数学运算配套练习

公务员考试辅导交流教材一、数学运算常用数理基础知识介绍与应用1、数理特点介绍与应用。数理知识看起来很简单，常常都是大家知晓的，但是在考试的过程中常常会忽视它们的应用价值。因此，在这个部分我们将从小学到初中的所有基础性数理知识进行一次相对全面的应用性介绍。常见数值的特征应用0是我们最常见的数字，是一个占位符，算不得一个个位数，因此最小的个位数实则是1，而非零。零乘以任何数都为零，反过来可以这样认为零可以包含任意自然数做为因子。零不能做除数或者分母，否则无意义，同样零也不能同时做指数和底数，即0^0是没有意义的。零是最小的自然数，这一点大家务必要纠正过来，因为在我们这个年龄阶段的人所学课本上的知识时零是不作为自然数的。1是最小的个位数也是最小的奇数，且1也是所有非零自然数的最小约数，1也是既不是合数也是质数1也是所有非0数的0次方的结果。1和0相对，0表示趋向无穷小。1可表示代替整体。趋向最大。因此通常概率中取值的范围就在0～1之间。0和1在使用过程中，通常有这样几种特点：a“代入法”中采用率最高数值代入法做一些题目的时侯，我们通常会选择一些便于口算的数值代入已知条件验证，然后通过这些代入的特殊数值对结果进行简单口算。而在我们代入法通常所选择的数值当中0，1，2，3四个数字最常见，其中1是使用频率最高的数值。下面我们通过几个例题来说一说如何在代入法中使用1例题1：已知：==，且a≠b≠c，求=（）【解析】参考答案C。令等号左右的三个表达式均等于0，则说明分子也是0，即===0即答案就是0。或令等号左右三个表达式均等于1，则说明＝a－b，＝b－c，＝c－a，那么＝a－bb－cc－a＝0，相互抵销了。例题2：已知－＝1，则^3－3－^3＝（）【09江苏】A．1B．2C．3D．5【解析】参考答案A。根据已知条件－＝1，我们可以假设＝1，＝0代入。这样要求计算的表达式就为1－0－0＝1在选择代入数值的时侯，往往0便于简化运算过程，此题过程中的后2项就基本因为0的关系忽略不计了。例题3：已知a＋b＋c＝2，则a^2＋b^2＋c^2＝（）【09江苏】A．14B．15C．3D．1【解析】参考答案A。此题根据所表现的特点，我们应该选择特值代入法，如何选择特殊值呢，看要能完整开放且又满足表达式的。可令三个根号部分等于0或1，在这里我们判断用1准确，即当a＝1，b＝2，c＝3时，其三个根号部分均等于1，因此是满足前面的表达式的。故而答案为：1^22^23^2=14。b单位“1”的概念应用单位“1”的概念是相对于分数或百分数而言，也就是说单位1的应用价值在于取代设立未知数而转化为用一个临时特殊值“1”代替。比如说：甲占乙的1/4（或25%），我们就可以把乙看作是单位“1”是相对于1/4而言。例题4：妹妹和弟弟3人做一堆花，姐姐做5朵，妹妹做4朵，姐姐做的占这堆花的5/11．弟弟做了多少朵分析：此题我们我们就是参照5/11做为研究，那么我们就可以假设这堆花数量为单位“1”。姐姐即为5/11，那么弟弟和妹妹就占1－5/11=6/11,姐姐做了5朵，对应5/11即一个1/11是1朵花。因此妹妹和弟弟合计是6朵。弟弟即为2朵。例题5：某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来2个起点站的发车间隔时间相同,那么这个时间间隔是多少分析：这个题目我们看不到分数或者百分数，但是我们可以根据题目的提问特点来假设，如此题要求的是发车时间间隔是多少。则必须知道发车间隔距离，发车速度。这里我们可以任意假设单位“1”因为题干中没有明确的距离数值和速度数值。假设发车间隔距离为单位“1”则根据追击需要12分钟可知速度差＝距离差÷时间：v车－v人＝1÷12，同理相遇需要4分钟可知速度和＝距离和÷时间：v车v人＝1÷4。这2个表达式相加就可以抵销v人的速度得到我们想要的汽车的速度了。即2v车＝1÷121÷4,v车＝1÷6,距离假设的是1，则发车间隔时间为1÷1÷6=6分钟了。假设发车速度为单位“1”。则根据可建立2个表达式分别为41v人＝121-v人得到V人＝因此发车间隔距离就是4×＝6或12×（1－）＝6因此发车间隔时间＝6÷1=6当然单位“1”的应用还在资料分析当中使用到。例题6：全国最新年认定登记的技术合同共计220868项，同比增长7％；总成交金额2226亿元，同比增长％；平均每项技术合同成交金额突破百万元大关，达到万元。最新年平均每项技术合同成交金额同比增长率为多少（）【子任分析】参考答案B。最新年的每项技术合同成交金额同比增长率＝最新年每项技术合同成交金额÷最新年每项技术合同成交金额-1题目已经给出了最新年的数据，但是没有最新年的。如果我们根据现有的数据来计算，那显然是增加计算量的。就算估算水平再高，方法不合理，不能解决做题速度的根本问题。平均每项成交金额＝当年总额÷当年合同量；我们完全可以利用最新年的情况做为参照单位”1“。也就是说最新年的总额和合同量均可以假设为1这样最新年平均成交金额即为1÷1=1那么最新年平均成交金额＝1×（1%）÷1×17%，当然这里有一个小的估算技巧，在数学篇章中就不赘述了。答案接近%－7%＝%2是最小的质数，在质数序列中2是一个特例，只有2是唯一的偶数质数，2的次方也是考察应用的侧重点。3也是质数，3在公考过程中通常考察整除特性。即能被3整除的数必须具备各个数字之和能被3整除，如：119能否被3整除，就要看119＝11，11不能被3整除那么119就不能，同时11除以3余数是2，则119除以3余数也是22和3之间的关系也是在次方上转换比较明显的问题当一个自然数拆分成若干个2的乘积和拆分成若干个3的乘积。这就是一个分水岭。如：12=222222，则2^6=64，12=3333，3^4=81，12=444，4^3=64我们发现3是拆分之后乘积“最大配额”。下面通过几个例子来说明公考中2和3的应用例题7：有7个不同的质数，它们的和是58，其中最小的质数是多少【解析】参考答案D。7个质数的和为58，通常质数都是奇数，偶数个奇数相加结果为偶数，奇数个奇数相加为奇数。则个题目是7个质数，按照常理答案是奇数才对。现在是偶数58，说明必含2这个特殊的质数。故而最小的质数即为2例题8：1到300这300个自然数编号的多米诺骨牌排成一排，从编号1开始按照这样的规则：拿掉每排奇数位置上的多米诺骨牌，留下偶数位置上的。进行一次操作后，在从头开始再次按照这样的规则拿，直到剩下最后一张，请问最后一张的编号是多少【解析】参考答案为D。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌，骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。那什么样的数字才能确保它的1÷2仍然是偶数，从而确保不在下一轮种被拿走呢自然是2^n。因此每一轮操作2n位置上的数都会变为2^n－1。当位置最终变为1时被拿走。也就是说，最大的2^n将“坚持到最后”。故得出只看300内最大的2^n的归纳总结。例题9：N是1，2，3，1995，1996，1997，的最小公倍数，请回答N等于多少个2与一个奇数的积【解析】参考答案为C。题干中给出了明确的提示，这个N与2的关系，N有多少个2主要取决于这1997个自然数当中含2因子最多的自然数如此题当然是1024＝2^10,为什么这么说呢我们在计算最小公倍数的时侯，往往是提取相同因子部分只取1个如：4和6的最小公倍数是12，4＝2×2，6＝2×3，他们有公共因子2因此我们计算最小公倍数的时侯是通过乘积再除以这个公共因子。