椭圆的标准方程教案

椭圆的标准方程江苏省金湖中学 潘秀明苏教版普通高中课程标准实验教科书：数学选修2—1教学目标：.知识目标：了解椭圆方程的推导；理解椭圆的两种表示：图形与方程及它们的对应关系（焦点的位置与椭圆方程的形式）；会根据条件判断椭圆并会求出相应的椭圆方程。.能力目标：通过观察、联想、类比等思想方法的运用，培养学生对问题探索的能力，逐步培养学生数学应用建模的意识。.情感目标：通过个人独立探索和团队合作讨论，培养学生良好的相互协作意识；通过对实际问题研究与史料的介绍，培养学生的科研意识。教学重点、难点：椭圆标准方程推导，椭圆的判断及标准方程的应用。教学方法与教学手段：教学方法：教师应创设情境，设置一系列问题，引导学生思考、归纳、总结、反思运用，直至学生对该知识理解并掌握。电教手段：多媒体实验教具：直尺、图片教学过程：2m【创设情境】2m一客户向木器加工厂订购一批椭圆形的木模：木模要求：长4米，宽2米。木工制作演示：方案一、选取两个相距为2J3米的定点，一根长为4米的不可伸长的细线，用墨笔绷紧细线画图（如图2）；方案二、画半径为2的圆，把圆上的每一点沿垂直某一直径的方向缩短为原来的1/2倍（如图3）。（投影flash动画）

【学生活动】问题1:两方案所画图形是客户所要的椭圆吗？能否说出其中的科学的依据？（不要求学生真正理解，目的是为了激起学生探知的欲望，加深定义与图形的联系，提高学生识图的能力，但通过一节课的学习必须让学生知晓其中科学的道理）解决这个问题之前让我们共同回顾以下我们对椭圆最初的认识：一图形：有具体的图象但不精确；二定义：几何描述不便于交流（粗略介绍以下圆锥曲线几何大师一一阿波罗里奥斯，但流传下来资料很少，一个重要的原因几何描述不便于交流）。方案一：对比定义我们知道该图是椭圆，而方案二：我们只能从形上得出该图可能是椭圆，无法用目前的椭圆定义作出确切的判断。上述木工制作：椭圆呈现是几何形态的，故我们是否能把椭圆的形转化为数即我们所熟知数形结合，用更为简洁明了数学表示方式一一方程来表示椭圆，这样便于记录，流传。事实上许多小到温馨的生活的物件如：椭圆形的木桶、镜子、纽扣、装饰；大到精确的科学仪器和科学实验如:放映机的聚光灯泡的反射镜、结石碎石机的工作原理、地球围绕太阳运行的轨道（投影图片）。从温馨的生活场所到科技重地到处充斥着椭圆。为更好地研究创造这些我们就必须了解、掌握这些必要的数学知识一一椭圆的标准方程（板书课题：椭圆的标准方程）。只有熟练掌握椭圆的标准方程我们才能更好地设计、更好研究椭圆的性质。【问题建构】问题2：形如何向数转化呢？（让学生讨论形数结合的感受，感受形数结合的必要性）方法：坐标化原则：简洁对称步骤：建系、取点；列式（几何、代数）；代换；化简；证明（可省）要求条理清晰）分析：从定义（几何性质）入手突出： y1、如何建系：（让学生从美的原则出 一弓七2发感受轴对称、中心对称的完美 ^f^q^^F'x性，处理问题时要保持完美性协 2cjx调，忌破坏。）

以焦点F1,F2所在直线为x轴，线段FR的中垂线为y轴，则F1（-c,0）,F2（c,0）设椭圆上一点P（x,y）。2、如何求椭圆的标准方程：（暂且不提标准二字，纯粹从求方程开始）1）明确几何关系：|PF1|+|PF2|=2a2）几何关系代数化：\：'（x+c>+y2+*；（x一c>+y2=2a分析方程的结构及所显示的几何意义（揭示出|\甲>22原因），强调为什么要化简一美化，让学生感受化简的必要性。3）化简关系：（让学生讨论如何化简，突出化简的目的一去根号）常规方法：平方法（x+c）2+y2=4a2-4a（（x-c）2+y2+（x-c）2+y2a2-cx=a（（x-c）2+y2（a2-C2）X2+a2y2=a2（a2-C2）X2 y2——+———=1a2a2-c2注：在化简的过程中，时时注意拓展学生思维，帮助学生学会科学地思考。化简可以从其它两个方面思考：一、分子有理化（有理化的意识）；二、等差中项（数学式子的结构意识）注：①若2a=2c时，化简所得方程与其图形的对比②平方法后得：a--x=（Xx-c）2+y2能说明什么？a,（x-c）2+y2=c（叱-x）_\（x-:）2+y2=c* ac a2 a-xc4）标准方程（分析为什么标准化，它的必要性）x2+2=1（a>b>0）a2b2结合椭圆的图形分析b的引入的科学性【数学理论】1）启发两个问题：（突出a,b,c的几何意义及相互关系几何表示）①椭圆在坐标轴上的截距是（土a,0）,（0,± =）吗？②a,b,c的几何联想是Rt△（变动P的位置使其落在y轴上）吗？2）标准方程的两种形式：①焦点在x轴上：■=l(a>b>0)②焦点在y轴上：（即焦点在x轴的椭圆关于y=x对称。在问题方法上注意与焦点在x轴上的椭圆方程类比，同时注意图形与方程相互联系提高学生的应变能力）T; a2»刊3）总结:①a,b,c哪一个大？它们的几何意义？②焦点在x轴上的椭圆标准方程是，焦点坐标是；焦点在Y轴上的椭圆标准方程是，焦点坐标是。③根式方程是\：'（x+c»+y2+Jx-c»+y2=2a、:'x2+（y+c]+§；x2+（y-c]=2a\；（xc）2+y2=ca2 ac④一般方程：mx2+ny2=1（m,n£R+,mWn）目的：培养学生的分析归纳、类比推广的能力，在处理方程方面主要有两层目的，一层是让学生感受椭圆的标准方程的简洁性及字母的几何含义，提升学生

