2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题及答案

word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。设M(a,2—a,0)(0<aW2)，则AM=(a,4—a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由AP・n=0,AM・n=0得J2y+2娱=0Iax+(4一a)y=0可取n=(*3(a一4),i3a,—a)，2>/3(a—4)23(a—4)2+3a2+a2由已知可得lcos・；OB,n}所以2忑\a-41_逅2、：3(a—4)2+3a2+a22.解得a=—4(舍去),所以n=(8^/34a/3-1)又PC=(0,2,—^.3)，所以cos所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．解：(1)当a=1时，f(x)>1等价于(x2+1)e-x—1<0.设函数g(x)=(x2+1)e-x—1，贝yg'(x)=—(x2—2x+1)e-x=—(x—1)2e-x.当x丰1时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+8)单调递减.而g(0)=0，故当x>0时，g(x)<0，即f(x)>1.(2)设函数h(x)二1-ax2e-x.f(x)在(0,+8)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+8)只有一个零点.当a<0时，h(x)>0,h(x)没有零点；当a>0时，h'(x)=ax(x一2)e-x.当xe(0,2)时，h'(x)<0；当xe(2,+8)时，h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.4a故h(2)—1-是h(x)在［0,+8)的最小值.e2若h(2)>0，即a<—，h(x)在(0,+8)没有零点；4若h(2)二0，即a=—，h(x)在(0,+8)只有一个零点；4若h(2)<0，即a>—，由于h(0)二1，所以h(x)在(0,2)有一个零点,4所以TOC\o"1-5"\h\z由(1)知，当x>0时，ex>x2，所以\o"CurrentDocument"16a316a316a31h(4a)=1-=1->1-=1->0.e4a(e2a)2(2a)4a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+8)有两个零点.综上，f(x)在(0,+8)只有一个零点时，a=二.422．解：曲线C的直角坐标方程为羊+二=1•416当cosQH0时，l的直角坐标方程为y二tana-x+2-tana,当cosa=0时，l的直角坐标方程为x=1.将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t一8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为ti，t2，则t+t=0．124(2cosa+sina)又由①得t+1=-，故2cosa+sina=0，于是直线l的斜率121+3cos2ak=tana=一2．23．解：2x+4,xW—1,当a=1时，f(x)=<2,—1<x<2,—2x+6,x>2.可得f(x)>0的解集为{x1—2<x<3}.f(x)<1等价于|x+a|+|x—2|>4.而|x+a|+|x—2|>|a+2|，且当x=2时等号成立.故f(x)<1等价于|a+2|>4.由丨a+2|>4可得a<—6或a>2，所以a的取值范围是(—®—6]U[2,+^).(2)求S，并求S的最小值．nn18．(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y=-30.4+13・5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2,…，2****7)建