也就是说这就回避掉了含2因子数量较少的那一个数字中的2，直接取决于含2因子数量最多的那个自然数。例题10：11338×25593的值为：【10江西】【解析】参考答案B。此题我们发现选项绝大部分数字相同，唯有中间的一个数字不同。这种情况一般都是估算或者判断数字的整除特征。所以数字，如25593这个数能被3整除，那么就证明我们的结果也是能被3整除；前面2901能被3整除，后面3434除以3余数是2（44＝8，8除以3余数是2），因此看不同的那个数字：3，7，6，5，要能整除，就必须有一个数除以3的余数和2构成3的倍数即7例题11：某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少61人，男会员的人数比女会员的3倍多2人，问该俱乐部共有会员多少人（）【10浙江】A．475人B．478人C．480人D．482人【解析】参考答案D。此题我们来看假设男生的一半是a人，那么实则总人数相当于a－612a＝3a－61人。61＝3n1，即正确选项除以3余数是2，我们可以通过各项数值之和除以3来判断。例题12：把23拆成若干个自然数的和，将这些自然数相乘所得的乘积最大是多少【解析】参考答案B。此题在上述总结介绍中提及到，拆分是以３为最小单位的。因此２３÷3=7余数是２，故而此题答案是３^7×2估算技巧在于３的周期是４则７跟３对应尾数是７即答案尾数是４。5是质数，也代表着一半的意思，这是因为我们通常把整十整百看作是一个整体，而10倍数的自然数的特征就是必含5这个因子。含有5的因子个数与偶数因子搭配就决定了0的数量，比如5×4＝20，在20里面只含有一个5，所以他只能有１个0；25×4＝100，２5含有２个5，而4含有2个2这刚好构成２个0。另外５这个数倍数的特点也很鲜明，5的整数倍尾数不是0就是5。5的任何非零的整数次方其尾数均为5另外在我们熟悉的斐波那契数列中，5的倍数也充分体现出规律性。如1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610这个数列5的倍数出现的第一个位置是在第四个位置上，则以后出现的是5的倍数的项均为周期5，即45n。关于5的考察应用与这样几个例子:例题13：在乘积1×2×3×4××698×699×700中,末尾只有个零。【解析】参考答案B。此题问有多少个0，实则就是看有多少个5，有一个5就能跟偶数乘积搭配成一个0出来。因此我们来看看700个数字中有多少个5：700÷5=140但是我们要注意5的个数不只是140这么简单，事实上我们需要注意的是有些5的倍数是不止1个5的，如5^n次方数。25，125，625因此这140只对5^n的数算了1次5，所以我们还可以通过两种方法继续找出其他的5700÷25=28,这28个25应该有56个5但是在前面140中已经被算了28个这里就只考虑28700÷125=5同理前面算了2次，这第三个5就含在这里。700÷625=1因此最终答案就是1402851＝174或者我们在原来140的基础上连续除以5140÷5=28,28÷5=5,5÷5=1再求和也可以。道理很简单对于商来说5为周期即相当于5的次方数1例题14：有一数列：3，7，10，17，27，44，从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和,那么第1998个数除以5的余数是多少A3B2C1D0【解析】参考答案D。题干是描述的一个斐波那契数列。如果你对斐波那契数列的一些性质了解的话。此题就很容易得出答案了。从数列中可以看出，第3项5是第一个能被5整除的项。根据斐波那契数列的基本规律。其每5项就会出现一个能被5整除的项。（1998－3）刚好能被5整除，故因此直接得到1998项也是能被5整除的数。则答案为0例题15：工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个：工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个，现在两人各花20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝一共多少个（）【10浙江改编题】A．34个B．56个C．64个D．84个【解析】参考答案D。这个题目看不出任何快速解决方法的前提下，不需要多想，走一步看一步。假设工人甲和工人乙全部都是生产的螺丝，则共计生产（32）×20＝100个比134差了34个。这是因为工人甲有a分钟是做螺丝帽而不是螺丝。这里每分钟数量相差9－3＝6个，同理工人乙有b分钟是做螺丝帽而不是螺丝，则每分钟相差7－2＝5个。所以可以得到这样一个等式关系6a5b＝34这里就抓住了5的特点6a是偶数，则5b也是偶数则5b尾数就是0，即6a尾数就是4，简单枚举一下：4，14，24，34当中就24满足。故而a＝4，b＝2则螺丝减少了4×32×2＝16个即螺丝是84个9是最大的个位数，很多数理性质跟9都有一些关联性。下面我们就来说说9相关联的特点。能被9整除的数继承了能被3整除的特征，判断方法就是看被除数各个位置上数值之和能否被9整除，如：1823数值之和＝1823＝1414不能被9整除则这个数就不能被9整除，同理1823÷9=2025我们也可以用14÷9判断余数。任意一个两位数其和它自己的颠倒数差值均为9的倍数。如：63－36＝（6－3）×9＝2781－18＝（8－1）×9＝63。9做为个位数最大的因子在乘积上往往会产生进位。如果不要求进位只有一种可能与9相差的数必须只能是1或0如要一个两位数×9之后还是两位数，则这个两位数只能是10和11例题16：一个四位数“□□□□”分别能被16、11和9除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1676，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少（）【10浙江改编题】A．18B．16C．15D．12【解析】参考答案A。此四位数既然能被9整除，那么就说明这个四位数的各个位置上的数值之和也是9的倍数，因此答案就应该选择9的倍数即18。例题17：一个正常普通的伦理家庭中，小明的年龄是爸爸年龄和爷爷年龄的差距除以4，已知去年爷爷的年龄颠倒过来刚好就是今年爸爸的年龄，则请问小明今年几岁？岁岁岁岁【解析】参考答案C。此题我们假设小明今年是a岁。那么去年爷爷和今年爸爸的年龄差值是9n。则9n1＝4a，那么我们可以利用要的9n1是4的倍数则就要求9n除以4余数是3即9÷4余数是1，则n的取值为3，7，当n＝3时a＝7，当n＝7时a＝16故而可知答案是C。这里需要说明的是当n＝7时则说明爸爸和爷爷去年年龄相差7×9＝63岁。也就是说爷爷64岁才有了爸爸这个儿子。有违正常家庭条件的描述。例题18：一个三位数的被除数除以9，商仍然还是一个三位数，且商与余数的和为118，则被除数和余数之和是多少【解析】参考答案为C。商和余数之和＝118，我们知道余数肯定是小于除数9的。即最大也只能是8，即商最小也是118－8＝110因为1000÷9=112，所以商是小于112的。则我们只需判断111是否也可以111×9＝999，如果还有余数肯定不是三位数了。因此除数只能是110，被除数就只能是110×98＝998因此答案是9988＝1006除了以上几个特殊数字我们在判断整除和次方尾数方面还需要了解下列一些数字的特点。