两点间距离公式

两点间距离公式在平面内：设A(X1,Y1)、B(X2,Y2),贝UlAB|=”[(X1-X2)“2+(Y1-Y2)“2]="(1+k2)|X1-X2|,或者|AB|=|X1-X2|seca=|Y1-Y2|/sina,其中a为直线AB的倾斜角，k为直线AB的斜率。在空间中：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)|AB|=V[(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2)]证明很简单，套用两次勾股定理极坐标两点间公式推导设P1(p1,01)P2(p2,02)△OP1P2中由余弦定理|OP1「2+|OP2「2-2|OP1|*|OP2|*cos(01-02)=|P1P2|“2(p1)“2+(p2)“2-2p1p2cos(01-02)=|P1P2「2|P1P2|=”[(p1)“2+(p2)“2-2p1p2cos(01-02)]1.A(0,3)B(-4,0)则点O到AB距离()A(2,1)点P到两坐标轴的距离分别与P到A的距离相等，则点P坐标()M(-2,4)与点N(A,5)距离为更号10,那么A=()A(-2更号2,0)B(-更号2,更号2),那么三角形ABO是什么三角形?()简答题A(-2,3)B(4,-5)求点A关于X轴的C的坐标求线段BC的长求三角形ABC面积在X轴上求点P，使它到点(1,-2)的距离是它到点(-2,1)的距离的两倍已知A(2,0)B(3,1)C(2,2)求三角形ABC形状和面积A(1,1)B(3,-1)试在X轴上找点C，使三角形ABC为直角三角形A(-2,4)B(6,8)试在X轴上找点C,使三角形ABC为等腰三角形答案点O到AB距离为12\5A(2,1)点P到两坐标轴的距离分别与P到A的距离相等，则点P坐标(1,1)或(5,5)M(-2，4)与点N(A，5)距离为更号10，那么A=(1或-5)A(-2更号2，0)B(-更号2，更号2)，那么三角形ABO是什么三角形？(等腰直角)2.利用两点间距离公式求出满足下列条件的实数x的集合:|x-1|+|x-2|>3这个么就是有一条数轴然后就是离1和2的距离的和大于3的就是这道题的解所以就是x大于3或者是x小于0要两点距离公式的话个么就是有(x,0)还有(1,0)(2,0)三个点然后三点的距离就是根号(x-1)2+根号(x-2)2>3

两组异面直线角和距离的公式及应用浙江宁波中学蒋裕源源于教材、高于教材、培养学生综合解决问题能力是广大同行的追求，本文仅就《立体几何》现行教材中一个例题的推广，说明其应用，供读者参考.如图1,anP=AAC仁a,BDcP,AC1ABD1Z,AC与BD和AB与CD是两组异面直线.圈1圈1定理1设异面直线AC,ED所成角为公垂线段AB的长度为由AC=m,BDn,则CD=+m2+n2±2mncos©（人教社《立体几何》课本P.44例2）A|d2+m2+n2-CD2|cosy=Zmnd=^CD2-m2-n2±2mncos©.定理2设a,P所成角为e,AC=m,BD=n，则异面直线AB和CD的距离a=nmsin9-/m2+n2-2mncos9a=证明如图2,过CD作平行于l的平面，与a,P分别交于CN,DM，则DM〃CN〃AB,过A,B分别在a,P内作AB垂线，交DM,CN于M,N,则ZMAC为二面角a—AB—P的平面角，故ZMAC=0.圈£圈£AB±面MAC，又AB〃CN,.■.CN1EMAC,CNu面CD,..•面CD上面MAC,面CDA面MAC=CM,作AH±CM,,\AH±面CD又AH±AB,「•AH是平行的直线AB与面CD间的距离，即异面直线AB与CD间的距离.,「AC=m,CD=n=AM,CM=Jm"+ti"-Nmnizos8,.•日3=——.Vm+n-2mncos©推论当&=对时，d=山二』下面就上述定理的应用，介绍几例.例1如图3,边长为a的正方体ABCD—A1BRD1中,求异面直线AB与AC距离；1求异面直线BD与BC距离.1

