《概率论与数理统计》配套教学全套课件

《概率论与数理统计》2第一章随机事件与概率§1.3古典概型和几何概型§1.1

随机事件及运算§1.4条件概率与乘法公式§1.5独立性§1.2概率及性质重点要点1：

随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件3互为对立事件§1.1

随机事件及运算四种关系：包含、相等、对立、互不相容四种运算：和、积、差、逆四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律4要点2：

事件的关系、运算和运算法则5

包含：事件A发生导致B也发生A是B的子集

相等：事件A与B相等A与B相等

不相容/互斥：事件A与B不相容A与B无公共元素

对立/逆：事件A的对立事件A的余集

和：事件A与B至少有一个发生A与B的并集

积：事件A与B同时发生A与B的交集

差：事件A发生而B不发生A与B的差集记号概率论集合论事件与集合的关系及运算对照6

设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）对偶律（德摩根律）：事件的运算律

A.甲产品滞销，乙产品畅销

B.甲、乙两产品均畅销

C.甲产品滞销

D.甲产品滞销或乙产品畅销D78例2：A,B,C,D四个事件，用运算关系表示下面事件：(1)A,B,C,D至少有一个发生；(2)都不发生；(3)都发生；(4)A,B,C,D恰有一个发生；(5)至多一个发生.解：(1)(2)(3)(4)(5)

9要点：概率的性质

(1)规范性：P(Ф)=0；P(Ω)=1；0≤P(A)

≤

1.（反之？）

§1.2概率及性质10概率的性质

(5)

加法公式：

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

推论1:设A1,A2,A3为任意三个事件，则有：P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)

-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)推论2:

对于任意n个事件A1,A2,…

，An，则有：P(A1∪A2∪…∪An)=

例1：

11例2：设同时发生时，C必然发生，则：12解：§1.3古典概型13特点：

计算方法：设样本空间Ω由n个样本点组成，事件A由m个样本点组成.则定义事件A的概率为：(1)

有限样本空间：样本点总数有限；(2)

等可能性：各基本事件发生的可能性相同．求古典概率的问题实际上就是计数问题

.加法原理、乘法原理、排列组合是计算古典概率的重要工具

.计算要点：1、确定样本点，并计算其总数；2、计算事件所含样本点数。14例1取数问题从0至9这十个数字中不放回地任取4个排好，求恰排成一个4位偶数的概率.15例2

占位问题

16注：事件B与事件A的区别：B中各含一球的n个格子没有指定。17例3生日问题若不考虑闰年，假定一个人在一年内每一天出生的可能性相同，求任意n个人生日各不相同的概率。18

19例4

抽签问题

解法1解法2记

1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.总结：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.203、占位问题、抽签问题等，都是古典概型中的常见模型。在遇到实际问题时，我们可以直接套用这些模型来求解。定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积))相同的子区域是等可能的(与子区域的形状和位置无关)，则事件A

的概率可定义为21§1.4几何概型

那么

两人会面的充要条件为例：甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.解22会面问题故所求的概率为若以x,y

表示平面上点的坐标,则有2324建立合适的数学模型，用数学语言来描述问题，再用数学工具来处理问题。总结：在计算几何概率时，要点与步骤：25§1.5条件概率要点1：条件概率的定义及性质在现实生活中，事物多是相互联系的.往往需要硏究在一些事件已经发生的条件下，其它事件发生的概率.条件概率的定义条件概率的性质261非负性：2规范性：3可列可加性：条件概率的性质27概率的性质也都适用于条件概率.条件概率的计算1定义2概型古典概型几何概型28在原样本空间中求P(A)和P(AB)在缩小的样本空间中考虑由条件概率的定义：即：若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)(1)若已知P(A)，P(B|A)时,可以反求P(AB).同理，若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)要点2：乘法公式29(1)和(2)式都称为乘法公式，利用条件概率求积事件的概率.推广303个事件:例1：设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).3132要点3：全概率公式样本空间的划分全概率公式33

全概率公式的由来:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。它的实用意义在于:推广：全概率公式的实际意义：B:结果;原因结果Ai,i=1,2,…:导致B发生的各种可能的原因34P(原因)P(结果|原因)用法：

