第十四章结构动力学课件(配套李廉锟教材)

13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和动力自由度

13.1.2动力荷载的分类

13.1.3动力计算的自由度13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和13.1.1动力计算的特点

结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。（1）地震现场录像（2）地震振动台实验录像例如地震荷载：13.1.1动力计算的特点结构动力学：研究结构在动力荷动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）Tacoma大桥风毁录像（2）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：13.1.1动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）T用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由振动记录用于教学演示的铝质模型的自由有机玻璃模型的自由振动记录用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的用于教学演示的有机玻璃模型的自由振动记录铝质模型的自由振动记录有机玻璃模型的铝质模型的自由动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应

（自由振动）

（受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力

√动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！建立微分方程，13.1.1动力计算的特点

？？如何考虑动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机荷载P(t)tPt简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载1爆炸荷载2突加荷载地震波一般周期荷载13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机

求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。本课程主要任务是：

安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规范的许可值)。13.1.2动力荷载的分类可靠性设计依据：建筑抗震设计原则结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。

动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。mE、A、I、R体系振动自由度为？无限自由度(忽略)三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m例：简支梁：13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某些位置。无限

有限例1：2EIEIEIy(a)单自由度y1y2(b)两个自由度例2：13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某θ(t)(c)三个自由度(d)无限自由度13.1.3动力计算的自由度例3：u(t)v(t)例4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响θ(t)(c)三个自由度(d)无限自由度13.1.3动力计集中质量法几点注意：

1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点两个DOF两个质点一个DOF两个质点三个DOF

2）体系动力自由度与其超静定次数无关。

3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3动力计算的自由度改变集中质量法几点注意：1）体系动力自由度数不一定等于质量数。水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m32个自由度自由度与质量数

不一定相等y1y2y1y3y2y3y4y1y2水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m313.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单自由度体系的自由振动

13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率13.2.4阻尼对自由振动的影响13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单一、自由振动（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）1.自由振动产生原因——

体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。

静平衡位置m获得初位移ym获得初速度2.研究单自由度体系的自由振动重要性（1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。（2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性

——自振频率和振型

13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立一、自由振动（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对象：自由振动

初始位移初始速度同时作用y(t)kmym模型2隔离体理解两模型中

“k”

含义mky模型1“弹簧－小车”ky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对建立自由振动的微分方程:

两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

1δ建立方程1）刚度法：以质量为隔离体模型2模型1刚度系数k柔度系数δ

概念理解

kyy13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡建立自由振动的微分方程:

两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

建立方程2）柔度法：M点位移ykyky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立惯性力建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡建立方程1）刚度法：mky以质量为隔离体13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程1）刚度法：mky以质量为隔离体13.2.1单自由建立方程2）柔度法：mky以梁为对象建立位移方程ky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程2）柔度法：mky以梁为对象建立位移方程ky13.2（1）刚度法

——研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程，需要用到刚度系数。▲

方法小结（2）柔度法

——研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，

需要用到柔度系数。刚度法柔度法（3）方法选择谁较简单？谁较容易求得。取决于结构的柔度系数刚度系数超静定结构，查表（形常数）静定结构，图乘法求δ顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！（1）刚度法——研究作用于被隔离的质量上的力，建立▲原方程：通解为：由初始条件：解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答原方程：通解为：由初始条件：解为：T0y(t)ty0-y0化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：相比较得：则：振幅T0y(t)t自由振动总位移：初始相位角13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：相比较得：则13.2.3结构的自振周期和自振频率由式:可知时间经

后，质量完成了一个振动周期。用T

表示周期，周期函数的条件:

y(t+T)=y(t)1)自振周期计算公式：2)自振频率计算公式：秒内的振动次数用

表示圆频率：用

表示频率：每秒钟内的振动次数13.2.3结构的自振周期和自振频率由式:可知时间经泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/2l/4解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）[思考]

比较图示结构的自振频率l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b)(c)(a)<(b)<(c)13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl[例13.5]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。LEIEIEILmmM图L/2P=1/22L/2EIEIEI13.2.3结构的自振周期和自振频率P=1[例13.5]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作13.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0y(t)tmky=0c2)考虑阻尼阻尼是客观存在的