解(1)面A^n面AC=AB,AtAc面人罗，BCc面AC且A^lAB,BC1AB,则AB与A1C是异面直线，且面A1B与面AC所成角为90。，由定理2的推论，得此组异面直线距离1(2)EBB1D1D1EBCD,C01BD,而乌日=阻3=驾箱由定理2推论，得异面直线ED与距离例2矩形ABCD的边AD=3,AB=4,例2矩形ABCD的边AD=3,AB=4,沿对角线BD将^ABD折转到△▲BD的位置.1(1)成直二面角，求AC的长;1(2)当A1在面BCD内射影在CD上时，求①AC长；②异面直线AC与BD的距离;11解(1)如图4，在折叠前，作AHXBD，并延长交CD于K，CG±BD，则127AH=CG=写，HG=折叠后，如图W由定理1得AtC=^/A1Hy+CGy+GHTT2A1HCGc0S9O^=(2)①如图6,当A1在面BCD内射影K在CD上时危占上面BCD，%H±BD，所以KH±BD，ZA1HK=a为二面角A】一BD—C的平面角.''

例3等腰RtAABC和Rt^DBC例3等腰RtAABC和Rt^DBC有公共边BC,ZBAC=ZBCD=90°,如图7,以BC为棱折成多少度的二面角时，有AD=CD?ZBDC=60°,解如图8,在左ABD中，设AN=x,AD=CD=1,则BN=ND=BC=73,ab=ac=I由余弦定理得cosZANB=妒;「,1,/+1-：又cw（兀-ZAKD）=一cosZAKD=—

1,设二面角A-BC-D的平面角为P，则R_AM2+MN2-AN2*P=皿g311_4+4~4_「.6=30°.解2设二面角的平面角为贝|JAD=Jam"+CD"+CM"-2AM*CDmsB=CD设8=1,则AM=CM=手，代入上式可得*♦=‘即&=30。.例4已知A,B为直二面角a-l-p的面a,P内的点，且AB长为2,AB与a成45°角，与p成30°角，再作AC±l于C,BD口于D,如图9.求二面角C-AB-D的余弦值.解由题设，ZABC=30°,ZBAP=45°,设AC=1,贝liBC=^/3,AB=2ED=AB=很，作CE1AB,DF1AB,则CE=f,DF=中点，AE=I，EF=!，又8=1,设二面角C-AB-D的平面角为B,由定理1中推论L373373事实上，由假定e为两异面直线所成角，所以。为锐角，当两异面直线所在两半平面所成的二面角为锐角时，则二面角的大小就是两异面直线所成角，当两异面直线所在两半平面所成的二面角为钝角，则二面角的大小等于两异面直线所成角的补角.已知A（1,-2）、B（3,2），则两点间的距离公式和这条直线的斜率分别为什么？（不要过程）在平面内：设A（XI,Y1）、B（X2,Y2），贝UlAB|=寸（X1-X2）八2+（Y1-Y2）A2]=Wl+k2）|X1-X2|,两点间的距离lAB|=2*根号5这条直线的斜率为2点到直线的距离是怎么推导出来这个公式的？点到直线的距离是怎么推导出来这个公式的？我想了解下推导出这个公式的思路；那么在三维空间中，点到直线的距离怎么求呢？有公式吗？答案：点M到直线的距离，即过点M向已知直线作垂线，设垂足为N,则垂线段MN的长即是所求的点到直线的距离。但如何求此线段的长呢？同学们给出了不同的解决方法。方法一：求出过点M且与已知直线aX+bY+c=0（a、b均不为零）垂直的直线方程，而后联立方程组，求出垂足N点的坐标，然后利用两点间的距离公式求