数学分析III复习精简版

word文档可自由复制编辑内容概要第一型曲线积分被积函数是否满足曲线方程（P2131(7)）。利用对称性;(3)利用公式：设光滑，在上连续，则，注意：下限小于上限。可视为；可视为；可视为，此时；，也有相应的公式。相关习题：P213EXIP222EX1第二型曲线积分（与方向有关）(一)计算公式利用对称性。利用公式。（适用：被积函数比较简单，曲线方程比较容易写出。）设光滑，，在上连续，则，注意下限对应起点，上限对应终点。可视为；可视为；可视为；，，也有相应的公式。利用格林公式（平面曲线）。（作用：对降次；特别适用于是常数。），其中是的边界曲线，取正向(外逆内顺)；这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用格林公式计算曲线积分时，有时需要添加曲线使成为某区域的边界。利用斯托克斯公式（空间曲线）。（作用：对降次。）

，其中是的边界曲线，取右手法则；这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用斯托克斯计算曲线积分时，有时需要添加曲线使成为某区域的边界。相关习题：P213，P222EX1(5，6)P244ex1P244EX2(1)P254ex2(2)面积积分转化为第二型曲线积分P244ex5ex6积分与路径无关，求原函数(二)平面曲线积分与路径无关性设是平面曲线，起点为，终点为。利用“牛-莱公式”。若存在，使得在上，，则。采用特殊路径，一般取折线，其中（或），即。此时需要先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。(三)空间曲线积分与路径无关性设是空间曲线，起点为，终点为。利用“牛-莱公式”。若存在，使得在上，，则。采用特殊路径，一般取折线，其中，，即。此时需要先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。(四)求原函数求的原函数。先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。固定（一般取），设动点，则原函数，其中经常取折线，（或），故。求的原函数。先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。固定（一般取），设动点，则原函数，其中经常取折线，其中，，故。二重积分（第二十一章）利用对称性；利用极坐标（包括广义极坐标、极坐标平移）。适用：被积函数或积分区域中含有。公式：设，且，则。注意有Jacobi行列式。又分为4种情形：（I）且是型，此时，。（II）且是型，此时，。（III），此时，。（IV），此时，这里，。（广义极坐标中，。）分解成型区域或型区域。若，则。若，则。利用一般变量变换。公式：设，且，则，注意是Jacobi行列式的绝对值。利用格林公式。（适用：求区域的面积且的边界用参数形式给出。），其中取正向。若可视为，此时，。应用：区域的面积。三重积分利用对称性;利用球坐标（包括广义球坐标、球坐标平移）适用：被积函数或积分区域中含有。公式：设，且，则。注意有Jacobi行列式。三个变量的几何意义：表示动点到原点的距离；表示轴正向到动点向量的夹角；表示轴正向到动点在面投影向量的夹角。（广义极坐标中，。）投影到坐标轴。（适用：被积函数为常数或只跟一个变量有关，截面面积易求。）投影到坐标平面。利用一般变量变换。利用高斯公式。应用：立体的体积。第一型曲面积分被积函数是否满足曲面方程（P2821(3)）。利用对称性。利用公式：设光滑，在上连续，则。与也有相应的公式。步骤：一投：例如投影到面。写出投影区域，同时确定函数；二换：；三代：。参数形式：设，则，其中。第二型曲面积分（与侧有关）利用对称性。利用高斯公式。，其中是的边界曲面，是封闭曲面，取外侧；这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用高斯公式计算曲面积分时，若不封闭，需添加曲面使其封闭。利用公式。设光滑，在上连续，取的上侧，则。设光滑，在上连续，取的前侧，则。设光滑，在上连续，取的右侧，则。步骤（以为例说明）一投：写出投影区域，同时确定函数；二代：。三定号：确认的侧。参数形式：设，则；；，其中对应的两侧，当由所确定的曲面法向量正向与所指定侧的法线正向一致时，取正号；相反时，取负号。例如，对，任取，若且在的法线正向指向轴正向，则取正号。习题精选(按章节顺序)P213第二十章第一小节练习题EX1(第一型曲线积分)Ex1（1）计算，其中是以为顶点的三角形。解：，，则。Ex1（4）计算，其中为单位圆周。