的归纳能力；另一层主要是让学生透过根式的几何意义进一步理解椭圆的定义，提升学生的对椭圆的判断能力。【数学运用】1、判断下列方程是否为椭圆方程。若是，请确定a,b,c值并求出椭圆的焦点坐标。x2yx2y2+ =110064目的：让学生重新认识椭圆另一种表示形个+M=1 25x2+9y2=225 式—方程；掌握椭圆方程的结构及方程4 4- 1-标准化的意识,区别圆与线段的方程形式。7(x-l)2+y2+7(x+l)2+y2=62、回答下列问题。1)椭圆3x2+ky2=3的一个焦点是(0,1)，则k=变:把“焦点(0,1)”改成“焦距为2”2)若方程ax2+by2=c表示椭圆，则有[]A.abc>0 B.ac>0且bc>0C.abc<0 D.ab>0且bc<03)椭圆标准方程是y2/(3-k)-X2/(k-5)=1,且焦点在x轴上的则k的范围是[]A.k>3 B.3<k<5 C.k<3 D.k>5目的：训练学生的椭圆方程的标准化意识。3、已知一个油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程。强调三点：一建标；二根据焦点建模；三根据条件和定义定a,b,c变1：变：已知4ABC的周长为定值，其中A(-3,0),B(3,0),且顶点C的轨迹过点P(0,4),求顶点C的轨迹方程.分析：法1求一般曲线方程法2利用椭圆的定义变2:已知4ABC的周长为定值，其中A,B为定点，在坐标轴上，且关于原点对称，而动点C的轨迹过点P(5,0),Q(0,4),求顶点C的轨迹方程。强调：方法的选择：一方程组解系数；二定义确定系数【回顾反思】（重申椭圆判断方法：形、定义、方程）1）图形1:定义解释图形2（突出圆的压缩变换：演示动化）：方程解释（PJ列2）解决问题的方法：转移法（利用已有的曲线通过某种关系转变为另一种曲线）解题的步骤：1）设点（所求曲线的点与对应已知曲线上的点）2）找关系3）带入已知方程化简4）判断曲线2）情境变题主要围绕椭圆标准方程的应用展开：图形的方程：X2/4+y2=1变1：若该椭圆上的点P到左焦点的距离是3,则点P到右焦点的距离是.变2：若该椭圆上的点P的横坐标1，则点P到右焦点的距离是.变3：椭圆上一点P，F「F2分别是左右焦点，则△PF£的周长.Q是椭圆上另一点，且PQ过F,则APf^F的周长__.1 2目的：主要训练学生认识椭圆标准方程与椭圆的定义的等价关系，及相互转化关系。【本课小结】1）你可以从那几个方面来判断某曲线是否为椭圆？提示：一形似；二定义（根本）；三方程（标准与根式）2）你认为椭圆的标准方程有哪些优越性？（数形结合）3）你认为求椭圆方程主要把握那几个方面？提示：焦点定标准方程的类型；椭圆的定义的量与a,b,c的关系4）解决问题重点强调两个方面：提示：一确认解决问题的知识；二确认解决问题的方法【课后作业】1、练习P281（2）（4）、2（2）、习题2（3）（4）、3、42、阅读2.2.2结合椭圆方程阅读椭圆的几何性质【板书设计】一回顾：椭圆的定义：二新授：椭圆的两种标准方程椭圆的判断方法解决问题两个方面课题:椭圆的标准方程椭圆的标准方程推导例题、习题评析区投影区课堂小结教学设计说明：数学新知的传授无论情境如何新颖，教法如何创新，形式如何火热，我认为教学的第一要义必须建立在把基本知识和基本方法平实地传授给学生的基础之上，同时更要时时关注学生应用建模的意识，有了这种意识学生才能从思想上解决如何学好数学，才能体现学生学习数学目的。故本课从生活制作椭圆木桶入手，从形到数，从具体到抽象平实地介绍生活中所隐藏的数学知识，以期激发学生学习椭圆的兴趣，潜意识地引导学生认识研究椭圆方程的必要性。为巩固这种探究的“火花”，设计从古到今，从细小生活物件到科技重地卫星和行星轨道的定位再次强调研究椭圆方程的必要性。而在椭圆方程的推导过程中始终强调两种意识：一是如何形数互化，这里的重点是等价意识，着力培养学生善于思考问题的习惯，处理问题的科学方法；二是结果的简洁实用，这里重点是美化意识，提升学生对生活的审美情趣。同时在这一过程中时时注意培养学生数学联想的能力，加速前后知识的融合。在对知识理解应用方面着重从两个方面入手