模糊逻辑就是用来解决这一矛盾的工具之一自然语言模糊逻辑原理模糊逻辑的发展，是由理论准备到理论提出再到理论应用的过程模糊逻辑原理模糊逻辑的发展，是由理论准备到理论提出再到理论应内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊集从精确到模糊精确答案确定：要么是，要么不是f:A→{0,1}如：他是学生？不是学生？模糊答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间

μA:U→[0,1]如：他是成年人？不是成年人？大概是成年人？模糊集从精确到模糊模糊集表示“20岁左右”原集合（年龄）{....,17,18,19,20,21,22,23,...}模糊集可以表示为：0.8/18+0.9/19+1/20+0.9/21+0.8/120.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23隶属度[0,1]/集合元素模糊集表示“20岁左右”隶属度[0,1]/集合元素模糊集集合及其特征函数在论域中，把具有某种属性的事物的全体称为集合。由于集合中的元素都具有某种属性，因此可以用集合表示某一种概念，而且可用一个函数来刻画它，该函数称为特征函数。设A是论域U上的一个集合，对任意u∈U，令则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度。模糊集集合及其特征函数模糊集集合及其特征函数集合A与其特征函数可以认为是等价的：A={u|CA(u)=1}模糊集与隶属函数模糊集把特征函数的取值范围从{0,1}推广到[0,1]上。设U是论域，μA是把任意u∈U映射为[0,1]上某个值的函数，即μA:U→[0,1]

或u→μA(u)

则称μA为定义在U上的一个隶属函数，由μA(u)(u∈U)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，μA(u)称为u对A的隶属度。模糊集集合及其特征函数模糊集模糊集的例子论域U={1,2,3,4,5}，用模糊集表示“大”和“小”。解：设A、B分别表示“大”与“小”的模糊集，μA

，μB分别为相应的隶属函数。A={0,0,0.1,0.6,1}B={1,0.5,0.01,0,0}其中：μA(1)=0,μA(2)=0,μA(3)=0.1,μA(4)=0.6,μA(5)=1μB(1)=1,μB(2)=0.5,μB(3)=0.01,μB(4)=0,μB(5)=0模糊集模糊集的例子模糊集模糊集的表示方法(1)论域离散且为有限若论域U={u1,…,un}为离散论域，模糊集A表示为：A={μA(u1),μA(u2),…,

μA(un)}也可写为：A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un其中，隶属度为0的元素可以不写。

例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4模糊集模糊集的表示方法模糊集模糊集的表示方法(2)论域连续若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。

例如：以年龄为论域U=[0,100]，“年轻”和“年老”这两个概念可表示为：模糊集模糊集的表示方法模糊集模糊集的表示方法(3)一般表示方法不管论域U是有限的还是无限的，是连续的亦或是离散的，扎德（L.A.Zadeh）又给出了一种类似于积分的一般表示形式：这里的记号不是数学中的积分符号，也不是求和，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括。模糊集模糊集的表示方法模糊集的运算模糊集的包含运算设A、B分别是U上的两个模糊集，对任意u∈U，都有μB(u)≤μA(u)成立，则称A包含B，记为BA。模糊集的交、并、补运算设A、B分别是U上的两个模糊集，则A和B两个集合的并集A∪B、交集A∩B和A的补集﹁A的隶属函数分别为：模糊集的运算模糊集的包含运算模糊集的运算模糊集运算的例子设U={u1,u2,u3}，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3;B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求A∩B，A∪B和¬AA∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3¬A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集的运算模糊集运算的例子模糊集合上的运算定律幂等律交换律结合律分配律模糊集合上的运算定律幂等律模糊集合上的运算定律吸收律两极律复原律摩根律模糊集合上的运算定律吸收律模糊集的λ水平截集λ水平截集的定义：设A是论域U上的模糊集，λ∈[0,1]，则称普通集合Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ}为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。阈值λ越大，其水平截集Aλ越小。当λ＝1时，Aλ最小，称它为模糊集的核。称KerA={u|u∈U,μA(u)=1}和SuppA={u|u∈U,μA(u)>0}分别为模糊集A的核及支集。当KerA≠Φ时，称A为正规模糊集。模糊集的λ水平截集λ水平截集的定义：模糊集的λ水平截集λ水平截集，核，支集模糊集的λ水平截集λ水平截集，核，支集模糊度模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量设A是论域U上的模糊集，记作A∈F(U)，d是定义在F(U)上的实函数，如果它满足以下条件：(1)d(A)∈[0,1];(2)当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0；(3)若A的隶属函数μA(u)≡0.5，则d(A)=1;(4)若A,B∈F(U)，且对任意u∈U，满足μB(u)≤μA(u)≤0.5

或者μB(u)≥μA(u)≥0.5，则有d(B)≤d(A)(5)对任意A∈F(U)，有d(A)=d(¬A)则称d为定义在F(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。模糊度模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模糊变换5.模糊推理6.模糊计算的流程第五章：模糊逻辑系统内容提要1.模糊逻辑原理2.模糊集3.模糊关系4.模模糊关系的定义定义在集合上的关系设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡尔乘积为V×W={(v,w)∣任意v∈V，任意w∈W

}

所谓从V到W的关系R，是指V×W上的一个子集，即