解：由对称性，，其中，即，则。Ex1（6）计算，其中是曲线的一段。解：。Ex1（7）计算，其中是与相交的圆周。解：在上，，则。Ex1（2）计算，其中是原点为中心，为半径的右半圆周。解：在上，，则。Ex1（3）计算，其中为椭圆在第一象限中的部分。解：，则。Ex1（5）计算，其中为螺旋线的一段。解：。P222第二十章总练习题（第一型曲线积分）Ex1（1）计算，其中是由和所围的闭曲线。解：由得交点，设，则抛物线，直线，故。Ex1（2）计算，其中为双纽线。解：由对称性，，其中。把代入得，则，且故。Ex1（3）计算，其中为圆锥螺线。解：。Ex1（5）计算，是抛物线，从到的一段。解：。P235(第二十一章第二小节习题：二重积分)Ex3（1）计算，其中由抛物线与直线所围成的区域。解：。Ex3（2）计算，其中。解：。Ex3（3）计算，其中为P235图21-9中阴影部分。解：图中上边界曲线即，故。Ex3（4）计算，其中。解：由于，故（令）。Ex4求由坐标平面及所围柱体的体积（用二重积分表示体积）。解：设所围立体为，在面上的投影，则P244（第二十一章第三小节：用green公式）Ex1（1）计算，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：令，则，。设所围成的区域为，由于，，，故。由格林公式，。（也可直接用参数方程的公式。）Ex1（2）计算，其中是为常数，为由以到经过圆上半部的路线。解：记直线，则。记，设所围成的区域为。令，则，。由格林公式，。故。P244(第二十一章第三小节练习：二重积分表示面积)Ex2（1）计算由星形线：所围的平面面积。解：记星形线为，所围成的平面图形为，则。Ex2（2）计算由双纽线：所围的平面面积。解：设所围平面图形为，由对称性，，其中为所围平面图形。把代入得，则故。【解法二】：设所围平面图形为，由对称性，，其中为在第一象限部分。把代入得，则。Ex5验证下列积分与路线无关，并求其值。Ex5（1）。解：由于，，则，故在中，积分与路径无关，且。Ex5（2）。解：由于，，则，故在中，积分与路径无关，且。Ex5（3），沿在右半平面的路线。解：由于，，则，故在右半平面中，积分与路径无关，且。Ex5（4），沿不通过原点的路线。解：由于，，则，故在不包含原点的区域中，积分与路径无关，且。Ex5（5），其中为连续函数。解：由于，，则，故在中，积分与路径无关，且。Ex6下列全微分的原函数（原函数可以用猜微分法，见课堂笔记）。Ex6（1）。解：令，则,，则在单连通区域中，积分与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则，，故，因此原函数。Ex6（2）。解：令，则，,,,则在单连通区域中，与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则，，故，因此原函数。Ex6（3）。解：令，则,，则在在不包含原点的单连通区域中，积分与路径无关。由于，则原函数，其中。注：空间曲线与路径无关性和原函数见P310ex5和ex6，下文。P254（第二十一章第四小节练习：二重积分变量变换）Ex2（1）计算，其中。解：设，则，故。Ex2（2）计算，其中。解：由于，设，则，故。Ex2（3）计算，其中为圆域。解：由对称性（区域对称，对称点的函数值相等），，其中。设，则，故。Ex2（4）计算，其中为圆域。解：设，则，故。Ex4（1）计算，。解：设，则，且，故。Ex4（2）计算，。解：设，则，且，故。Ex5（2）求由曲面和所围的立体的体积。解：由可得或。当时，平面截的截面是椭圆环，外椭圆为，内椭圆为，面积为，故。Ex6（1）计算由曲线：所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，则。设，则，，故且，因此。Ex6（2）计算由曲线：所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，由对称性，,其中为在第一象限部分。把代入得，则。Ex6（3）计算由曲线：所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，由对称性，,其中为在第一象限部分。把代入得，则。P254（第二十一章第四小节练习：三重积分表示体积）Ex5（1）求由曲面和所围的立体的体积。解：在面上的投影，则设，则，故。P235Ex4求由坐标平面及所围的角柱体的体积。P264(第二十一章第五小节练习：三重积分)Ex1（1）求由坐标平面及所围的角柱体的体积。解：设所围立体为，在面上的投影，则。计算，其中。解：。Ex1（2）计算，其中。