1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字的次方数特点，5和6的次方尾数不变，比如5^2=25，5^3=125，6^2=36，6^3=2162的次方除了2^0=1特殊以外，其它均为偶数。且从尾数循环周期为4，（2，4，8，16，32，64，128，256）3的次方周期是4（1，3，9，27，81，243，729）4的次方周期是2（4，16，64，256，1024）7的次方周期是4（7，49，343，2401，16087）8的次方周期是4（8，64，512，4096，32768）9的次方周期是2（9，81，729，6561）归纳总结：次方周期不变的是5和6，周期为2的是4和9其它数次方周期均为4。另外，观察（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）他们的和为10围绕5的对称。那么其次方数的结果是不是也有关联性呢我们发现当ab这2个数的个位数之和为10的时侯，那么a^mb^m次方就会存在这样的规律：当指数m为奇数时，则ab两个数的次方数尾数之和也是10，当指数m为偶数时，则ab两个数的次方数尾数相同。整除判断：能被3整除的数，是所有位置上数字之和能被3整除。能被4整除的数，末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。能被5整除的数，尾数是0或者5的数；能被9整除的数。能被6整除的数，同时满足能被2和3整除的数，就能被6整除。能被7整除的数，截掉个位数之后的数减去个位数的2倍能被7整除，则这个数就能被7整除。数字大可以继续按照同样的方法继续循环操作试验。如：16816－8×2＝00能被7整除，所以168就能倍7整除；39239－2×2＝3535能被7整除，则392就能被7整除。能被8整除的数，末尾三位数能被8整除的数，就能被8整除。能被9整除的数，各个位置上数字之和能被9整除的数，就能被9整除。能被11整除的数，奇数位置上的数字之和与偶数位置上的数字之和差值是11的倍数即能倍11整除。如：19745奇数位置数字之和＝175＝13，偶数位置数字之和94＝13，差值为0，即说明19745能被11整除。例题19：1^最新3^最新5^最新7^最新9^最新的值的个位数是（）。【07浙江】A．5B．6C．8D．9【解析】参考答案为A。方法一：将题目的5个基数分成3部分，（1，9），（3，7）和5，当基数之和为10的时候，指数最新是奇数。则两数的最新次方之和的个位数也是10，因此此题答案为10＋10＋5＝25，即个位数为5。方法二：1和5，的尾数不变，3和7的尾数周期是4，9的尾数周期是2最新是4的倍数3，2的倍数1，因此尾数相加即等同于：13^357^39^1=17539=25例题20：用0、1、2、3、…、9十个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，问这五个两位数的和是多少【07安徽】A．279B．301C．351D．357【解析】参考答案C。按照题目要求，第一十位数尽可能选用大的数值，个位数尽可能都用小的，个位数之和则为（01234）＝10，这样之和为10但不满足五个两位数和为奇数的条件，这时侯只需把十位数的一个奇数和个位数的一个偶数最交换即可，交换的条件是必须是对十位数影响降到最低。因此我们可以把4和5进行交换。即十位数之和（46789）×10＝340，个位数之和01235=11因此答案是34011＝351。例题21：某公司甲乙两个营业部共有50人，其中32人为男性，已知甲营业部的男女比例为5︰3，乙营业部的男女比例为2︰1，问甲营业部有多少名女职员【09国家】【解析】参考答案C。此题就是抓住数字的特征快速解题，甲乙男性之和为32，其中甲是5的倍数，乙是2的倍数，则说明甲的男性人数也是偶数，且尾数是0，则乙的男性人数尾数就是2，因此可能的值就是2×6＝12，则甲5：3的每个比例点的对应值就是20÷5=4即甲女性职员人数是4×3＝12人。例题22－1：厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴【09国家】【解析】参考答案B。这是一道基础的排列组合题，分三步骤：主料C（12，2）；配料C（13，3）；烹饪方法C（7，1）因此答案是C（12，2）×C（13，3）×C（7，1）在这个表达式中隐含这11和7的因子，可以通过特殊因子的整除特性来排除，或者尾数法来解决。例题22－2：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，再与原数相加，下面四个数可能正确的是（）【解析】参考答案C。我们假设前面五位数是a，个位数是b，则这样一个六位数就是10ab，如果按照要求把个位数放到最左边，则构成新的六位数就是100000ba，这2个六位数之和就是（10ab）（100000ba）＝11a100001b这个时侯我们发现11这样一个不错的数字，判断发现100001也是11的倍数，则答案只需找出11的倍数即可。一般数理关系一般性数理关系主要是介绍公务员考试题目中一些规律性的东西。被除数，除数，商和余数的关系被除数÷除数＝商余数，这四个量之间的关系可以用过这个表达式体现出来，在公务员考察的题目中，重点考察随着除数或者被除数的变化我们的商和余数会出现什么样的变化。如：a÷b＝cda代表被除数，b代表除数，c代表商，d代表余数。变化一：被除数a如果N倍之后的其它量的变化情况表达式a＝bcd，即Na＝NbcNd即可以看出如果被除数N倍，则余数就变为Nd，也是原来的N倍，这个时侯我们要注意余数是不能大于除数b的。实际余数就要看Nd÷b的余数是多少。如100÷8＝124,如果100变为5倍即500，则500÷8＝12×54×5,因为4×5大于除数8，则实际余数是4×5÷8=24还是余4而商的变化则是在原来5倍的基础上补上余数部分多出来的商即2，因为是12×52＝62除数扩大N倍之后的其它量的变化情况原表达式可以转化为（a－d）÷b＝c，如果除数b变为5倍，则c就要变为1÷5，这个时侯就要看我们的商c除以5取整。如：100÷8＝124,如除数8变成40，则商12就要变为1÷5事实上12不能被5整除12÷5=实则就只能取整为2。即100÷40=220而余数则变为5倍。变化二：多组除法关系表达式中被除数和余数固定的情况。如：130÷7=184,130÷9=144，商和除数之间是反比关系除数之比7：9＝商的反比14：18。通式来看：（a－d）＝bc，ad固定，则差值固定，即bc乘积固定，因此bc成反比。变化三：多组除法关系表达式中，除数和余数固定的情况。如：130÷7＝184，151÷7＝214此时被除数之差一定含除数因子。通式来看：a1＝bc1d，a2＝bc2d两式相减得a1－a2＝b（c1－c2）。另外，商之差也是被除数之差的因子。下面我们通过几个例题来具体学习关于除法关系中的特殊应用。例题23：已知某数N除以45余12，则N的12倍除以45余数是多少A．26B．19C．13D．9【解析】参考答案D。我们知道当被除数N倍后，余数也被N倍即12×12＝144，则此时的实际余数是144÷45＝39例题24：在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是A237