全概率公式的主要用处在于，它可以将一个复杂件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求岀最终结果.例2：设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂成产的.且甲厂、乙厂、丙厂成产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.（抽签问题）

35

解：设B={取得的是正品},

A1={该箱产品是甲厂生产的},

A2={该箱产品是乙厂生产的},

A3={该箱产品是丙厂生产的}.显然，A1∪A2∪A3=Ω，且A1、A2、A3互斥.由已知得：P(A1)=5/10，

P(A2)=3/10，

P(A3)=2/10P(B|A1)=9/10，P(B|A2)=14/15，P(B|A3)=19/20由全概率公式得：

36要点4：贝叶斯公式37结果原因注:信息B

全概率公式VS贝叶斯公式38逆概率公式贝叶斯公式全概率公式：由因到果贝叶斯公式：由果溯因例3:对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？后验概率

解:设A＝{产品合格}，B＝{机器调整良好}已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由贝叶斯公式－先验概率39贝叶斯公式在实际中可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.

40贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。在电报通信中需要不断地发出信号0和1，统计资料表明，发信号0的概率为0.6，发信号1的概率为0.4.由于存在干扰，发0时分别以0.7和0.1收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号x;发1时，以概率0.85收到1，以概率0.05收到0，以概率0.1收到模糊信号x.问收到x应译成哪个信号较好？41例4：信号收发问题42一、相互独立性的概念与判定43定义§1.6独立性注：1、必然事件Ω和不可能事件Ф与任意事件都相互独立。2、进一步，如果事件A的概率P(A)=1或0，则A与任意事件都相互独立。

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如：射击问题即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率。

独立性的判定44除根据定义外，在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第

i件是合格品}，i=1,2.若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：抽样问题因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.45两事件相互独立两事件互斥二者之间没有必然联系46独立与互不相容1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（1）P(B|A)>0（2）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0（4）P(AB)=P(A)P(B)2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（1）P(B|A)>0（3）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0（4）P(AB)=P(A)P(B)两事件相互独立两事件互斥但一般二者之间没有必然联系A,B相互独立A,B不互斥A,B互斥A,B不相互独立47三事件两两相互独立的概念48注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立三事件相互独立的概念49n个事件相互独立n个事件两两相互独立推广50二、几个结论51

设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题例1三、例题讲解解事件

B为“击落飞机”,52假设一次试验成功的概率只有1%，试计算尝试100次(各次试验相互独立),至少有1次成功的概率.解:设Ai={第i次试验成功}尝试500次,至少有1次成功的概率达到99%.例2试验成功的概率53例3解：54

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解

用A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机,*例4i=1,2,355D表示飞机被击落.最后,由全概率公式得飞机被击落的概率为56

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458本章几个重要公式1.条件概率2.乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)>0)，3.全概率公式4.贝叶斯公式57已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+P(A|B)=1，则()(A)事件A和事件B互斥;(B)事件A与B对立;(C)事件A和事件B不独立;(D)事件A和B相互独立.例题选讲58*2.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4个.若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买.求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率.

59解：设={箱中恰好有i件次品}，i=0,1,2.A={顾客买下所查看的一箱}

由题设可知：P()=0.8,P()=0.1;P()=0.1.P(A∣)=1;P(A∣)=;P(A∣)=1）由全概率公式：P(A)=≈0.942）由贝叶斯公式：≈0.856061第二章随机变量及其概率分布§2.1随机变量§2.2离散型随机变量的概率分布§2.3随机变量的分布函数§2.4连续型随机变量的概率密度§2.5随机变量的函数的分布

便于数学上的推导和计算，需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．为什么引入随机变量?§2.1随机变量62随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它§2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量及其分布律63离散型随机变量：X的全部可能取值是有限个或可列个.这两条性质用来判断一个分布是否为随机变量的分布律

离散型随机变量X概率分布的表示方法

（3）图示法:分布律可以用图形表示

64分布列X

PX

（2）公式法

例2已知随机变量X的分布律为X

－2

0

3

5

解:(1)由分布律的规范性：65

X01

二、五种常用离散型随机变量的分布661.两点分布

(0−1)分布的分布列：

P{X=1}=p，P{X=0}=1−p(0<p<1)，随机变量X只能取0，1两个值，其分布律为实例

“抛硬币”试验，观察正、反两面情况.

