市场风险的计量及管理课件

第六章市场风险的计量与管理第一节市场风险概述第二节市场风险计量的一般方法第三节VaR的基本概念第四节独立同分布正态收益率下的VaR计算第五节非独立同分布正态收益率下的VaR计算第六节市场风险的管理（方法）第六章市场风险的计量与管理第一节市场风险概述1第一节市场风险概述一、市场风险概述目前关于市场风险的定义有多种观点：1、第一种观点认为，金融市场风险是指由于金融资产价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性。一切影响价格波动的因素都是产生市场风险的原因。这种观点认为市场风险就是总风险，包括系统风险与非系统风险。2、第二种观点认为，金融市场风险是由于金融资产价格波动给投资者造成损失的可能性或损失的不确定性。一切影响价格波动的因素并给投资者造成损失时才有风险，不造成损失的任何波动都不应视为风险，这种观点也认为市场风险是总风险，包括系统风险与非系统风险。3、第三种观点认为，市场风险是指由于（证券）市场长期趋势变化而引起的风险（霍文文：证券投资学），而引起市场长期趋势变化的决定性因素是经济周期的变动。它属于系统风险的一种。4、第四种观点认为，市场风险指因市场各种系统性因素（如利率、汇率、通货膨胀率等）变化而导致投资者亏损的可能性。当市场各种因素变化较大或较频繁时，投资者遭受损失的可能性或数额也会变大。它属于系统风险的一种。

总之，两类观点：一种认为市场风险是总风险，一种认为市场风险是系统风险。第一节市场风险概述一、市场风险概述2二、市场风险的特点1、市场风险实质上是价格风险，是由于价格波动给投资者造成损失的可能性；2、其他一些风险可以看成市场风险的子风险，如利率风险、权益价值风险、汇率风险、购买力风险等。利率风险：由于市场利率的变化给投资者造成损失的风险。权益价值风险：由于权益价格变化给投资者造成损失的风险。汇率风险：由于汇率的变化给投资者造成损失的风险。3、市场风险如何分解成这些风险是一个值得研究的问题二、市场风险的特点1、市场风险实质上是价格风险，是由于价格波3第二节市场风险计量的一般方法在第二章讲的风险计量方法都可以用来计量市场风险，可以说市场风险计量方法研究是目前最为丰富的，主要有以下几类：一、波动性方法根据风险是未来收益不确定性的观点，可以用实际结果偏离期望结果的程度：波动性来计量市场风险；其中，方差或标准差是最常用的方法，除此之外，还有beta系数、平均误差平方和(MSE)、平均绝对误差平方和（MSE）、平均绝对误差等。二、损失波动性方法根据风险是未来损失不确定性的观点，可以downsiderisk方法来计量市场风险；其中，最常用的方法是下偏矩方法，包括一阶和二阶下偏矩。第二节市场风险计量的一般方法在第二章讲的风险计量方法都可4三、市场因子灵敏度法

灵敏度方法，是指利用金融资产价值对其市场因子的敏感性来计量金融资产市场风险的方法。如债券的久期：灵敏度表示当市场因子变数一个百分数单位时金融资产价值变化的百分数。灵敏度越大的金融资产，受市场因子变化的影响越大，风险越大。用灵敏度计量市场风险时，仅当金融资产价值与其市场因子变化呈线性关系时才成立。因此，灵敏度方法只是一种线性近似，一种对风险的局部测量。不同的市场因子，存在不同类型的灵敏度。实际中常用的灵敏度包括：针对债券(或利率性衍生工具)的久期和凸度，针对股票的beta，针对衍生金融工具的delta、Gamma、Theta、Vega、Rho等。三、市场因子灵敏度法灵敏度方法，是指利用金融资产价值5四、信息论方法根据风险是信息缺乏程度的观点。可以用信息论的方法计量市场风险；其中，信息熵的方法是实际中最常用的方法。五、损失量方法根据风险是不利结果程度的观点，可以从损失量的角度计量市场风险；主要有，最大损失量、期望损失量等方法，其中，VaR方法是实际中最常用的方法。四、信息论方法根据风险是信息缺乏程度的观点。可以用6六、压力试验与极值方法1、压力试验是测量市场因子发生极端不利变化时，金融机构或证券组合的损失大小。该方法首先要确定可能会发生的对资产组合产生不利影响的极端市场行为;其次，根据具体情况确定进行压力测试的时间频率,如选择每日、每周、每月或每一年等；第三,计算不同压力下资产组合可能的损益变化,同时,提出相应的调整头寸或调整资本以适应头寸需要的方案,以应付特殊情况的或有发生。压力测试被认为是与VaR模型互相补充的方法。因为VaR模型只是给出了给定置信水平下的市场行为变化,并没有描述极端情形,而且,VaR值只提供了一个总括性的风险损失值,并不指明风险的来源或方向,一系列的压力测试刚好弥补了这一不足,从而有可能比单个使用这两个指标能更全面地了解市场风险的状况。2、极值分析方法是通过对收益的尾部进行统计分析，从另一个角度估计市场极端条件下的金融机构损失大小的方法。六、压力试验与极值方法1、压力试验是测量市场因子发生极端不利7

第三节VaR的基本概念一、

VaR的基本含义一个价值Vt(dollar)的头寸，天的VaR指在未来天，Vt以的概率损失的最大值.例如，你购买10millionEuros.如果1EU=.564USD(USD/EU的汇率为：Mt=.564）,美圆的头寸为：Vt=10MilxMt=$5.64million.