B258

C279

D290【解析】参考答案C。根据被除数＝除数×商余数假设除数是a，则（21a6）a216＝319，则可以解得a＝13，因此被除数为13×216尾数为9，即选C。例题25：一个数同时除82，117，138，其余数相同，则这个数被100整除余数是多少【解析】参考答案A。要的求出这个数被100整除余数是多少，我们就必须知道这个除数是多少，而除数可以从被除数的差值中找出关联。因为我们知道被除数差值含除数因子，即117－82＝35，138－82＝56，138－117＝21，35＝5×7和56＝7×8和21＝3×7因此可知除数是7，即100除以7的余数为2质数的本质应用质数的本质要通过定义来看，一个自然数只能被1和自身整除，也就是说这个数只含有1和自身这2个约数。因此在质数问题上，排除1和自身，我们可以抓住它的相对不可分解性来发挥。当然最小的质数是2，我们也在上面谈到了应用。这里就来谈谈质数的相对不可分解性的应用。例题26：四位数的四个位置上的数值乘积为质数，则满足这样条件的四位数有多少个【解析】参考答案D。四个位置数值乘积为质数，因为质数本身具有相对不可分解性，如果要拆分成四个因子，则这个质数只能＝1×自身其它2个因子就只能都是1了，因此四个数值其中含3个1，还有一个质数。即三个1和（2，3，5，7）的搭配可以构成16种组合。如：3个1和2组合成四位数，主要取决于2的位置2有四个位置可以选择，即四种，同理四个质数即4×4＝16种。例题27：某学校组织一批学生乘坐汽车出去参观，要求每辆车上乘坐的学生人数相同，如果每辆车乘20人，结果多3人；如果少派一辆车，则所有学生正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多能乘坐25人，则该批学生人数是（）【10江苏】A．583B．256C．324D．483【解析】参考答案D。假设有n辆汽车，少1辆汽车的人数20人和剩下的3人合计23人刚好分配给n－1辆，因为23是质数具有相对不可分解性，那么要分只能每辆汽车分1人或者23人，因为总人数不能超过25人，2023超出25人，故而只能分配1人，即剩下的车辆n－1＝23辆，即答案是23×21或者是24×203＝483人。例题28：张大伯卖白菜，开始定价是每千克5角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱，全部白菜一共卖了元，则每千克降低了几分钱【07北京】A．3B．4C．6D．8【解析】参考答案D。此题新的单价和数量都不清楚，唯一知晓的是总收入是元，我们可以抓住的就是进行分解，从中了解关于数量和新的单价的信息。＝2×3×7×53×这里虽然不是根据质数来求解，但是我们运用的是同样的思想，利用分解下来的因子具有特定范围而找出答案，单价是4角～5角之间，因此总因式组合上来看只有2×3×7＝42因此可以确定降价后的价格是元，因此每千克降低了8分钱。连续性质自然数相加、相乘的规律从1开始的连续奇数之和为项数的平方数。如：从1到2n-1所有的奇数之和为n^2，1357＝4^2从2开始的连续偶数之和为项数和（项数1）的乘积。如：从2开始到2n所有偶数之和为n（n1），246810＝5×6三个连续自然数乘积为中间项的三次方减去中间项。如2×3×4=3^3-3=24；7×8×9＝8^3-8=504四个连续自然数的乘积为（首尾2个自然数乘积1）的平方数－1，或（中间2个数的乘积－1）的平方数－1。如5×6×7×8＝（5×81）^2－1＝（6×7－1）^2－1例题29：十个连续偶数的和是以1开始的十个连续奇数和的倍，其中最大的偶数是多少A．34B．38C．40D．42【解析】参考答案A。从1开始的10个连续奇数和为10^2=100,则连续偶数之和为250，则可知中间项为25，即最大项为2514×2＝34当然此题也可以根据连续奇数和连续偶数项数相同和为倍，则中间项也为倍，因为连续奇数的中间项是10，则连续偶数的中间项是25也可以推导。例题30：有四个连续自然数的乘积为3024，则这四个连续自然数的和为多少【解析】参考答案C。方法一：连续自然数是其平方数－1，则30241是一个平方数3025，尾数是5则应该是55，即连续自然数的乘积等于551＝56，7×8即这四个连续自然数为6，7，8，9。和为30方法二：因为乘积3024不含5的倍数，所以这四个连续自然数不含5或5的倍数，因此其尾数只能是1，2，3，4或6，7，8，9因此结合选项来看就是6，7，8，9＝30当然一般性数理关系很多，我们在这里不可能一一枚举，这里只是介绍一些公务员考试中常见的又容易被大家忽视的简单数理知识，如需要在这一块有一个根本性的提高，这需要大家在平时复习做题时要多多积累这些方面的经验，把这些日常发现的小规律小经验进行总结并用小本子摘录下来。四则混合运算定律的运用。运算表达式主要是介绍四则混合运算里面的交换律、结合律、分配律及其运用。加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变ab=ba乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变a×b=b×a交换加数或因子的位置的目的是在混合运算中达到简便快速的技巧，如：3947812606＝3946067812＝10007812＝8812。4×17×25＝4×25×17＝100×17＝1700an＝a（mn），逆向看a（mn）分解成aman。例如：35×3765×37=37×3565=37×100=3700运用这些定律解题，需要我们善于抓住题目各个数据的共同特征或易于计算的组合部分。例题31：最新×－最新×的值为：【04国考】A．－60B．60C．0D．80【解析】参考答案C。我们发现减号两边都含有共同部分就是最新和最新这个明显的数值，如何才能将其分离使我们需要思考的切入点。最新×－最新×＝最新×最新×10001－最新×最新×10001＝0，分离之后的答案一目了然。当然你也可以用简约形式来代入解题，如把最新看作1，最新看作2，那么题干可以转化为1×22-2×11=0。例题32：的值是多少【08北京】ABCD【解析】参考答案D。抓住相同部分，我们可以把减号的左边部分的第二个括号里面加上1就和减号后面部分具有相同的表达式，再利用分配律即可快速解答。把减号之间的表达式利用交换律调配一下。先用第一个减去第三个再计算=数理关系中的最大值和最小值问题当两个数值和固定，则两个数乘积有最大值如：ab＝12，则ab的最大值为a＝b＝6时，ab最大值为36。论证过程：a=12-b，ab=12-bb=12b-b^2=-b^212b-3636=-b^2-12b3636=-b-6^236最终的形式就是一个一元二次函数，在坐标轴上是一个开口向下的抛物线有最大值。当两数a/N和N/b乘积固定，a/N和N/b随着同一个变量N一个变小，一个变大时：如a在逐渐变小，b在逐渐变大，则当a/N=N/b时和有最小值。在我们公务员考试题目应用中也涉及到类似的问题。下面我们就来通过几个真题看看是如何应用这种知识的。例题33：将进价为90元的商品按100元一个出售，能卖出500个，已知这种商品如果每个涨价1元，其销量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为【06黑龙江】元元元元【解析】参考答案B。利润最大化，主要取决于单个利润和数量的乘积最大化。利润的增加和数量的减少10，则可以得到总利润表达式10×500－10＝101050-我们这个时侯就发现10和50-之和是一个固定值因此乘积最大就是10＝50-即＝20因此答案就是120例题34：数列（1/49），（1/29/2），（3/43），（19/4），（5/49/5），……中，数值最小的项是：【10福建】A第4项B第6项C第9项D不存在【解析】参考答案B先把表达式整理出来，表达式为N/49/N。我们知道N/4是增加的，9/N是减少的，一开始因为N/4是小于9/N所以结果变化是逐渐减少的。当N/4大于9/N时则呈现开始变大的趋势。因此N/4=9/N是一个最小值。即N＝6比较大小这种题型往往并不需要将全部数字都直接计算，只需找到某个判断标准进行判断即可。如何寻找判断标准，就需要应试者从题干中取寻找相互比较数据之间的相似性或者找参照数。例35：分数4/9、17/35、101/203、3/7、151/301中最大的一个是（）【05国家】A．4/9B．17/35C．101/203D．151/301【解析】参考答案D。仔细观察这道题，很快就发现各分数的分子跟分母之间具有相同的关系，分子×2＋1＝分母。这样这几个分数可以表示为：1/2－1/18，1/2－1/70，1/2－1/406，1/2－1/14，1/2－1/602；减数分子都是1，分母越大分数越小。减数越小，差值越大。参照标准数就是1/2因此得到答案为151/301例36：满足不等式的最大数应为：35×（）bC．a=bD．无法确定【子任１号解析】参考答案Ａ我们发现其实开根也可以用幂指数的方式来表达，如ａ=-15^1/3=-15^2^1/6b=-6^1/2=-6^3^1/6,因为-225a,a的取值最大只能取到6这里也可以通过几何面积图解法。如图：消“元”思想“元”是指未知数，通俗点说，在解题的过程中我们要学会设而不求，利用关系表达式的加减乘除关系抵销某些未知数，从而简化运算形式。如我们中学所学的解二元一次方程组的方法，即采用了消“元”思想。求解125=13247=28的和的值。分析：我们可以通过2个表达式之间的关系，将某一个未知数通过相减的关系抵销。如此题我们可以把未知数的系数配成相同的。然后通过2个表达式的整体加减去相互抵销。1=410=26变化后的1和2相减=3=26-28则=-2/3这个时侯再去代入任意一个表达式求解出。消“元”思想的应用非常广泛，其核心是选出一个参照，然后把另一组与之相关的情况与参照做对比找出变化的部分来求解。也就是说利用参照标准和实际情况的对比，或者利用两组表达式之间的相对参照关系，进行消“元”。那么也就是说我们要充分去假设一个参照或者去寻找一个参照是首要掌握的问题。下面我们将重点介绍公务员考试当中比较重要的两种消“元”思想解答的类型题。鸡兔同笼“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中，许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法－"假设法"来求解，因此很有必要学会它的解法和思路。“鸡兔同笼”核心是在于通过假设一种理想情况与事实情况做对比。通过差量关系快速运算的一种方法。我们来看看经典的“鸡兔同笼”例题小明家养了一些鸡和兔子，已知在鸡和兔子当中，头共有100个，脚共有300个，则小明家养了多少只鸡分析：鸡和兔头都是各有一个，脚鸡是2只，兔子是4只，假设法就是基于理想状态与现实状态的区别，从区别入手，采用假设法。我们假设鸡的脚也是4只，那么每只鸡就多算2只脚。如果按照都是4只脚来算，那么100个头就相当于有100只鸡和兔子（总和），脚都是4只，那么脚的总数就是4*100＝400只，现在是300，少了100只，就是因为理想情况，我们每只鸡多算了2只，因此少了的100只脚里面有多少2只就有多少只鸡。故而答案是100/2=50只鸡。例54：某零件加工厂按工人完成的合格零件和不合格零件支付工资。工人每做一个合格零件得工资10元，每做一个不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件得工资90元。那么他在这一天做了多少个不合格零件（）【08国考】A．2B．3C．4D．6【解析】参考答案A。假设都是合格的零件，那么我们应该得到10*12＝120元，实际情况只有90元，说明减少的30元就是因为不合格产生的。一个不合格的零件的获利变化情况是从得到10元，到倒扣5元，也就是相差15元，因此每少15元即相当于有一个不合格零件，即答案为30/15=2。例55：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个（）【09浙江】A26个