振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。

（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力

（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼13.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0yy(t)mykykmc有阻尼模型建立动平衡方程标准化得:其中:——

称为阻尼比二阶常微分方程可变为：设特解为：特征方程为：解为：（1）令：则代数方程解：讨论:13.2.4阻尼对自由振动的影响y(t)mykykmc有阻尼模型建立动平衡方程标准化得:其中讨论:小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动讨论:小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动则微分方程通解为：也可:tyykyk+1tkT1)是一种衰减振动2)对自振频率的影响

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1此时，阻尼的影响可以忽略。讨论:实部初始条件虚部13.2.4阻尼对自由振动的影响则微分方程通解为：也可:tyykyk+1tkT1)是一种衰减讨论:阻尼对自由振动的影响1)是一种衰减振动讨论:阻尼对自由振动的影响1)是一种衰减振动讨论:阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动衰减速率的影响如图右2)对自振频率的影响

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1此时，阻尼的影响可以忽略。具有四种阻尼水平体系的自由振动讨论:阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动2)对自振频率的3)对振幅的影响

振幅为

随时间衰减相邻两个振幅的比。13.2.4阻尼对自由振动的影响3)对振幅的影响振幅为随时间衰减相邻两个振幅13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立13.3单自由度体系的强迫振动

13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响13.3.5有阻尼时的杜哈梅积分13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立13.3

强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立以一悬臂柱为例：mky模型1y(t)kmym模型2隔离体1）柔度法：以柱子为对象2）刚度法：以质点为对象等效弹簧－小车ky建立方程强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动13.3.1单自由13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应

简谐荷载：解的形式：

运动方程：齐次解：特解：由初始条件确定。其中：是一个二阶常系数非齐次微分方程方程通解：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应简谐荷载：解的13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应方程全解：由初始条件确定，若：其中：方程通解：按结构的自振频率振动，由于阻尼的存在是过渡阶段。按动力荷载的频率振动，是平稳的振动阶段。13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应方程全解：由初始条

平稳阶段：

动力系数：1023123

共振静位移最大动位移13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应平稳阶段：动力系数：1023123共振静位移最[例13.9]

如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4，I=726.7cm3，E＝2.1×108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n＝400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。Psinθt2.5m2.5mEIQ1)自振频率：解:2)荷载频率：3)动力系数：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应θtP=[例13.9]如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=14)跨中截面最大正应力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应解释：惯性力与简谐力同时达到最大惯性力与简谐力的最大值为：4)跨中截面最大正应力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和Δttτt't't0t瞬时冲量t13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应基本思路：视为P(t)tτ(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零t时刻τ的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应微分冲量13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应一般动荷载的动力反应:杜哈梅积分初始位移y0和初始速度v0为零P(t)tτ(Duhamel积分)初始位移y0和初t（1）突加荷载

P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst举例说明13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应动力系数：（1）突加荷载P(t)tPoysty(t)ωt0π2（2）短时荷载

P(t)tPou1）方法一：13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：直接采用

Duhamel

积分

阶段Ⅱ

(t>u)：（2）短时荷载P(t)tPou1）方法一：13P(t)tPou

阶段Ⅱ

(t>u)：体系以作自由振动。2）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：P(t)tPou阶段Ⅱ(t>u)：体系以3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPu1)当0<ｔ<u2)当ｔ>u13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应P(t)tPu3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)y(t)ωt0π2π3π讨论主要针对u展开ystT/21）当u>T/2，最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当0<u<T/2，最大动位移发生在阶段Ⅱβ1/611/22动力系数反应谱β(T,μ)13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应最大动反应的求解：y(t)ωt0π2π3π讨论主要针对u展开ystT/21）当13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图:

建立平衡方程：简谐荷载：方程的解：

齐次解（）＋特解（）振幅：y(t)kmym隔离体设特解：动力系数：相位角：13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图:4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0动力系数反应谱1）当或时，可以不考虑阻尼的影响静荷载位移为02）当时，阻尼作用明显共振：共振区13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.[例13.10]

前提同例13.2，当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。解:由[例13.2]已求出

k=12×103kN/mWP0sinθt1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应在共振区[例13.10]前提同例13.2，当机器运转产生P0解:由[例13.2]已求出1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：[例13.14]