X服从(0-1)分布.注：两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，都可用两点分布描述.例如：新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种子是否发芽等.67

其分布律为X01

A在每次试验中出现的概率p保持不变;各次试验相互独立;共进行n次试验.每次试验只有两个可能结果伯努利试验n重伯努利试验2.二项分布（binomialdistribution）：Bernoulli（伯努利）试验：68二项分布69注二项分布两点分布1.n=1，2.应用：抽检n件产品中不合格品的个数,

射击n次中命中目标的次数等.

解：以X记20只原件中一级品的只数，则例3规定某种型号电子元件的适用寿命超过1500小时的为一级品.已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只.问20只元件中恰有k只(k=0,1,…,20)

一级品的概率是多少？70X~B(20,0.2).因此所求概率为

二项分布的最大值71k<(n+1)p时，b(k,n,p)>b(k−1,n,p);k=(n+1)p时，b(k,n,p)=b(k−1,n,p);k>(n+1)p时，b(k,n,p)<b(k−1,n,p).

二项分布随机变量的最可能值72定理：设随机变量X~B(n,p)，则当k由0变到n时，P{X=k}先单调增加，随后单调减少，且当

例4有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内，出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过，出事故的次数为X，则解：故所求概率为73X~B(1000,0.0001),

3.泊松分布74X~P(λ)X所有可能取的值为0,1,2,···,而取各个值的概率为泊松分布描述的是稀有事件(如地震、火山爆发、特大洪水、布匹上的疵点个数、书籍一页中的印刷错误数、保险公司一段时间内接到的索赔数等)发生次数的概率分布.要点：二项分布的泊松近似75泊松分布二项分布n很大,p很小λ=np大小适中例4

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内，出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过，出事故的次数为X，则解:故所求概率为76X~B(1000,0.0001).

利用泊松定理λ=1000×0.0001=0.1查泊松分布表

例：在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险，在一年里，这些人的死亡率为0.0002，参加保险的人在一年的头一天交付保险费50元，在一年内死亡时，家属可以从保险公司领取100000元.(1)求保险公司一年中至少获利100000元的概率;(2)求保险公司亏本的概率.人寿保险7778解：设X为10000名投保人在一年中死亡的人数，则X~B(10000,0.0002).保险公司一年总收入为50×10000=500000，因n=10000很大，p=0.0002很小，所以用参数λ=np=2的Poisson分布近似计算。

有N件产品，其中M件次品，N−M件正品，现从中不放回地任取n(n<N)件，令X表示次品件数，求X的分布律.4.超几何分布79

5.几何分布在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，X表示事件A首次发生时的试验次数，则X的可能取值为1,2,3,…称X服从参数为p的几何分布,记为X~G(p).

其概率分布律为80

几何分布的无记忆性81设X服从参数为p的几何分布，则对任意正整数m,n,有P{X>m+n|X>m}=P{X>n}.82§2.3随机变量的分布函数

分布函数的定义分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，只要知道随机变量X的分布函数，就可以计算它取任何值的概率.分布函数的性质

4.右连续

F(x+0)=F(x).注：性质1-4是判别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.83

X落入任一区间的概率求法84

现在的问题是：如何求P{X=a}?利用F(x)求P{X=a}85

P{X=a}=F(a)−F(a−0)=F(a+0)−F(a−0)例1

一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为2，1个标号为3,任取1个球，以X表示取出的球的标号，求：(1)X的分布函数；(2)P{2≤X≤3}.

86解：由已知X的可能值为1,2,3．

P{X=1}=2/6,P{X=2}=3/6,P{X=3}=1/6.所以X的分布律为0123x0123F(x)F(x)的图像为x0123F(x)x012387

离散型随机变量的分布函数的特点：离散型随机变量的分布函数的图象特点：1.它的图象是一条右连续的阶梯型曲线；

88

要点：分布律与分布函数的互化：

89

§2.4

连续型随机变量

及其概率密度一、连续型随机变量的概率密度

要点：概率密度与分布函数的性质性质(1)-(2)用于验证一个函数是否为概率密度90(1)非负性：f(x)≥

0；

(4)若f在点x处连续，则F在点x处可导，且

P{X>a}=

1－P{X≤a}

(1)对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.