B28个

C30个

D32个【解析】参考答案B。假设大小瓶子的装水能力都一样，以1千克为参照。那么52个瓶子就只能装52千克水，与实际情况比，差100－52＝48千克。那是因为我们把一个装5千克的瓶子看作是1千克，减少了4千克所导致的，也就是说48里面有多少个4就证明有多少个从5到1的转换，即证明就有多少个大瓶子。即48/4=12个大瓶子，小瓶子就是52－12＝40个，则答案就是40－12＝28。例56：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只【解析】此题不是两个对象，而是涉及到3个对象，也就是3个未知数的关系，那么我们就需要观察3个未知数相同特点的地方。我们发现，三个动物都有腿。那么我们可以假设所有动物腿都是6条，那么18只动物就有18*6＝108条。比实际情况少了118－108＝10条，这个是因为我们把蜘蛛8条看作6条了。一个蜘蛛少2条，则说明有10/2=5只蜘蛛；扣除蜘蛛18－5＝13，剩下的就构成了典型的“鸡兔同笼”问题了。根据翅膀总共是20只，我们假设蝉和蜻蜓的翅膀都是1对，那么13只就有13对，比实际情况少7对，这是因为我们把每只蜻蜓少算了1对，因此蜻蜓的数量就是7/1=7只，蝉的数量就是13－7＝6只了。鸡兔同笼不仅仅是对数值的假设理想状态，有时候也需要假设一种理想的相对关系。比如我们下面这个例题。例题57：有黑白棋子一堆，黑子的个数是白子的2倍，如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4枚，白子3枚。问：几次以后，白子余1枚，黑子余18枚【子任社区经典题】【解析】参考答案C。题目涉及2个对象黑白棋子，题目没有告诉我们一个关于两个未知数的总量固定值，而只是告诉我们一个相对关系，即黑子是白子的2倍，那么我们就需要以这个关系做为假设的关键参照，比如我们每一次操作是拿掉黑子4枚，白子3枚。如果操作拿掉黑白子的数量也按照2：1的关系拿掉。那么剩余的棋子的数量之比也是2：1，利用这样的关系，黑子拿掉4个不变，则要满足2：1的关系，即白子必须是拿掉2个。比实际情况少拿1个，我们剩余的棋子就应该是18：9＝2：1结果白子不是剩余9个，而是剩余1个，少了8个，那是因为我们每一次操作多拿了1个，所以少了8个白子，即应为前面操作了8次。下面关于鸡兔同笼问题，布置几道习题供大家练习习题1：某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度元，若每月用电量超过标准用电量，超出部分按其基本价格的80%收费，某户九月份用电84度，共交电费元，则该市每月标准用电量为（）。【06国考】A60度B65度C70度D75度习题2：鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。问：鸡比兔多几只习题3：一份中学数学竞赛试卷共15题，答对一题得8分，答错一题或不做答均倒扣4分。有一个参赛学生得分为72，则这个学生答对的题目个数是。【08安徽】A9B10C11D12习题4：一盒子里面装有红球、黄球和绿球，球的数量之比为1：2：3，现在每次从盒子里面拿出4个红球、7个黄球和12个绿球，拿了若干次之后，盒子里面还剩下2个红球、11个黄球和6个绿球。则这个盒子一共有多少个球【11子任模考】消去法消去法是指在一道问题中，存在两个或两个以上的未知数，解题时，通过一定的方法，消去一些未知量，只保留一个未知量，解决这种类型题目的方法就叫消去法。消去法一般分为加减消去法、比较消去法、和代入消去法三类。但不管是哪一种，我们的解题目的和解题步骤都是一样的，都是为了使一个问题中的未知量由多个转为1个，或者转化为一个便于求解的一个整体，使问题简化。消去法的特点与鸡兔同笼相似，不同的地方在于鸡兔同笼类型其个体之间具有相同特点和不同特点，而消去法的个体之间无明显共同特点。两者相似之处都是采用了“消元”思想，鸡兔同笼消元的目的是直接求解个体，而消去法的“消元”思想是直接把我们要求的一个整体做为直接求解的未知数，通过已知的表达式相互之间的转换直接形成。例58：甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙购买同样价格的笔，其中签字笔4支，圆珠笔10支，铅笔1支，共用去43元，问：单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱【09国家】A21