那么，这个头寸的99%，24hours的VaR为$78,711.84，其含义为，投资在欧元上的5.64million美圆，在未来24小时，其最大损失为$78,711.84，概率为99%。也就是说，在未来24小时，其最大损失超过$78,711.84的概率为1%。

第三节VaR的基本概念一、VaR的基本含义8一、VaR的含义假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：

这样，投资在欧元上的价值变化为：

=$5.640mil也服从正态分布。

根据的分布密度，我们可以画出的分布图(Figure1withadailyvolatility=.6%)

99%VaR是(负数)这样一个数据，即只有1%的概率使得我们资产的变化低于这个数值。一、VaR的含义假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：9市场风险的计量及管理课件10二、注意的问题（1）VaR的值取决于市场变量统计特征的假设。也就是说，取决于风险管理者对市场变量运动的假设，因此，风险管理者可能得出不同的VaR值。（2）VaR仅为统计意义上的风险指标，它与样本均值、方差、协方差一样，有统计误差。产生这些误差，有很多原因（如小样本），不仅仅是模型的问题。（3）虽然如此，VaR在我们后文讨论的情况中是非常有用。

二、注意的问题（1）VaR的值取决于市场变量统计特征的假11第四节独立同分布正态收益率的VaR一、单一证券VaR假设USD/EU汇率的收益率是独立、正态分布，即：这里，期望（）和标准差（）均为常数。时间单位为1天，即和是汇率的日期望收益率和易变性（标准差），而不是年数据。令是标准正态分布的分位数，分位数的含义是：如果Z~N(0,1)，表示这样的数字，即随机抽样中，Z>的概率正好为下表给出了一些常用的

值。

第四节独立同分布正态收益率的VaR一、单一证券VaR12例如，如果=99%,则=-2.326,说明从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值大于-2.326的概率为99%。也就是说，只有1%的概率，使得从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值小于均值的2.326个标准差。

例子：考虑前面欧元的例子。组合价值的变化为：=$5.64mil服从于均值为，标准差为的正态分布。根据上述的定义，可以计算分布密度为

的分位数为：

这个值即为一个分界点，即损失超过发生的概率为(1-)。例如，如果=99%,则=-13这样，，1dayValueatRisk为：VaR=负号表示VaR测量的是损失而不是收益。将代入，得：VaR=-(-2.326*5.64mil*.006)=$78,711.84这样，，1dayValue14二、证券组合的VaR二、证券组合的VaR15二、证券组合的VaR1、两证券组合的情况投资组合的变化为：=这里Jt=.007629由上看出，投资组合价值的变化是服从联合正态分布变量的加权之和，因此，它也服从正态分布。其中，二、证券组合的VaR1、两证券组合的情况16这样，99%，1天的VaR为：

VaR=$177,331.59

也就是说，只有1%的概率，在未来24小时内，组合的损失大于$177,331.59。

这样，99%，1天的VaR为：

VaR=$177,33172、一般情况设有n个不同的资产，是t时刻投资在第i个资产上的资金量（美圆），是t+1时刻投资在第i个资产上的收益率。

假设服从联合正态分布，那么组合的变化值也服从正态分布

记为的均值，为证券与证券收益率的协方差，为证券收益率的方差则：这样，我们可以用同样方法求出证券组合的VaR。2、一般情况设有n个不同的资产，是t时刻投资在第i个182、一般情况考虑一般的情况，证券组合价值的变化为：这里，为组合的总财富（$表示），为总财富在asseti上分配的比例，为组合的收益率。

是组合的收益率期望值和标准差，这样，1dayVaR可以由下式给出：当然，这里涉及大量的统计计算问题，但基本思想与上面讨论的相同。2、一般情况考虑一般的情况，证券组合价值的变化为：19三、因素模型的简单回顾1、因素模型因素模型，一般可以写成如下形式：其中，是因素，而且相互独立（为了清楚起见，你可以把这些因素看成诸如超常收益率、GNPgrowth等）。测度的是收益率对第k个因素的敏感性。三、因素模型的简单回顾1、因素模型20三、因素模型的简单回顾（2）一旦整个证券组合的收益取决于这些因素，我们容易找到证券组合价值变化的分布

如果这些因素服从联合正态分布，我们就可以用前述同样的方法计算ValueatRisk.

三、因素模型的简单回顾（2）一旦整个证券组合的收益取决于这些21四、增加VaR（IncrementalVaR，边际VaR）1、意义：从以前的讨论中可以看出，证券组合的总风险，并不是单个证券风险之和(一般小于)。这并不奇怪，它仅仅是分散化原理的再现。但在很多场合下，估计证券组合总风险中单个证券的边际贡献是很重要的。例如，考虑一个金融机构，它提供一组金融服务。这个金融机构有几个服务窗口(theswapdesk,theFXdesketc.)，它们相互独立，而且每个服务窗口都经营若干金融资产。为了估计金融机构总的风险，我们将金融机构看成证券组合，计算证券组合一天的VaR。但从内部管理的角度看，金融机构估计每一种业务对企业总风险的边际贡献是非常重要的，其原因主要有：1)有效管理风险的需要；2)（建立规则）对各种业务分配风险资产的需要（头寸的限制）；3)评估各项业务成绩的需要。四、增加VaR（IncrementalVaR，边际V222、增加VaR的引出如果在证券I上增加1美圆的投资，考虑证券组合VaR的边际变化是多少。

首先，我们知道：因此，有：

2、增加VaR的引出如果在证券I上增加1美圆的投资，考232、增加VaR的引出（2）再考虑证券组合价值变化的方差的表达式：最后一个等式来自于重新整理。2、增加VaR的引出（2）再考虑证券组合价值变化的方差的24等式两边同除以，得：我们有：这样：VaR的分解！等式两边同除以，得：25这里，记：表示由于资产i的微小增加导致总的VaR的变化，这样，定义资产i的边际VaR为：这里，263、实例考虑上节的例子：这样，3、实例考虑上节的例子：274、重要提示将VaR分解为边际VaR，并不意味着我们取消资产i,余下资产的VaR等于最初总的VaR减去IVaRi。例如，在上例中，取消日圆业务并不等于将VaR从$177,331.59降低为(VaR-IvaRJ)=$66,279.14。事实上，从上述例子中我们已经知道，仅投资于欧元（EU）的VaR$78,711.84!