即P{X=a}=0.

91注：

(3)改变概率密度函数在有限个或可列个点处的值并不影响分布函数的值.92

(1)求A，B；(2)求X的概率密度；(3)P{－1<X<2}.解：(1)由分布函数的性质知X为连续型随机变量，则F(x)在x

=

0处连续，有则B=1.F(0

+

0)=F(0－0)，即：1－A=A，

于是X的分布函数为：(2)X的概率密度为

(3)P{－1<X<2}

分布函数为三、三种重要的连续型分布：93

1.均匀分布例3

某车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀分布随机变量，求他候车时间少于5分钟的概率.解：以7:00为起点0，以分为单位.依题意，XU(0,30)，

94

所求概率为：

为使候车时间少于5分钟，乘客必须在7:10-7:15

之间，或在7:25-7:30之间到达车站.

P{10<X<15}+P{25<X<30}

2.指数分布95

概率密度函数分布函数f(x)x0λF(x)x01设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(单位：分钟)服从参数为λ=1/5的指数分布，某顾客等待服务的时间超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，求他在一个月内至少有一次未等到服务而离开的概率.解银行等待时间问题96我们需要求的是P{Y≥1}.

设Y表示该顾客一个月内未等到服务而离开银行的次数，则

Y~B(5,p)，p为每次去银行未等到服务而离开的概率.依题意概率的套嵌问题银行等待时间问题97解p=P{X

>

10}P{Y≥1}Y~B(5,p)

p=P{X

>

10}

P{Y≥1}

电子元件使用寿命98设某种电子元件的寿命(单位：小时)服从参数为0.001的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过200小时的概率;(2)已知该电子元件已经使用了300小时，求它还能再使用200小时的概率为多少?解

设X表示电子元件的寿命，X~Exp(0.001).(1)P{X

>

200}

(2)P{X

>

300+200|X

>

300}

1.若随机变量X对任意的s

>

0，t

>

0有则称X的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性.2.指数分布有着重要应用.99P{X>s+t|X>s}=

P{X>t}

注:如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.

1003、正态分布

正态分布的概率密度函数f(x)的性质

Of(x)x

正态分布的分布函数为:101

标准正态分布

xOxO-11102

103

(化为标准正态分布)

104

105§2.5随机变量的函数的分布重难点：求随机变量(离散型与连续型)的函数的分布.106典型例题与方法：参课本§2.5及第4周第二次课作业(P61第30、31题)与第5周第二次课作业(P61第33、34题；P62第36、38题).情形一：X为离散型，求Y=g(X)的分布律设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量，只需由X的分布律求得Y的分布律即可.107核心问题：X是随机变量(离散型或连续型)，求X的函数Y=g(X)的分布.例1

设随机变量X的分布律为

简单！

108解

由X的分布律可列出下表：

109唯一需要注意的是：把分布律表中Y的相等的值合并起来！情形二：X为连续型，求Y=g(X)的概率密度或分布函数

1．一般方法——分布函数法

110

第二步：由分布函数求概率密度.

解

111求随机变量Y=2X+8的概率密度.

=P{2X+8≤

y}

112

求导得

2.公式法(适用于单调函数或等幅单调函数)113

注意：g(x)不是单调函数时不能用此定理！114

代表型例题：P55例2.5.5，P61第33题.求解步骤：参看第5周作业中P61第33题的详细解答过程.115

注：定理3还可以推广到多个单调区间的情形.代表型例题：P58例2.5.7，P61第34题.求解步骤：参看第5周作业中P61第34题的详细解答过程.