B11

C10

D17【解析】参考答案C。假设每支签字笔是元，每支圆珠笔是元，每支铅笔是元。根据题意，可以列出两个方程。（1）3＋7＋＝32（2）4＋10＋＝43要求解的是＋＋，这个时候我们不是通过逐个求解未知数来解决的。此题就是要运用（1），（2）的变型通过加减法消去多余的未知数，使之和要求解的表达式直接建立联系。具体解法如下：（1）×3－（2）×2＝（9＋21＋3）－（8＋20＋2）＝＋＋；因此此题答案为32×3－43×2＝10。说到代入消去法是什么概念呢这就要从需要我们对方程这个概念有一个真题认识，一般情况下：表达式出现n个未知数，就需要有n个等式关系才能分别求解出各个未知数，否则我们的未知数会出现多解情况，那么我们就可以假设固定其中一个未知数为常数，那么就可以求解其它的未知数，进而最终求解所有未知数的恒定关系如上述题目的2个表达等式，我们可能一下子无法找到他们之间的转换关系，那么我们不妨利用代入消“元”思想，令＝0要看表达式中，未知数系数不利于运算的，我们就假设它为常数，这样2个表达式就转化为3＝32，4＝43，则直接可以解得＝11，＝－1，则我们的答案就清晰了＝110-1=10例59：到超市购买商品，如买7件A商品，3件B商品，1件C商品共需50元；如买10件A商品，4件B商品，件C商品共需69元。若这三种商品各购买两件，则所需的钱数是【09江苏】A．28元B．26元C。24元D．20元【解析】参考答案C。方法与上述例题如出一辙。具体做法如下：假设A商品单价为元，B商品单价为元，C商品单价为元。则构成2个等式方程17＋3＋＝50210＋4＋＝69要求解的是2（＋＋），即令（1），（2）等式变型相减×3－（2）×2＝＋＋＝50×3－69×2＝12故2（＋＋）＝2×12＝24代入消去法则令＝0，即可求解＝19，＝-7,则答案就是2*019-7=24例60：如果按原价买2个书包，5支钢笔，4本书需要80元，如果书包五折，钢笔二五折，书按照原价的1/3出售，买一个书包一只钢笔一本书需要12元。请问原价买一个书包一只钢笔一本书共需多少钱A．28B．29C．30D．32【解答】答案为A。消去法不仅仅是通过变型相减直接得到我们要求的表达式，同样也可以采用加法，例如此题，具体解法如下：假设书包的价格是每个元，钢笔每支元，每本书元，则（1）2＋5＋4＝80（2）/2＋/4＋/3＝12等价于6＋3＋4＝144我们发现（1）＋（2）＝（2＋5＋4）＋（6＋3＋4）＝8（＋＋）,因此答案为：（80＋144）÷8＝28下面我们给出1个习题供大家思考练习习题：某校六年级分为甲乙丙三个班级，先决定把校办厂生产多出来的一批练习本共计720本全部分给这三个班级，甲班每人是2本，乙班每人是3本，丙班每人是5本，后来校领导发现这种做法是不可取的并予以纠正，改为甲班每人6本，乙班每人5本，丙班每人3本。请问该校六年级学生人数为多少人【11年子任模拟题】三、“比例法”思想比例法是什么，比例是数量之间的对比关系，或指一种事物在＝A*B，M，A，B分别代表三个不同的量，在实际的应用中如：路程＝速度*时间，总量＝效率*时间、溶剂＝溶液*浓度等。只要符合这种等式关系。不管是不是行程问题、效率问题、工程问题都可以采用。在采用的过程中，切记注意三个量中必须要有一个量是固定的，这样另外2个量才会有相对关系。如：M＝A*B，当Ｍ固定，则Ａ和Ｂ之间就是反比关系；当Ａ固定时，Ｍ和Ｂ之间就是成正比关系；当Ｂ固定时，Ｍ和Ａ也是成正比关系。另外研究相对关系，不仅仅从数值上看，还需要从整体上看。如：Ｍ1=A1*B1和Ｍ2=A2*B2,当Ｍ1=M2时，相当于把这２个表达式合并了，等同于Ａ1*B1=A2*B2，那么我们就可以看出这里的反比关系:即Ａ1:Ａ2=Ｂ2:Ｂ1,进而我们可以进行相同的推理，当A1=A2时，Ｍ1:M2=B1:B2,当Ｂ1=B2时，Ｍ1:M2=A1:A2例题61:甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时？

A．2B．3C．4D．6【解析】参考答案B。题目描述的一个关键就在于他们都是用不用的时间去走对方相遇前走的距离，这里如果要建立某种等式关系，那么就是他们的速度之比是一个固定关系。假设他们用了t小时相遇，那么在甲走的t小时距离上，乙用了4小时走完，速度之比为时间反比，V甲:V乙=4:t,同理，我们再看乙走的t小时，那么也可以根据反比关系得到V甲:V乙=t:1,因此得到了这样的关系4:t=t:1,解得t=2,答案为21=3小时。差、和关系比例法应用介绍差值比例在比例法中是最经常适用的一种方法，我们通过量之间的变化部分，运用比例的缩放求解。只要找到差值所对应的具体比例点数，就可以求解实际数值。差值比例是怎么来的呢，我们来看一下简单推理：在关系表达式M=A*B中，当M不变的情况下，A和B的反比关系是固定的，当A发生变化，则B发生变化。可以产生这样一种情况A1：A2＝B2：B1，用分数形式表示就是，我们令等号左右同时减去1，即可转换为，A1－A2和B2－B1这就是差值关系，差值和所对应的量也是一种反比关系。例题：甲行使一段路程按照30千米/小时的速度比按照25千米/小时的速度要快1小时。则这段路程是多少千米。分析：我们就抓住路程不变，时间和速度是成反比关系的即30的速度和25的速度时间之比是为25：30＝5：6，这里5就代表着30的速度用时，6就代表这25速度的用时，他们相差6－5＝1个比例点，即对应1小时。因此实际时间就是1*6小时和1*5小时。这样答案就明显了30*5＝25*6＝150千米。下面我们通过几个题目来看看差值比例法的应用：例题61：小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟【11国考】【解析】参考答案B。此题已知条件可知步行跑步速度比是1：2，跑步和骑车速度比是1：2，则步行速度：跑步速度：骑车速度＝1：2：4，骑车去，步行返回，这是路程相同的情况下，时间比等于速度反比，是步行用时：骑车用时=4:1，时间和为41＝5对应2小时。则每个比例点就是2/5=小时。因为问的是跑步时间跟骑车时间是2:1关系即为小时即48分钟。例题62：两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3:1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？:9:2:40:11【解析】参考答案A。体积相同，这就要求我们把两个比例3：1和4：1变成“和”同比例。代表着体积相同。因此实际上是招31＝4和41＝5的最小公倍数20，因此3：1＝15：5，4：1＝16：4，这样和相同，即酒精和水的比例就是1516：54＝31：9了。例题63：甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3，而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米（）【05北京】A1250B940 C760 D1310【解析】参考答案A。像这样的行程问题，比例法是最佳的解答方法。首先我们确定需要几次相遇速度相等，我们先来看需要多少次相遇才能速度相等：160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方，N代表了次数解得N＝3，说明第三次相遇即达到速度相等第一次相遇前：开始时速度是160：20＝8：1，用时都一样，则路程之比＝速度之比＝8：1，每一次相遇则路程之差为一圈的距离，所以8－1＝7，对应一圈的距离即210，所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270第二次相遇前：速度比是甲：乙＝4：1用时都一样，则路程之比＝速度之比＝4：1，所以4－1＝3，等于一圈的距离对应的比例，即210