当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min,考虑阻尼的影响,求振幅及地基最大压力。WP0sinθt在共振区13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响解:由[例13.2]已求出1)荷载频率:2)动力系数：3)13.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.4两个自由度体系的自由振动13.4.2频率方程和自振频率13.4.3主振型及主振型的正交性13.4.4两个自由度体系自由振动方程的一般解13.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立（1）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、不等高排架等（2）为满足计算精度的要求烟囱、高耸建筑物等

基本方法刚度法：柔度法：按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立（1）因结构特征（1）柔度法y1y2（m1m211d1212建立方程：13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立柔度系数：注意柔度系数物理意义（1）柔度法y1y2（m1m211d1212建立方程：13.（2）刚度法质量隔离体m2m1列平衡方程：12如何确定？13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立y1y2（m1m2弹性力惯性力（2）刚度法质量隔离体m2m1列平衡方程：12如何确定？13刚度系数:k12k11k21112k12k22112得到运动方程：注意物理意义13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立刚度系数:k12k11k21112k12k22112得到运动13.4.2频率方程和自振频率设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：（1）柔度法微分方程：（2）求得：（1）把（1）式、（2）式代入微分方程：13.4.2频率方程和自振频率设各质点按相同频率和初相13.4.2频率方程和自振频率齐次线性方程组:非零解频率方程关于λ的二次代数方程得：系数行列式应等于零13.4.2频率方程和自振频率齐次线性方程组:非零解频率方方程两正根为:自振频率13.4.2频率方程和自振频率第一频率（基频）第二频率方程两正根为:自振频率13.4.2频率方程和自振频率第一频（2）刚度法微分方程：设解为：13.4.2频率方程和自振频率（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：（2）刚度法微分方程：设解为：13.4.2频率方程和自振频频率方程：齐次线性方程组：自振频率：13.4.2频率方程和自振频率非零解较小的第一频率（基频），为第二频率。频率方程：齐次线性方程组：自振频率：13.4.2频率方程和13.4.3主振型及主振型的正交性（1）主振型Y1(1)Y2(1)m1m2(柔度法)1）当第一主振型若：13.4.3主振型及主振型的正交性（1）主振型Y1(1)Y13.4.3主振型及主振型的正交性m1m2（1）主振型(柔度法)2）当第二主振型若：Y1(2)Y2(2)13.4.3主振型及主振型的正交性m1m2（1）主振型(柔则，用刚度系数表示的主振型为：平衡方程：（2）主振型(刚度法)13.4.3主振型及主振型的正交性两种方法是等价的则，用刚度系数表示的主振型为：平衡方程：（2）主振型(刚度法（3）主振型的正交性13.4.3主振型及主振型的正交性m1m2运动方程：按振动时：位移与加速度同时达到最大，因此可以看作是最大惯性力产生的静位移。作自由振动时，体系上承受的是惯性力。准备1：（3）主振型的正交性13.4.3主振型及主振型的正交性m113.4.3主振型及主振型的正交性准备2：功的互等定理。1212在梁上先作用P1,再作用P2,整个过程中体系做的功为：在梁上先作用P2,再作用P1,整个过程中体系做的功为：

1号力在2号力引起的位移上做的功功的互等定理2号力在1号力引起的位移上做的功13.4.3主振型及主振型的正交性准备2：功的互等定理。1（3）主振型的正交性用功的互等定理来证明。第一主振型第二主振型功的互等定理整理得：第一正交关系虚功1虚功2Y1(1)Y2(1)m1m2m1m213.4.3主振型及主振型的正交性Y1(2)Y2(2)（3）主振型的正交性用功的互等定理来证明。第一主振型第二主振如何解释正交性？利用第一正交关系1)同乘虚功1＝02)同乘虚功2＝0这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。13.4.3主振型及主振型的正交性如何解释正交性？利用第一正交关系1)同乘虚功1＝02)同[例13.15]求简支梁的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。l/3l/3l/3P=1P=1解：1）求柔度系数2）代入方程求两个根3）自振频率12mmEI13.4.3主振型及主振型的正交性[例13.15]求简支梁的自振频率和主振型，并验证主l/l/3l/3l/3mm4）主振型第一主振型第二主振型5）验证主振型的正交性故满足正交性条件13.4.3主振型及主振型的正交性l/3l/3l/3mm4）主振型第一主振型第二主振型5）验证利用对称性另解：若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算。l/3l/3l/312mmEIl/31l/91解：1）简化2）图乘3）自振频率对称反对称13.4.3主振型及主振型的正交性利用对称性另解：若结构本身和质量分布都是对称的，则主13.5.1柔度法13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动13.5.2刚度法13.5.1柔度法13.5两个自由度体系在简谐荷载下13.5.1柔度法简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动柔度法（1）建立振动微分方程Py1y2tPqsintPqsin位移方程（2）动位移的解答及讨论齐次解（）＋特解（）设特解：13.5.1柔度法简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动柔度法（1方程的解：其中：讨论