4、重要提示将VaR分解为边际VaR，并不意味着我们取消28五、连续复利正态分布收益率的VaR1、连续复利正态分布的含义连续正态分布收益率的假设在很多情况下，可以使问题的分析得以简化

。回忆以前的例子，在连续正态分布收益率的假设下，记Mt为美圆对欧元在t时刻的汇率，则：

这里是日连续复利收益率（以天为单位！）。正如我们上面分析的，这个假设保证汇率Mt+1是对数正态分布。

五、连续复利正态分布收益率的VaR1、连续复利正态分292、为什么需要复利正态分布收益率（1）当分析时间序列事件时，应用连续复利收益率是很方便的。例如，假设我们有收益率的日均值和日方差，如果改变时间长度，计算一个月收益率的均值和方差（一个月为20个交易日）。在独立同分布的日复利收益率下，20天的收益率为：

由于收益率是独立同分布的，20天的连续复利收益率为：2、为什么需要复利正态分布收益率（1）当分析时间序列事件30这样，月均收益率和标准差分别为：一般地，如果时间水平为，则收益率和标准差分别为：如果日收益率为正态分布（不是连续复利），有：是从t+i-1到t+I的收益率。注意，20-day的收益率是正态分布随机变量的乘积而不是随机变量的和，因此，如果不使用连续复利收益率，则20-day收益率的分析将变的十分复杂。这样，月均收益率和标准差分别为：312、为什么需要复利正态分布收益率（2）(2)当投资的总收益率是两个价格组合而成时，使用连续复利收益率是很方便的。例如，如果你购买了一个Frankfurt市场上的指数基金，那么，在将来你投资的总价值是由欧元的股票价格乘欧元的美圆价格得出(看下面的例子)。(3)对于小的收益率值(例如,以天计算的收益率)，单利收益率可以用复利收益率很好地近似,因为，对于一个很小的X，我们有：在这种情况下，单利收益率可以假定为服从正态分布的。2、为什么需要复利正态分布收益率（2）(2)当投资的总收益323、实例

假设我们在FrankfurtStockMarket投资10mil欧元的指数基金，设欧元的日收益率为YM，FrankfurtStockMarket的收益率为YS,即：St是Frankfurtindex在t时刻的价格，这里时间单位为“oneday”。假设YMandYS服从正态分布和联合正态分布，其均值和方差分别为：，它们的相关系数为：你的财产明天的价值（以美圆计）为：3、实例假设我们在FrankfurtStockMark33根据St+1和Mt+1的定义，因为联合正态分布之和仍为正态分布，我们有：这里因此，投资欧元的总收益率（股票市场的收益率+外汇汇率的收益率）仍然服从正态分布，所以我们可以利用前面所学的技术计算VaR.根据St+1和Mt+1的定义，34记为Yt+1小于发生的概率为的数值，我们可以计算头寸为Vt=10MilxMt时的VaR。

应用历史数据，假设这样，记为Yt+1小于发生的概35

这意味着有99%的可能性，投资收益率大于：因此，投资在FrankfurtStockMarketIndex上的5.64Milliondollar，a99%1-dayVaR为：这样与传统意义上的VaR是否一致？

这意味着有99%的可能性，投资收益率大于：36六、含有非线性衍生品组合的VaR我们以前的分析，都是假定资产的收益率服从正态分布，但存在一种重要的情况是，当组合中包含衍生证券时，组合的收益率不服从正态分布，因为衍生证券的价值相对于标的资产而言是非线性的。例如，如果一个证券组合包括指数看跌期权(如组合保险),既是假定指数收益率服从正态分布，指数看跌期权的价值则不服从正态分布。这部分我们将应用“DeltaMethod”method和“Delta-GammaMethod”method处理这类问题.

令

为资产St以价值形式表示的收益(是绝对值而不是百分比).如果六、含有非线性衍生品组合的VaR我们以前的分析，都是37（一）Delta-Method假设一个衍生证券在t时刻的价格为

其中，为标的资产的价格该衍生证券的delta值为：该衍生证券在t+1时刻的价格为：

那么，该衍生证券在t+1时刻的收益为：这样，衍生证券的收益也服从正态分布，其均值和均方差分别为：

（一）Delta-Method假设一个衍生证券在t时刻的价格38

Example:考虑一个投资在S&P500marketindex上$1bil的养老基金和由3个月看跌期权保险策略构成的组合假设S&P500=936，三个月看跌期权（执行价K=930）的价格为ft=$36。再假定无风险收益率为r=5%，标的物的红利收益率为0，年隐含的收益率波动性为：

则根据Black-Shose公式，有：在给定S&P500index的价值，投资在养老基金上的份额为：

NS=1bil/936=1,068,376indexshare(spotmarket).令Nf=1,068,376.