，所以这个阶段2人路程之和是210÷3×（4＋1）＝35第三次相遇前：速度比是甲：乙＝2：1用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1，所以2－1＝1对应的是一圈的比例即210，所以第3阶段2人路程之和是210÷1×（2＋1）＝630,则总路程是270＋350＋630＝1250。下面将会通过一些习题来巩固一下：习题1：为了把最新年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。【06国考】A8500棵B12500棵C12596棵D13000棵习题2：甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5:4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米．再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是：【07国考】A．20厘米B25厘米C30厘米D35厘米习题3：A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程．乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时问后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇．相遇地点离A、B两站的距离比是15：16．那么．甲火车在（）从A站出发开往B站．【07国考】A．8时12分B8时15分C8时24分D8时30分习题4：某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成，如果每天加工60双，则要比原计划提前2天完成，这一订单共需要加工多少双旅游鞋【08北京】双双双双习题5：有20名工人修筑一段公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人去其他工地，其余人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用（）【10广东】天B18天C17天D16天习题6：小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？习题7：一汽车从a城开往b城，如果把车速提高到20%，则可比原来提前1个小时到b城，如果原来速度行驶100千米后，再将速度提高到30%，恰好比原来提前1个小时到b城。请问ab城距离？习题8：王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少1/9；若每小时少加工16个，则所用的时间比原来多3/5小时这批零件有多少个习题9：一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5千米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？习题10：某工程由小张小王两人合作刚好可以在规定的时间里完成,如果小张的工作效率提高20%,那么两人只需要用规定时间的9/10来完成工程，如果小王的工作效率降低25%,那么两人就需要延迟小时来完成工程问规定的时间是多少小时小时小时小时恒值比例法应用介绍恒量比例法是比例问题当中一个比较突出的问题，在我们研究的比例关系中，如果某一个量是恒定的，他从头到尾都没有发生变化，那么我们就可以利用这样的一个对象所代表的比例点来求解。一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下所代表的比例点不同，这个时侯我们就要学会把这些不同的比例点化为相同的数值来代替，这就可以建立不同的比例参照标准之间的联系。下面我们就通过几道真题来研究一下关于恒量比例关系的运用。例题63：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多水后，溶液浓度将变为多少【09国考】%

%

%

%【解析】参考答案D。这个题目中“恒量”对象就是溶质，因为我们的溶质一直没有变化，而溶剂水在不断减少，那么我们抓住溶剂的比例关系来寻找突破，第一次,溶质质量:溶液质量=10:100,第二次，溶质质量:溶液质量=12:100这个时侯我们只需要将这两次代表溶质的比例点10和12都变为相同的数值，这样就可以找出这2个比例的关系。10和12最小公倍数是60，则我们就可以得到10:100=60:600,12:100=60:500,我们就发现溶液代表的比例点数值减少了600-500=100,说明被蒸发了100的水。那么再次这样的操作，即溶液质量就剩下400了。因此答案是60/400=15%例题64：一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占四分之一，后来又往袋子里放了10个红球，这时红球占总数的三分之二，问原来袋子里有多少小球【08安徽】【解析】参考答案A。此题的变化情况发现了一个“恒量”:非红色球数量没变,刚开始非红色球:总数=3：4，再放进10个红球后，非红色球:总数=1:3,则两个比例关系中的3和1均代表非红色球，寻找相同比例点代替即最小公倍数3，3:4和3:9,我们发现总数增加了5个比例点即对应增加的10这个数值，因此每个比例点就是10/5=2个。总数最初的比例点是4，即答案为4*2=8个。例题65：有银铜合金10公斤，加入铜后，其中含银2份，含铜3份。如加入的铜增加1倍，那么银占3份，铜占7份，试问初次加入的铜是多少公斤【09北京】【解析】参考答案C。此题中“恒量”是银的重量，第一次加入铜后，银:铜=2:3，第二次加入铜后,银:铜=3:7,比例关系中2和3均代表银，最小公倍数是6，我们统一用6在2个比例关系中表示银，即2:3=6:9，3:7=6:14，则可以看出铜增加了14-9=5个比例点。那么第一次增加也是5个比例点，则第一次之前9-5=4、因此第一次之前总共重量是46=10个比例点对应10公斤，则1个比例点是1公斤，答案每次是增加5个比例点即答案为54、“凑变”比例关系“凑变”关系是在上面讨论的基础上进一步拓展开来的。数学不是算术，不仅仅是数值之间的加减乘除，就好比逻辑里面一样，逻辑不可能单纯考你几个逻辑对象之间是什么关系，逻辑还会考察几种逻辑关系之间的是什么样的关系。同样数学也是如此，除了对某一些特定对象的数值进行分析之外，我们还需要能够对数学题目中数学关系与数学关系之间的联系。说到恒量关系比例法中，就要谈到的某一种关系的不变，然后利用这种恒定的比例关系切入题目，要得到一种恒量比例关系，以后需要我们对题目进行适当的调整，使之满足题目理想状态的一种比例关系，这就是“凑变”的过程。通过这个“变”进而求解。下面我们来看几个例题：例题66：目前某单位女职工和男职工的人数之比为1:30。如果女职工的人数增加5人，男职工的人数增加50人。则两者之比变为1:25，则目前女职工的人数是人。【09上海】【解析】参考答案C。此题我们选择了一种“恒量”关系，那就是1：30，现在女职工和男职工增加人数之比并不是1：30，这个时侯就需要“凑变”，那么我们可以让男职工多增加100人，这样就是1：30，其结果也就是1：30，而实际情况是1：25，减少了30－25＝5个比例点就对应这100个男职工了，所以每个比例点就是20人。注意这个地方求出来的1个比例点是关于最后形成的1：30的比例点。也就是说女职工是在增加5人之后构成的1个比例点，即原来女职工人数是20－5＝15人。公倍数与公约数公倍数是指在两个或两个以上的*b^m*c^1）n1＝a*b，a和b均是M的约数，a和b是成对出现的，因此一般情况下是偶数个，如果a＝b时，这样一对约数就变成了1个约数就会减少1个，那么就变成奇数了。对于约数个数和约数特征的考察有这样几个题目我们来探讨一下：例题67：A、B两数恰含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A数有12个约数，B数有10个约数。那么，A、B两数的和等于（）。【07山东】【解析】参考答案D。此题先从快速技巧解题75为最大公约数，说明ab均含有75因子，那么其AB之和也必然含有75因子即3和25的倍数。3的倍数的只有D。从约数个数求解方式上看75=3*5^2这是A和B均共同拥有的因式分解后的部分，而且只含3和5我们知道A的约数为12个，12＝3*4,也就是说指数是2和3而10＝2*5指数分别是1和4，现在共同部分要求3只能是1次，所以B是含1个3的，5必须都有2次，且不能都超过2次。B的5只能是4次，那么A的5就只能是2次了。故而A＝3^3*5^2=675,B=3*5^4=1875求和就是2550例题68：从360到630的自然数中有奇数个约数的数有（）个？【解析】参考答案D。此题根据上述总结可知只有平方数含奇数个约数，即我们就是要观察360到630之间的平方数360最接近的是19^2=361,630最接近的是25^2=625因此是19～25合计7个。例题69：一间教室，共有100盏灯。有一个人，先将这一百盏灭着的灯贴上序号，从1贴到100，第一轮，他按下所有贴有1的倍数序号灯的开关，第二轮，他又按下了所有贴有2的倍数序号灯的开关，……，经过一百轮后，请问，教室里总共亮着多少盏灯。【解析】参考答案B。此题从提问来看，要知道还剩下多少盏灯亮着，就需要知道这盏灯被开关了几次。最初是灭着的，如果要最终亮着，则只要是经过奇数次开关就会亮着。而题目要求是只有其自身的约数才能碰它（灯），因此也就是说看灯的编号为平方数的才是奇数个约数。即只要是编号为平方数的都会被碰了奇数次即最终都亮着，即答案是1～100的平方数。“公约数”和“公倍数”思想的应用在我们解题过程中，这种思想往往可以拓展到其它题目上。如公约数的应用通常可以帮助我们快速的通过整除特征来求解。例题70：有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分时，实际时间是（）【10浙江】点50分点10分点04分点24分【解析】参考答案D。我们知道怪钟和标准时间的比例关系是根据“每昼夜设计成10小时”这句话得出24：10＝：1，也就是说最终通过怪钟时间差还需要乘以得到实际时间差。因此答案肯定是含这个因子。也就是说含3的倍数。同理我们也要知道时间问题的进制是60进制。60本身就是3的倍数。说明此题我们只需看分钟数部分。即发现只有D答案是满足3的倍数的即选D。例题71：若商品的进货价降低8%，而售出价不变，那么利润按进货价而定可由目前的，那么m=9a7,m=5b2,m=4c3,可以有这三种表现形式，其中我们发现m=5b2=5b-17,m=4c-17,这样就可以看出这个三位数是关于9、5和4的公倍数7的。因此三位数通式就是180n7，只需观察1000里面有多少个180的倍数即可。总结：对于这类问题，我们通常是观察余数和除数的关系。余数和除数存在下列这些关系的时侯可以考虑应用公倍数求解。除数表示为b，余数表示行、n列的方阵，人数减少＝边长×mn-mn。增加m行，n列人数也是增加这么多。方阵的延伸：立方体有6个面，6个面就是我们讨论的方阵。这也是方阵的延续。计算一个立方体的元素数量则就是考虑由面转为体，从面积转为体积。方体人数＝边长*边长*边长（体积）方体具有的特点也就是立方体具有的特点。例题84：学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方针共有学生多少人A．256人B．250人C．225人D．196人【解析】参考答案A。此题就可以根据方阵的基本特征来判断：方阵人数是一个平方数，锁定AC，其次，最外层是60，说明边长是一个偶数，则平方数也是偶数即选A。具体来看根据最外层60，可以计算出边长=60÷41＝16，即人数16×16＝256例题85：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是【09江苏】A．296人B．308人C．324人D．348人【解析】参考答案B。此题可以利用其方阵的本质等差性质来判断。即要求总人数即根据等差数列和=中间项×项数。即证明答案是44的倍数。直接用11来判断。具体做68-44=24,是24/8=3个公差，即中间层是第13＝4层。则总共是7层。则答案就是44×7＝308人。例题86：某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人，第二次比第一次每排每列增加3人，结果缺少29人，仪仗队总人数是多少（）【解析】参考答案C。利用实心方阵的人数是平方数的知识，可以快速判断总人数-100是平方数。即选C。具体解答：假设最初边长为a，每排增加3人也就是表示增加了3列。横向纵向合计是6条a3，其中重叠部分是3×3，即6a3-3×3=129可解得a=20，即答案是20^2100=500人。下面介绍2道复杂一点的方阵问题供大家思考：习题1一果农想将一块平整的正方形土地分割为四块小土地，并将果树均匀整齐地种在土地的所有边界上，且在每块土地的四个角上都种上一棵果树，该果农未经细算就购买了60颗果树，如果仍按上述想法种植，那他至少多买了（）果树。【联考】A0