116

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量

联合分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节二维随机变量的函数的分布117

引例1

射击打靶，弹着点是靶面上的一点，无法用一个变量来表示，但可以以靶心为原点建立平面直角坐标系，每一弹着点用其坐标(X,Y)表示，这就是二维随机变量.引例2

考察某地一天的天气情况,即同时考虑最高气温、最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.118为何引入多维随机变量？一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布迁移§3.1二维随机变量要点：联合分布函数、联合分布律、联合概率密度的性质和计算119一、二维随机变量及其联合分布函数E是一个随机试验，X和Y是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，向量(X,Y)称做二维随机变量.

xyO(x,y)xOx1y2x2y1y120有了联合分布函数，就可以计算(X,Y)落入某一区域的概率：(1)单调性：F(x,

y)是关于变量x和y的单调不减函数.联合分布函数F(x,

y)的性质(2)规范性：0≤F(x,y)≤1，且

F(−,y)=0,

F(x,−)=0,F(−,−)=0,

F(+,+)=1.(3)右连续性：F(x,

y)关于x和y都右连续.(4)非负性：对于任意x1<x2，y1<y2，有

F(x2,y2)−F(x1,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0.121注：满足这四条性质的二元函数,一定是某个二维随机变量的分布函数.二、二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列对.YX性质分布函数

122联合分布律表例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.解:X=i,i=1,2,3,4.Y=j,ji.123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX123

三、二维连续型随机变量

124二维连续型随机变量最重要的量：联合概率密度联合概率密度f(x,y)的性质(1)非负性：

f(x,y)≥0.

125满足这两条性质的二元函数,一定是某个二维随机变量的联合概率密度函数.务必记住这个公式！

x+y=1x+y1Oxy1126

(x,y)xyO

127

yxOG

X-型

Y-型128

129y101x

ⅣⅡⅢⅤⅠⅠⅠ

130

X-型

Y-型

综上

131

101

xyⅠⅡⅢⅣ

综上：

常见二维连续型随机变量的分布：均匀分布，二维正态分布（一）均匀分布

注：(X,Y)在G上服从均匀分布即(X,Y)落在G内各点是等可能的.132（二）二维正态分布

133

二维正态分布的图像134

四、多维随机变量135§3.2边缘分布要点：边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度的性质和计算136一、边缘分布函数定义

设(X,Y)为二维随机变量，其分布函数为F(x,y).边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函数F(x,y)唯一确定，反之不成立.137

(X,Y)关于X的边缘分布函数(X,Y)关于Y的边缘分布函数

二、离散型随机变量的边缘分布律

138

(X,Y)关于X的边缘分布律

(X,Y)关于Y的边缘分布律

边缘分布律的性质

边缘分布律表格形式1XY139联合分布律边缘分布律边缘分布律(2)

例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的边缘分布律.

123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX

140三、连续型随机变量的边缘概率密度

141

例2设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求其边缘概率密度．x解：由于(X,Y)服从均匀分布，故其概率密度为Gr142

注：从此例可以看出，二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布！

解：由已知条件得

143

注：从此例可看出，1、只有边缘分布不能确定联合分布.2、二维正态分布的边缘分布仍是正态分布；反之不成立！§3.3

条件分布要点：条件分布律、条件概率密度的性质和计算144条件分布实际上是第一章讲过的条件概率在另一种形式下的重复.第一章中，介绍了条件概率:事件B发生条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.该分布就是条件分布.145一、二维离散型随机变量的条件分布律

146

类似可定义在X=xi条件下随机变量Y的条件概率分布.注：条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质：

147

对于二维离散型随机变量，可直接利用分布律表求条件概率.1XY148

例1一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1)，射击直至击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．解：记{X=m}表示首次击中目标时射击m次.

则m=1,2,…

记{Y=n}表示第二次击中目标时的射击总次数,则n=m+1,m+2,…149

再求边缘分布律.m=1,2,…n=2,3,…150

所以，当n=2,3,…时，m=1,2,…,n−1.当m=1,2,…时，n=m+1,m+2,…151注：本例中边缘分布和条件分布都可以不通过联合分布来求，而是利用第一章的办法直接求出.

二、连续型随机变量的条件概率密度

1.条件分布函数152

2.条件概率密度

153

例2

设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求条件概率密度.解：

154当x取其他值时，条件分布无意义！

yx011y=x

155当y取其他值时，条件分布无意义！

yx011y=x

例3设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度.