Example:考虑一个投资在S&P500market39Example

这样整个头寸的变化量为：

可见，服从正态分布，其均值和标准差分别为：

将代入到VaR的计算公式中，a99%onedayVaR为：

Example这样整个头寸的变化量为：40评论（1）你可能会立刻注意到在计算非线性证券VaR时，Delta-Normalmethod的不足：（1）根据定义，VaR给出的是小概率下极端的损失值(损失大于$22.147milinthenext24hours的概率，仅有1%)。Delta方法仅仅在股票价格小的变化时才适用。因此，在近似方法(假设价格有小的变化)与VaR(价格有大的变化)定义之间存在不一致性。（2）为了进一步考察近似的程度，我们计算看跌期权的价值，这里收益率为均值-2.326standarddeviations（假设均值为0）这样，日收益率为：是低于均值2.326standarddeviations的股票收益率(这也是用于计算没有期权时99%VaR的分界值）。这时，对应的新指数值为S

=900（对应于VaR的分界值）。看跌期权的价格为：评论（1）你可能会立刻注意到在计算非线性证券VaR时，De41评论（2）总头寸的价值下跌（也就是VaR）为：可见，与$22.147不同，其差异的原因是相对于标的资产，看跌期权的价值是非线性的(价值上升的快，进而高估了VaR)。

换言之，随着股票价格的下跌，看跌期权的Delta变的更负，即它的Gamma（Delta对标的股票价格变化的敏感性）

是正值（此例中)，看跌期权的价值比增加更快。在这种情况下，估计值超过实际的a99%onedayVaR，但是，同样的非线性也可能会低估a99%onedayVaR。评论（2）总头寸的价值下跌（也就是VaR）为：42（二）TheDelta-GammaMethod比deltamethod更好的近似方法是应用Taylorexpansion中的高阶项。

应用上述例子(Taylorexpansion),我们有：这样，有：或：从上述公式，我们立刻可以看出使用高阶项估计衍生证券风险的问题。既是服从正态分布，也不服从正态分布（实际上，服从自由度为1的Chi-square分布）。（二）TheDelta-GammaMethod比delt43（二）TheDelta-GammaMethod

因此，使用正态分布假设的优点在这里消失。一旦出现这种情况，建议使用更符合实际的收益分布。

一种方法是计算整个头寸（股票+期权）的标准差，并应用2.33分位数计算VaR.

这是一个相对简单的方法，因为，如果服从正态分布，则所有矩的分析表达式均可以写出：例如（数理统计数中），这里，这样，我们得到:

（二）TheDelta-GammaMethod因此，使44因此，

这里，我们假设因此，45这个结果比用deltamethod更接近与实际值。注意：如果假定

99%的分位数为2.326，那么，我们是假定收益率为正态分布，但实际上往往不是正态分布。这个结果比用deltamethod更接近与实际值。46非线性VaR(Non-LinearValue-at-Risk)将（2）式重新整理为：这里，如果，非线性VaR(Non-LinearValue-at-Ris47非线性VaR如果是分布的分位数，这样，更好的估计是：在这种情况下，我们得到：VaR=20.1303

这告诉我们什么？（当头寸不服从正态分布时，VaR计算的一般方法）非线性VaR如果是分布48第五节非独立同分布正态收益率下的VaR计算一、非正态分布的情况在计算大型证券组合VaR时涉及大量的计算，应用收益率的简化假设，如独立同分布正态收益率假设，可以使风险管理者很快速计算所需要的风险值。使用这些简化假设时，风险管理者要在VaR的准确性与快速估计方法之间寻求一种平衡。这一部分，我们将分析几种不同的VaR计算方法，这些方法不依赖于独立同分布正态收益率的假设。1、实例下图是USD/Euro汇率日收益率的历史分布密度图与在参数估计中假设的正态分布密度图。从图中可以看出，历史分布密度图表现为胖尾细腰的特征，这就是说，USD/Euro汇率日收益率出现大值或小值的概率比具有相同期望收益率和方差的正态分布假设下出现大值或小值的概率大，亦即这些值比正态分布假设下作出的预测更容易发生。第五节非独立同分布正态收益率下的VaR计算一、非正态分布49市场风险的计量及管理课件502、说明

这对于基于正态分布收益率计算的VaR来说，不是一个好消息，因为，厚尾意味着,对应于99%概率的实际分界点要低于使用基于正态分布收益率计算的分界点。实际上（上图）,1%处分界点的值对应于正态分布中-1.4%的值(非标准正态),在实验（历史）分布中对应于-1.54%。2、说明这对于基于正态分布收益率计算的VaR来说，不是一51二、应用历史收益率密度计算VaR

解决上述问题的一种方法是应用收益率本身的历史分布密度。如6.2中的例子，我们可以找到1.54%的分位点，记为则：此值大于独立同分布正态收益率假设下的VaR(等于$78,711.84).这种方法对估计大型证券组合的VaR也是十分有效的。二、应用历史收益率密度计算VaR

解决上述问题的一种方法52例子一个公司在欧元上的投资额为5.6milliondollars，在日圆上的投资额为7.629milliondollars。为计算99%1dayVaR,我们只需要计算证券组合价值变动的历史分布中，左边1%对应的分位数即可。也就是说，对于样本中每一个

t值，计算：

利用历史收益，我们可以计算对应于左边1%概率的证券组合变化值为‘200,570’,这样，VaR=$200,570。

同样，此值比使用正态分布假设下，通过计算均值和标准差，进而计算的VaR数值大（为$177,331.59）。在此例中，我们得到的VaR数值比正态分布假设下大13%。例子一个公司在欧元上的投资额为5.6milliondol53处理非线性衍生证券的全值法历史分布密度方法也可以用来消除我们6.2节中讨论的非线性问题。再考虑前面讨论的组合保险的例子。为了计算VaR,对样本区间[0,t]中的每一个，令为股票St的日收益率，我们可以计算明天股票模拟价格的变化为：