B3

C6

D15习题2有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵型，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人？A160B1296C640D1936类“方阵”的植树问题应用探讨所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。例如一条马路上植树。长度是200米，每10米栽1棵树，那么所表现出来的就是有200÷10＝20个间隔，但是其构成20个间隔需要21个端点，也就是相当于栽树21棵。而环形植树，则有一个首尾端点重合的问题，也就是说环形植树比直线植树少了一个端点。那么其端点数目与间隔数目相等。植树问题是数学运用题中的典型问题。主要有两种基本类型：无封闭问题和有封闭问题。主要有以下几种重要关系：（1）若题目中要求两端都栽树，那么棵树比段数多1。（2）若题目中要求在路的一端栽树，那么棵树与段数相等。（3）若题目中要求路的两端都不栽树，那么棵树=段数-1。（4）植树问题中不同方式的植树结果差值是不考虑－1的。因为2种方式都要－1，故而可以相互抵消。植树问题的2大形式，线性植树和环形植树线性排列、环形排列例题87：两棵柳树相隔165米，中间原本没有任何树，现在这两棵树中间等距种植32棵桃树，第1棵桃树到第20棵桃树间的距离是【08江苏】A．90B．95C．100D．前面答案都不对【解析】参考答案为B。植树问题，中间植树，去掉头尾，植树32棵，间段为33段。每棵树的间距=165÷（321）=5米，第1到第20棵有19个间段，所以距离是19×5=95米。当然此题我们也可以通过数字特性来排除得到答案。例如第1棵桃树到第20棵桃树间隔是19个，因此距离＝19×间隔数。因此答案应该是19的倍数。只有B项才是95的倍数。至于D项显然都不会选。否则此题就没有任何考察的意义了。例题87：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156m、186m、234m，树与树之间距离为6m，三个角上必须栽一棵树，共需多少树【06湖南】

A93棵B95棵C96棵D99棵【子任解答】参考答案C。本题考查的是在封闭的路线上植树问题。环形封闭植树问题其植树的数目是跟着端点走的。而端点跟间隔数目相等。因此，棵数＝路线周长÷株距。即156＋186＋234÷6＝96棵。通常“植树”问题的题目经常会融合“差值比例法”思想或最小公倍数思想来帮助快速求解。下面我们就把上面曾经讲过的题目拿出来做对比，大家务必注意分析什么情况下用最小公倍数好，什么情况下用差值比例好。例题88：为了把最新年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。【07国考】A8500棵

B12500棵

C12596棵

D13000棵【解析】参考答案D。我们先对题目进行分析。他提供给我们2种情况：每隔4米栽1棵，则少2754棵；每隔5米栽1棵，则多396棵。这2条马路的总长度是固定不变的，且栽树的间距和栽树间隔数目是成反比的。那么这两种情况相差2754＋396＝3150棵树，因为间距之比是4：5

则栽树的间距数量之比是5：4，差1个比例点对应的就是3150棵树。即树的间隔数目就是3150×4＋396＝12996个，这个时候我们还需考虑植树问题了：间隔跟实际的栽树数目关系相信大家都很清楚，2条马路4条边需要加4

，故答案是13000。例题89：在一条公路的两遍植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米【解析】参考答案C。通过最小公倍数法来做。和3的最小公倍数是15，说明每15米两种不同株距的栽树方法