1)当时静荷载作用2)当时来不及反应3)当时且不全为零时共振13.5.1柔度法振幅：方程的解：其中：讨论1)当时静荷载作用2)当时来不（3）动内力幅值的计算由Y1、Y2值可求得位移和惯性力位移：惯性力：外荷载：惯性力幅值PI1I212叠加公式动内力有正负号，叠加要注意！13.5.1柔度法位移、惯性力和荷载同时达到幅值，动内力也同时达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，按静力法求解（3）动内力幅值的计算由Y1、Y2值可求得位移和惯性力位移[例13.17]求图示结构质点1和2点的动位移幅值和动弯矩幅值图。已知：l/4l/2l/412m1m2EItPqsin

I1=1

I2=1解：1）求柔度系数2）求频率自振频率荷载频率13.5.1柔度法[例13.17]求图示结构质点1和2点的动位移幅值和动弯3）计算4）位移、惯性力幅值13.5.1柔度法3）计算4）位移、惯性力幅值13.5.1柔度法5）求质点1、2处弯矩幅值P0.6808P120.6051P120.3530Pl0.2185Pl6）质点1在两自由度体系中没有统一的动力系数13.5.1柔度法5）求质点1、2处弯矩幅值P0.6808P120.6051P本章结束。本章结束。

13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和动力自由度

13.1.2动力荷载的分类

13.1.3动力计算的自由度13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和13.1.1动力计算的特点

结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。（1）地震现场录像（2）地震振动台实验录像例如地震荷载：13.1.1动力计算的特点结构动力学：研究结构在动力荷动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）Tacoma大桥风毁录像（2）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：13.1.1动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）T用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由振动记录用于教学演示的铝质模型的自由有机玻璃模型的自由振动记录用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的用于教学演示的有机玻璃模型的自由振动记录铝质模型的自由振动记录有机玻璃模型的铝质模型的自由动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应

（自由振动）

（受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力

√动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！建立微分方程，13.1.1动力计算的特点

？？如何考虑动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机荷载P(t)tPt简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载1爆炸荷载2突加荷载地震波一般周期荷载13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机

求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。本课程主要任务是：

安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规范的许可值)。13.1.2动力荷载的分类可靠性设计依据：建筑抗震设计原则结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。

动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。mE、A、I、R体系振动自由度为？无限自由度(忽略)三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m例：简支梁：13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某些位置。无限

有限例1：2EIEIEIy(a)单自由度y1y2(b)两个自由度例2：13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某θ(t)(c)三个自由度(d)无限自由度13.1.3动力计算的自由度例3：u(t)v(t)例4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响θ(t)(c)三个自由度(d)无限自由度13.1.3动力计集中质量法几点注意：

1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点两个DOF两个质点一个DOF两个质点三个DOF

2）体系动力自由度与其超静定次数无关。

3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3动力计算的自由度改变集中质量法几点注意：1）体系动力自由度数不一定等于质量数。水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m32个自由度自由度与质量数

不一定相等y1y2y1y3y2y3y4y1y2水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m313.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单自由度体系的自由振动

13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率13.2.4阻尼对自由振动的影响13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单一、自由振动（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）1.自由振动产生原因——

体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。

静平衡位置m获得初位移ym获得初速度2.研究单自由度体系的自由振动重要性（1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。（2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性