给定明天股票模拟价格的分布，可以根据BlackandScholesformula计算明天看跌期权的价格，最后，我们可以计算证券组合价值变化的分布。处理非线性衍生证券的全值法历史分布密度方法也可以用来消除我们54实例使用S&P500，1997年日收益率数据，我们计算99%onedayVaR为：VaR=$13,155,515.61这个数据比我们以前得到的VaR小的多。但对这个数据的解释要小心。事实上，

（1）我们仅仅有252个日收益观测数值。这意味着1%最低百分位数是第3个最负的收益率数值，因此，由于我们仅有2低于该数值的观测值,那么计算的VaR数值并不可靠，应用统计的术语，它不显著，因为存在很大的标准差。

（2）1997对于美国股票市场是非常好的一年（尽管不如1996年），因此，计算的VaR反映的是市场没有任何实质性的不好收益率的情况。对于这些问题，使用大样本数据，可以部分地得到解决

。

问题：如何判断VaR计算结果的准确性？如何计算准确的VaR结果。这涉及到资金利用和风险管理的问题。实例使用S&P500，1997年日收益率数据，我们计算955三、可变方差的正态分布收益率我们可以假定正态分布的参数是变化的，进而放松独立同分布假设，而同时保持“正态收益率”的灵活性。假设USD/EU外汇收益率Mt服从正态分布，即：这里，随时间变化。在实际中，的确有许多证据证明，这些参数是随时间变化的。如果我们取方差估计量的均值，如：如下图，我们可以看到，方差的估计量随时间大幅变动。下面我们讨论几个模型，这些模型中，收益率仍然服从正态分布，Value-at-Risk的计算，象前面有关章节一样，可以直接计算，唯一需要注意的是将下标t加入到均值与方差。三、可变方差的正态分布收益率我们可以假定正态分布的参数是变化56市场风险的计量及管理课件571、简单移动平均法考虑收益率方差变化的最简易方法是应用最新的数据估计标准差，例如不是利用象我们在6.1节中应用最近3年的收益率数据而是应用最近若干天的数据，如

90天的数据（前面部分）

。在这种情况下，要在估计的精度与使用时间之间的寻求平衡。使用距现在较长时间的数据可能与明天收益率标准差的估计无关，然而使用较少的数据，却可能降低估计的精度。类似地，两个资产之间的相关系数也是随时间而变化的。如考虑欧元与日圆收益率之间的相关系数的移动平均值：同样，它是随时间而变化的。1、简单移动平均法考虑收益率方差变化的最简易方法是应用最新的582、风险测度（RiskMetrics）

:指数加权法上述移动平均法预测将来的易变性存在的一个问题是，对所有的观测值给予相同的权重，既是看似与预测明天易变性无关的1个月前的数据也给予同样的权重。RiskMetrics

(J.P.Morgan)提出了一种给予各观测值不同权重的方法，最近的观测值给予更大的权。特别是，他们提出了下列的平均数：这里，t0为样本的第一期，对于日数据，取对于月数据，取当样本数量为无穷大时，上述公式变为：2、风险测度（RiskMetrics）:指数加权法上述59

因此，明天收益率方差的预测值为今天收益率方差的预测值与今天实际收益率平方的简单加权平均。RiskMetrics估计的方差值为比以前我们所使用的0.6%的历史数据大。类似地，RiskMetrics可以使用同样的程序计算相关系数。事实上，从协方差的计算开始，协方差的估计为：

60同样，利用递归的方法：根据RiskMetrics，现在的估计值为：

●

Exercise:Computethe99%1dayVaRforthepreviousexamplesunderthecurrentRiskMetricsestimates.Commentonyourresults.

标准差的预测方法及预测的精确度问题。同样，利用递归的方法：613、GARCHModels方法简单而论，一般的自回归条件异方差模型，包括了RiskMetrics方法，只要假定方差参数的一个特殊过程即可。最常用的模型是GARCH(1,1)，模型为：ARCH模型家族非常庞大，你可以参考Bollerslev,ChouandKroner的文章:“ARCHModelinginFinance”intheJournalofEconometrics(1992)，这里有这些模型的详细内容和参数估计方法。

问题：能否用ARCH模型直接预测VaR?它与我们计算的VaR哪个更准确？3、GARCHModels方法简单而论，一般的自回归条件62四、正态分布的混合（MixtureofNormals）(应用！)计算VaR另一个常用的方法是假定每一个阶段，收益率都以某种概率服从一种正态分布或服从不同参数的另一个正态分布，这种情况下，收益率的分布称为正态分布的混合“mixtureofnormals”。不幸的是，这种分布没有好的性质，因此计算VaR时的分界点价值只能进行数值计算。下面，我们讨论两种流行的模型：1、Jumps模型（跳跃模型）

设收益率服从正态分布，且方差为常数，但是每一阶段（时期），都有可能出现跳跃的情况，但出现的概率是小概率。例如，下列模型是非常流行的：四、正态分布的混合（MixtureofNormals）631、Jumps模型（跳跃模型）

其中，即时刻t的收益率总是等于R,它服从正态分布，但每一个时期，都存在一个影响收益率的大冲击（跳跃），其出现的概率为p。这种结构意味着收益率的实际分布具有厚尾性。2、状态转换模型（RegimeSwitches）

Jumps模型隐含着收益率的时间序列中出现远离均值收益率的极端值。虽然人们认为1987年的股灾是这种情况的一个例证，但这个模型不能解释易变性变化的持续存在。1987股灾之后，市场的不稳定性仍然很大，而简单的Jumps模型隐含有这样的含义，即在一个jump出现以后，收益率的易变性重新回到“正常水平”