对任给定的x(0<x<1)，依题意有：156

157

注*：分析：P{X>1|Y=y}

158

故对y>0，P{X>1|Y=y}

159

同理，在条件X=x下，Y的条件分布也是正态分布.结论：二维正态分布的条件分布也是正态分布.联合分布、边缘分布与条件分布三者之间的关系联合分布边缘分布条件分布联合分布160小结独立§3.4相互独立的随机变量161要点：独立性的判定它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.一、两个随机变量相互独立的概念两事件A,B独立，指:

P(AB)=P(A)P(B).

162独立性的判定1、若离散型随机变量(X,Y)的分布律为3、设随机变量X与Y相互独立，令U=h(X)，V=g(Y)，其中h(x)，g(y)为连续函数，则U与V也相互独立.几乎处处成立.163

X和Y相互独立X和Y相互独立

二维离散型随机变量独立性的判定1XY164利用分布律表验证独立性二维离散型随机变量独立性的判定165进一步，如果二维离散型随机变量独立，则联合分布律有何特征？XY

行列对应成比例例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为若X和Y相互独立，求a，b的值.166

01

0

0.04a1

b0.64XY

解：方法一：先看X、Y的边缘分布律.

再由规范性：0.04+a+b+0.64=1例2设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为已知事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，求a,b的值.167

XY

依题意：P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}

例3设随机变量X与Y的有相同的概率分布：并且P{XY=0}=1，求(X,Y)的联合分布律.168

解：先写出分布律表：

XYP{XY=0}=1，即第二行和第二列的元素之和为0，由规范性可知，4个角上上的元素都为0；0000边缘分布律是所在行列的联合分布律之和。0.250.25

0.250.250

X与Y相互独立，则对任何x,y有

所以X与Y相互独立.169

二、n个随机变量相互独立的概念170

§3.5二维随机变量的函数的分布171

XY012-120.20.30.10.10.10.2解：(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)

-101234(X,Y)Z=X+YZ=XYp0.20.30.10.10.10.20-1-2024Z=XY

-2-1024一、离散型随机变量的函数的分布的求法求(1)Z=X+Y(2)Z=XY(3)Z=max(X,Y)

(4)Z=min(X,Y)的分布律.Z=max(X,Y)

0

12

2

2

2172例1

设(X,Y)的分布律为1.一般情形：离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布，求解步骤是：173

173

离散型随机变量的函数的分布的求法

命题1：若X~P(1)，Y~P(2)，且X与Y相互独立，则X+Y~P(1+2).

174用离散卷积公式可以证明：命题2：设X~B(m,p)，Y~B(n,p)，且X与Y相互独立，则

X+Y~B(m+n,p).

常见的可加分布族：1、二项分布(对参数p有限制)；2、泊松分布；3、正态分布；4、卡方分布.两点分布、均匀部分不具有可加性.二、连续型随机变量的函数的分布的求法一般方法：分布函数法175

一般情形：设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=g(X,Y)的分布.即

Z=g(X,Y)的分布的计算公式176

y2O2x

177

y2O2x

x+y=zyxo178设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，Z=X+Y的分布函数为推导过程不要求掌握卷积公式当X和Y相互独立时,179

180例2

y101x

181

182

解:183

利用公式：

一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.184

注：正态分布具有可加性，但标准正态分布不具有可加性.特殊情形：正态分布的和三、最大值、最小值的分布的求法：公式法185

1、若已知联合概率密度

2、若已知独立性+边缘分布函数

3、若已知独立性+边缘概率密度

4、若已知独立性+同分布函数F(z)

186

1、若已知联合概率密度

2、若已知独立性+边缘分布函数

3、若已知独立性+边缘概率密度

4、若已知独立性+同分布函数F(z)