——自振频率和振型

13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立一、自由振动（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对象：自由振动

初始位移初始速度同时作用y(t)kmym模型2隔离体理解两模型中

“k”

含义mky模型1“弹簧－小车”ky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对建立自由振动的微分方程:

两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

1δ建立方程1）刚度法：以质量为隔离体模型2模型1刚度系数k柔度系数δ

概念理解

kyy13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡建立自由振动的微分方程:

两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

建立方程2）柔度法：M点位移ykyky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立惯性力建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡建立方程1）刚度法：mky以质量为隔离体13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程1）刚度法：mky以质量为隔离体13.2.1单自由建立方程2）柔度法：mky以梁为对象建立位移方程ky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程2）柔度法：mky以梁为对象建立位移方程ky13.2（1）刚度法

——研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程，需要用到刚度系数。▲

方法小结（2）柔度法

——研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，

需要用到柔度系数。刚度法柔度法（3）方法选择谁较简单？谁较容易求得。取决于结构的柔度系数刚度系数超静定结构，查表（形常数）静定结构，图乘法求δ顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！（1）刚度法——研究作用于被隔离的质量上的力，建立▲原方程：通解为：由初始条件：解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答原方程：通解为：由初始条件：解为：T0y(t)ty0-y0化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：相比较得：则：振幅T0y(t)t自由振动总位移：初始相位角13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：相比较得：则13.2.3结构的自振周期和自振频率由式:可知时间经

后，质量完成了一个振动周期。用T

表示周期，周期函数的条件:

y(t+T)=y(t)1)自振周期计算公式：2)自振频率计算公式：秒内的振动次数用

表示圆频率：用

表示频率：每秒钟内的振动次数13.2.3结构的自振周期和自振频率由式:可知时间经泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/2l/4解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）[思考]

比较图示结构的自振频率l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b)(c)(a)<(b)<(c)13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl[例13.5]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。LEIEIEILmmM图L/2P=1/22L/2EIEIEI13.2.3结构的自振周期和自振频率P=1[例13.5]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作13.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0y(t)tmky=0c2)考虑阻尼阻尼是客观存在的

振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。

（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力

（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼13.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0yy(t)mykykmc有阻尼模型建立动平衡方程标准化得:其中:——

称为阻尼比二阶常微分方程可变为：设特解为：特征方程为：解为：（1）令：则代数方程解：讨论:13.2.4阻尼对自由振动的影响y(t)mykykmc有阻尼模型建立动平衡方程标准化得:其中讨论:小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动讨论:小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动则微分方程通解为：也可:tyykyk+1tkT1)是一种衰减振动2)对自振频率的影响

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1此时，阻尼的影响可以忽略。讨论:实部初始条件虚部13.2.4阻尼对自由振动的影响则微分方程通解为：也可:tyykyk+1tkT1)是一种衰减讨论:阻尼对自由振动的影响1)是一种衰减振动讨论:阻尼对自由振动的影响1)是一种衰减振动讨论:阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动衰减速率的影响如图右2)对自振频率的影响

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1此时，阻尼的影响可以忽略。具有四种阻尼水平体系的自由振动讨论:阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动2)对自振频率的3)对振幅的影响

振幅为

随时间衰减相邻两个振幅的比。13.2.4阻尼对自由振动的影响3)对振幅的影响振幅为随时间衰减相邻两个振幅13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立13.3单自由度体系的强迫振动

13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响13.3.5有阻尼时的杜哈梅积分13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立13.3

强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动13.3.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立以一悬臂柱为例：mky模型1y(t)kmym模型2隔离体1）柔度法：以柱子为对象2）刚度法：以质点为对象等效弹簧－小车ky建立方程强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动13.3.1单自由13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应

简谐荷载：解的形式：

运动方程：齐次解：特解：由初始条件确定。其中：是一个二阶常系数非齐次微分方程方程通解：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应简谐荷载：解的13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应方程全解：由初始条件确定，若：其中：方程通解：按结构的自振频率振动，由于阻尼的存在是过渡阶段。按动力荷载的频率振动，是平稳的振动阶段。13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应方程全解：由初始条