。1、Jumps模型（跳跃模型）

其中，642、状态转换模型（RegimeSwitches）一种替代的方法是假定存在一个易变性状态，下面是另一个流行的模型：

假设在时间t，收益率的产生过程为R,称为正常状态，在t+1时刻，存在一个概率1-p，收益率仍然为“正常状态”，但是，在t+1时刻，也存在一个概率p，状态变为动荡状态；收益率是由产生。如果时间t的状态是“动荡”的，存在一个概率1-q，在时间t+1时，状态仍然为“动荡”的，但也存在一个概率q，状态转化为“正常状态”。这种模型与jumpmodel基本类似，只不过跳跃期变长而已。p、q都是小概率。2、状态转换模型（RegimeSwitches）一种替代的65应用1、期权如何定价？2、VaR如何计算？(jump1)

应用1、期权如何定价？66第六节VaR计算的极值方法第六节VaR计算的极值方法67第七节VaR修正模型——CVaR模型第七节VaR修正模型——CVaR模型68第八节VaR模型的准确性和误差分析VaR模型的准确性是指VaR模型的计算结果与实际损益之间的差别，以评估VaR模型的有效性。由于准确性检验是在事后进行的，所以也称后验测试(Back-testing)。误差分析是对VaR估计结果误差水平的测量和评估。一、VaR模型的准确性检验检验VaR模型准确性的方法有多种，主要包括失败检验法、区间检验法、分布预测法、超额损失大小检验法、方差检验法、概率预测法及风险轨迹检验法等。1、失败检验法VaR模型准确性的最直接检验方法就是考察实际损失超过VaR的概率。把实际损失超过VaR的估计称为失败，把实际损失低于VaR的估计记为成功。检验模型的准确性相当于检验失败概率等于特定概率（c）的零假设。Kupiec的检验方法就是基于这种思想，他提出了两种检验方法：失败频率检验法和第一次失败时间检验法。第八节VaR模型的准确性和误差分析VaR模型的69第九节市场风险的管理（方法）根据市场风险的含义与特点，市场风险是价格风险，是一种总风险，它既具有系统风险的特征，也有非系统风险的特征，因此，本书第三章及第五章所介绍的风险管理理论与方法都可以应用在市场风险的管理中，具体来说，市场风险管理有以下多种方法。第九节市场风险的管理（方法）根据市场风险的含义与特点，市70一、制度化风险管理方法制度化风险方法就是制定规章制度及检查监督制度防范风险的方法，这种方法是实践中最常用和有效的方法之一。例如，在证券投资过程中，通过制定规章制度，根据市场条件与环境选择投资品种、控制仓位、制定止损与止赢点、选择合适的投资方法（如分批建仓、低位补仓、股票债券在规定的情况下相互转换等）、及时进行检查监督等方法，降低市场风险。这种方法的核心是规章制度的科学性和灵活性以及检查监督制度的有效性，如果规章制度不科学或缺乏灵活性，不适应市场的变化，那么，市场风险就会加大，反之，则能将市场风险控制在一定范围内，满足投资者的要求。要使风险管理规章制度的科学性，就要对投资业务进行认真分析与总结，对工作流程进行了梳理优化，提升标准化程度，并严格按规章制度办事，进而提高业务运作效率。在这种风险管理方法中，定期检查、考核评估、奖罚等方法是控制金融风险的主要内容，它需要长时间工作的积累与总结。一、制度化风险管理方法制度化风险方法就是制定规章制度及检查监71二、分散化投资方法

由于市场风险有非系统性风险的特征，因此可以采用组合投资的方法分散一部分市场风险。这种方法的基本原理是组合投资的基本理论，此方法也是基金等机构投资者管理市场风险的主要方法之一。根据投资组合的基本理论，通过多元化投资，可以有效分散非系统风险，因此分散化投资是降低风险的有效方法。例如，开放式基金在投资时，在现金、国债（企业债）、股票按一定比例分配资金，构成投资组合，其目的之一就是控制市场风险。分散化投资的核心内容是投资比例的确定，确定的方法主要有定性方法与数量化方法两种，定性方法是根据证券分析师的经验构建和调整证券组合中各证券的比例关系，尽管已经出现了定量化的方法，但大多数组合管理者仍习惯于采用这种传统的方法；数量化的方法是运用数学规划模型，通过定量化的方法求解证券组合中各证券的最佳比例关系，目前，这种方法已经越来越受到重视。二、分散化投资方法由于市场风险有非系统性风险的特征，因此可72三、价值分析法价值分析法也是控制市场风险的主要方法。价值分析可以判断证券的合理价位，评估证券的投资价值，如果证券的市场价格低于证券“内在价值”，也就是说，当证券价值被市场低估时，买进证券出现亏损的概率较小，市场风险就小。价值分析法的核心是证券内在价值的确定，方法很多，如市盈率法、现金流贴现法等，然而要想确定准确证券的内在价值不是一件容易的事，需要投资者对宏观经济、行业发展以及公司的经营状况有全面深入的了解。三、价值分析法价值分析法也是控制市场风险的主要方法。价值分析73四、应用金融衍生品管理风险的方法由于市场风险具有系统风险的特征，因此，用于系统风险管理的方法都可以用于市场风险的管理。系统风险管理的主要方法是应用金融衍生品，所以，本书第五章所介绍的方法都可以应用在市场风险的管理中。金融远期合约管理市场风险的主要目的锁定证券的价格，其基本思路是如果投资者是为了防范价格上升的风险，他可以购买金融远期；如果是为了防范价格下降的风险，投资者可以出售金融远期。使用金融远期合约管理市场风险的主要风险是远期合约交易对手的信用风险，因此，在防范市场风险的同时要注意信用风险。应用金融期货合约管理市场风险的主要方法是套期保值方法，它是指在现货市场某一笔交易的基础上，在期货市场上做一笔价值相当，期限相同但方向相反的交易，并在期货合约到期前对冲，以期货的盈利（亏损）弥补现货亏损（盈利）的方法，以达到套期保值的目的。套期保值的基本原理是同一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性。因此，一旦保值者在期货市场上建立了与现货市场相反的头寸，则无论市场价格朝哪一方向变动，均可避免风险，实现保值。金融期货套期保值一般有空头套期保值、多头套期保值等。套期保值的主要风险是基差风险。应用金融互换合约管理市场风险的主要方法是通过交易双方在未来某一确定时间内，交换一系列现金流的方法实现的。如果预计股票组合的价值在未来一段时间内下跌，我们可以通过股票组合与债券组合现金流的互换减少股票组合价值的损失，同时不出售股票组合；如果预计汇率变化给投资者造成损失时，可以利用货币互换将其外汇支出锁定。应用金融期权合约管理市场风险的基本思想是，如果预计某证券的价格将上涨，为了减少价格上涨带来的成本增加，可以买入该证券的看涨期权；同样，如果预计某证券的价格将下跌，为了减少价格下跌带来的损失，可以买入该证券的看跌期权。另外，可以利用多个金融期权和标的资产对金融期权的交易进行套期保值，具体内容参考第五章的相关内容。四、应用金融衍生品管理风险的方法由于市场风险具有系统风险的特74Takeaway:

1.

Measureofmarketrisk:

VaR2.

Managementofmarketrisk:

Forward,futures,swapsandoptions.

Takeaway:

1.

Measureofmark75演讲完毕，谢谢观看！演讲完毕，谢谢观看！76第六章市场风险的计量与管理第一节市场风险概述第二节市场风险计量的一般方法第三节VaR的基本概念第四节独立同分布正态收益率下的VaR计算第五节非独立同分布正态收益率下的VaR计算第六节市场风险的管理（方法）第六章市场风险的计量与管理第一节市场风险概述77第一节市场风险概述一、市场风险概述目前关于市场风险的定义有多种观点：1、第一种观点认为，金融市场风险是指由于金融资产价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性。一切影响价格波动的因素都是产生市场风险的原因。这种观点认为市场风险就是总风险，包括系统风险与非系统风险。2、第二种观点认为，金融市场风险是由于金融资产价格波动给投资者造成损失的可能性或损失的不确定性。一切影响价格波动的因素并给投资者造成损失时才有风险，不造成损失的任何波动都不应视为风险，这种观点也认为市场风险是总风险，包括系统风险与非系统风险。3、第三种观点认为，市场风险是指由于（证券）市场长期趋势变化而引起的风险（霍文文：证券投资学），而引起市场长期趋势变化的决定性因素是经济周期的变动。它属于系统风险的一种。4、第四种观点认为，市场风险指因市场各种系统性因素（如利率、汇率、通货膨胀率等）变化而导致投资者亏损的可能性。当市场各种因素变化较大或较频繁时，投资者遭受损失的可能性或数额也会变大。它属于系统风险的一种。

总之，两类观点：一种认为市场风险是总风险，一种认为市场风险是系统风险。第一节市场风险概述一、市场风险概述78二、市场风险的特点1、市场风险实质上是价格风险，是由于价格波动给投资者造成损失的可能性；2、其他一些风险可以看成市场风险的子风险，如利率风险、权益价值风险、汇率风险、购买力风险等。利率风险：由于市场利率的变化给投资者造成损失的风险。权益价值风险：由于权益价格变化给投资者造成损失的风险。汇率风险：由于汇率的变化给投资者造成损失的风险。3、市场风险如何分解成这些风险是一个值得研究的问题二、市场风险的特点1、市场风险实质上是价格风险，是由于价格波79第二节市场风险计量的一般方法在第二章讲的风险计量方法都可以用来计量市场风险，可以说市场风险计量方法研究是目前最为丰富的，主要有以下几类：一、波动性方法根据风险是未来收益不确定性的观点，可以用实际结果偏离期望结果的程度：波动性来计量市场风险；其中，方差或标准差是最常用的方法，除此之外，还有beta系数、平均误差平方和(MSE)、平均绝对误差平方和（MSE）、平均绝对误差等。二、损失波动性方法根据风险是未来损失不确定性的观点，可以downsiderisk方法来计量市场风险；其中，最常用的方法是下偏矩方法，包括一阶和二阶下偏矩。第二节市场风险计量的一般方法在第二章讲的风险计量方法都可80三、市场因子灵敏度法

灵敏度方法，是指利用金融资产价值对其市场因子的敏感性来计量金融资产市场风险的方法。如债券的久期：灵敏度表示当市场因子变数一个百分数单位时金融资产价值变化的百分数。灵敏度越大的金融资产，受市场因子变化的影响越大，风险越大。用灵敏度计量市场风险时，仅当金融资产价值与其市场因子变化呈线性关系时才成立。因此，灵敏度方法只是一种线性近似，一种对风险的局部测量。不同的市场因子，存在不同类型的灵敏度。实际中常用的灵敏度包括：针对债券(或利率性衍生工具)的久期和凸度，针对股票的beta，针对衍生金融工具的delta、Gamma、Theta、Vega、Rho等。三、市场因子灵敏度法灵敏度方法，是指利用金融资产价值81四、信息论方法根据风险是信息缺乏程度的观点。可以用信息论的方法计量市场风险；其中，信息熵的方法是实际中最常用的方法。五、损失量方法根据风险是不利结果程度的观点，可以从损失量的角度计量市场风险；主要有，最大损失量、期望损失量等方法，其中，VaR方法是实际中最常用的方法。四、信息论方法根据风险是信息缺乏程度的观点。可以用82六、压力试验与极值方法1、压力试验是测量市场因子发生极端不利变化时，金融机构或证券组合的损失大小。该方法首先要确定可能会发生的对资产组合产生不利影响的极端市场行为;其次，根据具体情况确定进行压力测试的时间频率,如选择每日、每周、每月或每一年等；第三,计算不同压力下资产组合可能的损益变化,同时,提出相应的调整头寸或调整资本以适应头寸需要的方案,以应付特殊情况的或有发生。压力测试被认为是与VaR模型互相补充的方法。因为VaR模型只是给出了给定置信水平下的市场行为变化,并没有描述极端情形,而且,VaR值只提供了一个总括性的风险损失值,并不指明风险的来源或方向,一系列的压力测试刚好弥补了这一不足,从而有可能比单个使用这两个指标能更全面地了解市场风险的状况。2、极值分析方法是通过对收益的尾部进行统计分析，从另一个角度估计市场极端条件下的金融机构损失大小的方法。六、压力试验与极值方法1、压力试验是测量市场因子发生极端不利83