类似地，对最小值的分布，有

推广：

187

L2XYL1串联系统

L2XYL1并联系统

188

例6：系统寿命问题L2XYL1串联系统

189

系统寿命问题

注意到：Z仍然是指数分布.即：相互独立的指数分布的最小值函数仍是指数分布，且参数是原有各指数分布参数之和.L2XYL1190并联系统

系统寿命问题

191

1xy1

192

1xy1

193

解：

194

195

综上，(U,V)的联合概率分布律为：0101

YX

196第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩、协方差矩阵197知道了随机变量X的概率分布，也就知道了X的全部概率特征.X的全部概率分布一般是较难确定的.为何研究随机变量的数字特征？然而，在实际问题中：在很多实际应用中，人们并不需要知道X的所有概率性质，而只要知道它的某些数字特征就够了.198与随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征.在这些数字特征中，最常用的是：1.随机变量的平均取值——数学期望2.随机变量的取值的分散程度——方差3.描述两个随机变量之间的线性相关程度——协方差与相关系数随机变量最常用的几个数字特征199§4.1

数学期望要点：数学期望的性质和计算三类计算：X(离散型、连续型)，计算E(X)随机变量的函数的数学期望Y=g(X)，计算E(Y)=E[g(X)]二维随机变量(X,Y)的函数的数学期望Z=g(X,Y)，计算E(Z)=E[g(X,Y)]一、随机变量的数学期望——离散型200

201解：即平均一台家用电器收费2732.15元.因此Y的分布律为：

202

几种常见的离散型随机变量的数学期望203

一、随机变量的数学期望——连续型

204

几种常见的连续型随机变量的数学期望205

串联时系统寿命其分布函数为

二、随机变量的函数Y=g(X)的数学期望206数学期望

数学期望

207

注：此定理可以推广到二个或二个以上随机变量的情形.

208

209

三、二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的数学期望

210

二维随机变量(X,Y)的边缘分布的数学期望

例4设(X,Y)的联合分布律为211

解：可用公式法求.下面我们用另一种方法，利用分布律表求.

(X,Y)的取值及对应的概率如下表:

Y 12 10.4 0.220.30.1X例5设(X,Y)服从G上的均匀分布(如图)，求X、Y及XY的数学期望.解：由题意知(X,Y)的密度函数为212

O12xyG

三、数学期望的性质注：1.性质3和4可推广到有限个的情况.2.对于性质4，反之不成立.213解：设

214

注：这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和，再求数字特征的方法，称为随机变量分解法.

215

216数学期望的总结

217离散型连续型数学期望公式218§4.2方差要点：方差的定义、性质和计算1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.

一、方差的定义和计算219问:那一批灯泡好?答:第一批灯泡更好.

2.方差的定义

220

4.随机变量方差的计算方法一：利用定义计算221

方法二：利用公式计算

例1

设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律分别为

解：故从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下.

故从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲.甲平均命中环数:试评定甲、乙的技术水平．乙平均命中环数:

222

223

224常见分布的方差

泊松分布均匀分布指数分布(假设下列方差均存在)

二、方差的性质

225

解:对于二项分布,前面我们已用随机变量分解法求出了其数学期望,现在我们再用这种方法来求其方差.226

则

称为X的标准化变量227

228

几种重要随机变量的数学期望及方差(课本P228)二项分布

X~B(n,p)

分布分布律/概率密度数学期望E(X)

方差D(X)均匀分布X~U(a,b)

np

np(1−p)

229

230§4.3协方差相关系数要点：协方差和相关系数的定义、性质和计算相关性与独立性

问题的提出231一、协方差及相关系数用一个怎样的数字特征去反映X与Y之间的相互联系?232协方差注：协方差反映了随机变量X,Y之间的某种关系.若随机变量X和Y相互独立，那么若随机变量X和Y不相互独立，

协方差的定义233

协方差的计算

方法一：利用定义计算234

方法二：利用公式计算

解：235

协方差的性质

236

性质(4)和(5)可进一步推广为：

相关系数的定义与性质237

性质

更具体地，有：

相关系数的意义238

(1)相关性只是就线性关系而言；若相关系数为0，只是说明不具有线性关系，但可能会有其它关系，因而它们不一定相互独立.

注：

试分析随机变量X与Y的相关性和独立性.239X−101−11/125/12012/123/121/12Y

解：

所以X与Y不相互独立.

解：240

不相关的几个等价关系相互独立不相关241

不相关与独立证：

242

X,Y相互独立X,Y不相关.24