解：。Ex1（3）计算，其中是由与三个坐标面所围成的区域。解：在面上的投影，则。Ex1（4）计算，其中是由及所围成的区域。解：在面上的投影，则。Ex3（1）计算，其中由和所围成的区域。解：由可得。当时，平面截的截面是圆；当时，平面截的截面是圆，则。Ex3（2）计算。解：本题可视为函数在上的三重积分。在面上的投影，设，则，故。Ex4（1）计算由曲面所围的立体体积。解：设所围立体为，在面上的投影，则。Ex4（2）计算由曲面所围的立体体积。解：设所围立体为，当时，平面截的截面是直角三角形，两直角边长分别为与，则。P311(第二十二章第三节练习：用第二型曲面积分计算三重积分)Ex2计算，其中是由与所确定的空间区域。解：令，则。由高斯公式，。其中是的表面，取外侧。设，其中。，，这里；。，这里。因此。【解法二】：在面上的投影，。P296（第二十二章第一小节：第一型曲面积分）Ex1（1）计算，其中是上半球面。解：由对称性，。又，，，则。Ex1（2）计算，其中为立体的边界曲面。解：设，，，，，由于，则，设，则，故。Ex1（3）计算，其中为柱面被平面所截取的部分。解：在上，，则。Ex1（4）计算，其中为平面在第一卦限中的部分。解：，，则。P221（第二十章第二小节练习:平面曲线）Ex1（1）计算，其中：(I)沿抛物线，从到的一段；(II)沿直线段；(III)沿封闭曲线，这里。解：(I)。(II)。(III），，,。（(III）也可用格林公式。）Ex1（2）计算，其中为摆线沿增加方向的一段。解：。Ex1（3）计算，其中为圆周，依逆时针方向。解：，则。Ex1（4）计算，其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向。解：设为曲线，为直线，则。Ex1（5）计算，其中：从到的直线段。解：，则。P222（第二十章总练习题）Ex1（4）计算，为以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点。解：，则。Ex1（6）计算，是维维安尼曲线，若从轴正向看去，是沿逆时针方向进行的。解：把代入，得，则，故（奇函数），，（奇函数），故。P244（第二十一章第三小节：用green公式）Ex1（1）计算，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：由格林公式，。Ex1（2）计算，其中是为常数，为由以到经过圆上半部的路线。解：记直线，则。记，设所围成的区域为。由格林公式，。故。P311(第二十二章第三小节空间曲线积分：高斯公式与斯托克斯公式)Ex3（1）计算，其中为由与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧。解：令，则。设所围成的区域为，在面的投影为，由斯托克斯公式，（由对称性）（由对称性），，故。【解法二】：设为在面的部分，即。由对称性，。Ex3（2）计算，其中为所交椭圆的正向。解：令，则。设所围成的区域为，则在面的投影面积为0，由斯托克斯公式，。【解法二】：把代入，得，故。P304（第二型空间曲面积分）Ex1（1）计算，其中为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。Ex1（2）计算，其中是以原点为中心，边长为的立方体表面并取外侧为正向。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。Ex1（3）计算，其中是由平面和所围的四面体表面并取外侧为正向。解：设，其中，在面的投影。由对称性，。【解法二】：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，，当时，平面截的截面是直角三角形，两直角边长分别为与，则，由对称性，，故。Ex1（4）计算，其中是球面的上半部分并取外侧为正向。解：设，取右侧；，取左侧，其中，则。设，则。故（令）。【解法二】：记平面，取下侧，则。记，设所围成的区域为。令，则。由高斯公式，，当时，平面截的截面是圆，则，故。Ex1（5）计算，其中是球面并取外侧为正向。解：设，取上侧；，取下侧，其中，则。设，则。故，同理可得，故。【解法二】：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，，当时，平面截的截面是圆，则，同理可得，，故。P310（空间封闭曲面积分--高斯公式）Ex1（1）计算，其中是单位球面的外侧。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。Ex1（2）计算，