平稳阶段：

动力系数：1023123

共振静位移最大动位移13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应平稳阶段：动力系数：1023123共振静位移最[例13.9]

如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4，I=726.7cm3，E＝2.1×108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n＝400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。Psinθt2.5m2.5mEIQ1)自振频率：解:2)荷载频率：3)动力系数：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应θtP=[例13.9]如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=14)跨中截面最大正应力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应解释：惯性力与简谐力同时达到最大惯性力与简谐力的最大值为：4)跨中截面最大正应力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和Δttτt't't0t瞬时冲量t13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应基本思路：视为P(t)tτ(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零t时刻τ的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应微分冲量13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应一般动荷载的动力反应:杜哈梅积分初始位移y0和初始速度v0为零P(t)tτ(Duhamel积分)初始位移y0和初t（1）突加荷载

P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst举例说明13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应动力系数：（1）突加荷载P(t)tPoysty(t)ωt0π2（2）短时荷载

P(t)tPou1）方法一：13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：直接采用

Duhamel

积分

阶段Ⅱ

(t>u)：（2）短时荷载P(t)tPou1）方法一：13P(t)tPou

阶段Ⅱ

(t>u)：体系以作自由振动。2）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：P(t)tPou阶段Ⅱ(t>u)：体系以3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPu1)当0<ｔ<u2)当ｔ>u13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应P(t)tPu3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)y(t)ωt0π2π3π讨论主要针对u展开ystT/21）当u>T/2，最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当0<u<T/2，最大动位移发生在阶段Ⅱβ1/611/22动力系数反应谱β(T,μ)13.3.3一般荷载作用下结构的动力反应最大动反应的求解：y(t)ωt0π2π3π讨论主要针对u展开ystT/21）当13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图:

建立平衡方程：简谐荷载：方程的解：

齐次解（）＋特解（）振幅：y(t)kmym隔离体设特解：动力系数：相位角：13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图:4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0动力系数反应谱1）当或时，可以不考虑阻尼的影响静荷载位移为02）当时，阻尼作用明显共振：共振区13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.[例13.10]

前提同例13.2，当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。解:由[例13.2]已求出

k=12×103kN/mWP0sinθt1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：13.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应在共振区[例13.10]前提同例13.2，当机器运转产生P0解:由[例13.2]已求出1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：[例13.14]

当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min,考虑阻尼的影响,求振幅及地基最大压力。WP0sinθt在共振区13.3.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响解:由[例13.2]已求出1)荷载频率:2)动力系数：3)13.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.4两个自由度体系的自由振动13.4.2频率方程和自振频率13.4.3主振型及主振型的正交性13.4.4两个自由度体系自由振动方程的一般解13.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立（1）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、不等高排架等（2）为满足计算精度的要求烟囱、高耸建筑物等

基本方法刚度法：柔度法：按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立（1）因结构特征（1）柔度法y1y2（m1m211d1212建立方程：13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立柔度系数：注意柔度系数物理意义（1）柔度法y1y2（m1m211d1212建立方程：13.（2）刚度法质量隔离体m2m1列平衡方程：12如何确定？13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立y1y2（m1m2弹性力惯性力（2）刚度法质量隔离体m2m1列平衡方程：12如何确定？13刚度系数:k12k11k21112k12k22112得到运动方程：注意物理意义13.4.1两个自由度体系自由振动方程建立刚度系数:k12k11k21112k12k22112得到运动13.4.2频率方程和自振频率设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：（1）柔度法微分方程：（2）求得：（1）把（1）式、（2）式代入微分方程：13.4.2频率方程和自振频率设各质点按相同频率和初相13.4.2频率方程和自振频率齐次线性方程组:非零解频率方程关于λ的二次代数方程得：系数行列式应等于零13.4.2频率方程和自振频率齐次线性方程组:非零解频率方方程两正根为:自振频率13.4.2频率方程和自振频率第一频率（基频）第二频率方程两正根为:自振频率13.4.2频率方程和自振频率第一频（2）刚度法微分方程：设解为：13.4.2频率方程和自振频率（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：（2）刚度法微分方程：设解为：13.4.2频率方程和自振频频率方程：齐次线性方程组：自振频率：1