空间向量的加减数乘运算练习题集

空间向量的加减数乘运算练习题集空间向量的加减数乘运算练习题集空间向量的加减数乘运算练习题集资料仅供参考文件编号：2022年4月空间向量的加减数乘运算练习题集版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：课时作业(十四)eq\a\vs4\al([学业水平层次])一、选择题1．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A.【答案】A2．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D【解析】eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，eq\o(BA,\s\up12(→))＝－eq\o(AB,\s\up12(→))＝－a－2b，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝－2eq\o(BA,\s\up12(→))，∴eq\o(BD,\s\up12(→))与eq\o(BA,\s\up12(→))共线，又它们经过同一点B，∴A、B、D三点共线．【答案】A3．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up12(→))，则P、A、B、C四点()A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．无法判断【解析】∵eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴点P、A、B、C四点共面．【答案】B4.(2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))表示向量eq\o(BD1,\s\up12(→))的结果为()图3­1­9\o(BD1,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))\o(BD1,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))\o(BD1,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AA1,\s\up12(→))\o(BD1,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))【解析】eq\o(BD1,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝－eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)).故选B.【答案】B二、填空题5．如图3­1­10，已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up12(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E、F，则eq\o(EF,\s\up12(→))＝________(用向量a，b，c表示)．图3­1­10【解析】设G为BC的中点，连接EG，FG，则eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(EG,\s\up12(→))＋eq\o(GF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(a－2c))＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.【答案】3a＋3b－5c6．(2014·哈尔滨高二检测)已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝2xeq\o(BO,\s\up12(→))＋3yeq\o(CO,\s\up12(→))＋4zeq\o(DO,\s\up12(→))，则2x＋3y＋4z的值为________．【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝x1eq\o(OB,\s\up12(→))＋y1eq\o(OC,\s\up12(→))＋z1eq\o(OD,\s\up12(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－17．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up12(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.【解析】由已知可得：eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BD,\s\up12(→))共线，即存在λ∈R使得eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→)).∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝－4λ，))解得k＝－8.【答案】－8三、解答题8．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))＋xeq\o(PC,\s\up12(→))＋yeq\o(PA,\s\up12(→))；(2)eq\o(PA,\s\up12(→))＝xeq\o(PO,\s\up12(→))＋yeq\o(PQ,\s\up12(→))＋eq\o(PD,\s\up12(→)).【解】如图所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(PO,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up12(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝2eq\o(PO,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＝2eq\o(PO,\s\up12(→))－eq\o(PC,\s\up12(→)).又∵eq\o(PC,\s\up12(→))＋eq\o(PD,\s\up12(→))＝2eq\o(PQ,\s\up12(→))，∴eq\o(PC,\s\up12(→))＝2eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(PD,\s\up12(→)).从而有eq\o(PA,\s\up12(→))＝2eq\o(PO,\s\up12(→))－(2eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(PD,\s\up12(→)))＝2eq\o(PO,\s\up12(→))－2eq\o(PQ,\s\up12(→))＋eq\o(PD,\s\up12(→)).∴x＝2，y＝－2.9.如图3­1­11，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))是否共线．图3­1­11【解】∵M、N分别是AC、BF的中点，又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).又∵eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MC,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))＋eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(BN,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).∴eq\o(CE,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋2eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＝2(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→)))，∴eq\o(CE,\s\up12(→))＝2eq\o(MN,\s\up12(→))，∴eq\o(CE,\s\up12(→))∥eq\o(MN,\s\up12(→))，即eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))共线．eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．(2014·郑州高二检测)若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up12(→))＝αeq\o(PB,\s\up12(→))＋βeq\o(PC,\s\up12(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则eq\o(PA,\s\up12(→))－eq\o(PB,\s\up12(→))＝β(eq\o(PC,\s\up12(→))－eq\o(PB,\s\up12(→)))，即eq\o(BA,\s\up12(→))＝βeq\o(BC,\s\up12(→))，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BC,\s\up12(→))，故eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PA,\s\up12(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up12(→))－eq\o(PB,\s\up12(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up12(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up12(→))－λeq\o(PC,\s\up12(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】C2．(2014·雅礼高二月考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq\o(PM,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋7eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(AA1,\s\up12(→))－4eq\o(A1D1,\s\up12(→))，那么M必()A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内【解析】由于eq\o(PM,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋7eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(AA1,\s\up12(→))－4eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(BA1,\s\up12(→))－4eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1A1,\s\up12(→))＋6eq\o(BA1,\s\up12(→))－4eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝eq\o(PA1,\s\up12(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up12(→))－eq\o(PB,\s\up12(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up12(→))－eq\o(PA1,\s\up12(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up12(→))－6eq\o(PB,\s\up12(→))－4eq\o(PD1,\s\up12(→))，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.【答案】C3．已知两非零向量e1、e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】