电磁场与电磁波：环量强度和旋度计算公式的另一种推导方法

环量强度和旋度计算公式的另一种推导方法摘要：多数电磁场理论教材在讨论旋度的计算公式时，一般都是直接计算yz、xz和xy坐标面上的环量强度，分别作为旋度的3个分量。这种处理方法是基于这样一个事实：某方向上的环量强度等于旋度在该方向上的投影。而这一事实应该是结论而不是前提，因此这种讨论方法不太便于学生理解。本文根据环量强度定义导出环量强度的计算公式，再根据旋度的定义导出旋度的计算公式，由此证明了环量强度和旋度的投影关系，并利用投影关系和旋度的定义证明了斯托克斯定理。这样一种讨论过程大大较低了学生对旋度知识的学习难度。引言 旋度和斯托克斯定理作为电磁场理论中的基本数学算符和定理，是矢量分析的基本概念和定理，如何加深学生对它们的理解，在很大程度上决定了学生是否能熟练掌握矢量分析的知识，也决定了学生是否能自如地应用矢量分析的方法来解决电磁场问题。多数电磁场理论的教材[1][2]在讲解这部分内容的时候，为了得到旋度的计算公式并证明斯托克斯定理，事先认定这样一个命题：某方向上的环量强度等于旋度在该方向上的投影。该命题并不是一目了然的，事实上，很多学生一开始就会对该命题发生质疑。为了便于学生理解，本文提出一个讨论过程：根据环量强度定义导出环量强度的计算公式，再根据旋度的定义导出旋度的计算公式，以此证明了环量强度和旋度的投影关系，并利用投影关系和旋度的定义证明了斯托克斯定理。这个讨论过程顺利成章，有助于学生对这些知识的理解。环量强度 定义：在矢量场F中的任一点M处作一面元ΔS，取en为此面元的法向单位矢量，当面元ΔS保持以en为法线方向而向点M处无限缩小时，极限 (1)称为矢量场F在点M处沿方向en的环流面密度。图1M点处法向为en的 下面推导环量强度在直角坐标系下的计算公式。如图1所示，为了便于计算，假定面元的围线C是一个以M点为中心的平行四边形，由向量a、b、-a和-b相连而成。显然，矢量场在C上的环量等于每边中点的场矢量与该边向量的内积之和，即(2)每边中点的场矢量可以根据多元函数的差分公式，用M点的场矢量及其每个分量的梯度来表示，因此(3)把(3)代入(2)右端第一式 (4)同理，(2)右端第二式可以写为 (5)把(4)和(5)代入(2)式右端(6)把(6)代入(1)得到环量强度在直角坐标系下的计算公式(7)3.旋度和斯托克斯定理定义：矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作rotF（或记作curlF），它的方向沿着使环量强度取得最大值的面元法线方向、大小等于该环量强度的最大值，即(8)式中en是环流面密度取得最大值的面元正法线单位矢量。 其中是en与的夹角，而与en无关。若en与的方向一致，rotnF=rotnF|max=|G|，因此由(8)式有 (9)由(7)式，有 (10) 由(1)和(10)式可以证明斯托克斯定理。为此，将曲面S划分成许多小面元，如图2所示。对每一个小面元，沿包围它的闭合路径取F的环流，路径的方向与大回路C一致，并将所有这些积分相加。可以看出，各个小回路在公共边界上的那部分积分都相互抵消，因为相邻小回路在公共边界上积分的方向是相反的，只有没有公共边界的部分积分没有抵消，结果所有沿小回路积分的总和等于沿大回路C的积分，即图2曲面S上的面元 对沿每一个小回路的积分应用式（1）和（10）式，得 ……这样就证明了斯托克斯定理 4.结束语 本文根据环量强度定义导出环量强度的计算公式，再根据旋度的定义导出旋度的计算公式，以此证明了环量强度和旋度的投影关系，并利用投影关系和旋度的定义证明了斯托克斯定理。这个讨论方法对讲授和学习电磁场理论的老师和学生应该很有帮助。参考文献：1KennethR.Demare