第三节VaR的基本概念一、

VaR的基本含义一个价值Vt(dollar)的头寸，天的VaR指在未来天，Vt以的概率损失的最大值.例如，你购买10millionEuros.如果1EU=.564USD(USD/EU的汇率为：Mt=.564）,美圆的头寸为：Vt=10MilxMt=$5.64million.

那么，这个头寸的99%，24hours的VaR为$78,711.84，其含义为，投资在欧元上的5.64million美圆，在未来24小时，其最大损失为$78,711.84，概率为99%。也就是说，在未来24小时，其最大损失超过$78,711.84的概率为1%。

第三节VaR的基本概念一、VaR的基本含义84一、VaR的含义假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：

这样，投资在欧元上的价值变化为：

=$5.640mil也服从正态分布。

根据的分布密度，我们可以画出的分布图(Figure1withadailyvolatility=.6%)

99%VaR是(负数)这样一个数据，即只有1%的概率使得我们资产的变化低于这个数值。一、VaR的含义假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：85市场风险的计量及管理课件86二、注意的问题（1）VaR的值取决于市场变量统计特征的假设。也就是说，取决于风险管理者对市场变量运动的假设，因此，风险管理者可能得出不同的VaR值。（2）VaR仅为统计意义上的风险指标，它与样本均值、方差、协方差一样，有统计误差。产生这些误差，有很多原因（如小样本），不仅仅是模型的问题。（3）虽然如此，VaR在我们后文讨论的情况中是非常有用。

二、注意的问题（1）VaR的值取决于市场变量统计特征的假87第四节独立同分布正态收益率的VaR一、单一证券VaR假设USD/EU汇率的收益率是独立、正态分布，即：这里，期望（）和标准差（）均为常数。时间单位为1天，即和是汇率的日期望收益率和易变性（标准差），而不是年数据。令是标准正态分布的分位数，分位数的含义是：如果Z~N(0,1)，表示这样的数字，即随机抽样中，Z>的概率正好为下表给出了一些常用的

值。

第四节独立同分布正态收益率的VaR一、单一证券VaR88例如，如果=99%,则=-2.326,说明从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值大于-2.326的概率为99%。也就是说，只有1%的概率，使得从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值小于均值的2.326个标准差。

例子：考虑前面欧元的例子。组合价值的变化为：=$5.64mil服从于均值为，标准差为的正态分布。根据上述的定义，可以计算分布密度为

的分位数为：

这个值即为一个分界点，即损失超过发生的概率为(1-)。例如，如果=99%,则=-89这样，，1dayValueatRisk为：VaR=负号表示VaR测量的是损失而不是收益。将代入，得：VaR=-(-2.326*5.64mil*.006)=$78,711.84这样，，1dayValue90二、证券组合的VaR二、证券组合的VaR91二、证券组合的VaR1、两证券组合的情况投资组合的变化为：=这里Jt=.007629由上看出，投资组合价值的变化是服从联合正态分布变量的加权之和，因此，它也服从正态分布。其中，二、证券组合的VaR1、两证券组合的情况92这样，99%，1天的VaR为：

VaR=$177,331.59

也就是说，只有1%的概率，在未来24小时内，组合的损失大于$177,331.59。

这样，99%，1天的VaR为：

VaR=$177,33932、一般情况设有n个不同的资产，是t时刻投资在第i个资产上的资金量（美圆），是t+1时刻投资在第i个资产上的收益率。

假设服从联合正态分布，那么组合的变化值也服从正态分布

记为的均值，为证券与证券收益率的协方差，为证券收益率的方差则：这样，我们可以用同样方法求出证券组合的VaR。2、一般情况设有n个不同的资产，是t时刻投资在第i个942、一般情况考虑一般的情况，证券组合价值的变化为：这里，为组合的总财富（$表示），为总财富在asseti上分配的比例，为组合的收益率。

是组合的收益率期望值和标准差，这样，1dayVaR可以由下式给出：当然，这里涉及大量的统计计算问题，但基本思想与上面讨论的相同。2、一般情况考虑一般的情况，证券组合价值的变化为：95三、因素模型的简单回顾1、因素模型因素模型，一般可以写成如下形式：其中，是因素，而且相互独立（为了清楚起见，你可以把这些因素看成诸如超常收益率、GNPgrowth等）。测度的是收益率对第k个因素的敏感性。三、因素模型的简单回顾1、因素模型96三、因素模型的简单回顾（2）一旦整个证券组合的收益取决于这些因素，我们容易找到证券组合价值变化的分布

如果这些因素服从联合正态分布，我们就可以用前述同样的方法计算ValueatRisk.

三、因素模型的简单回顾（2）一旦整个证券组合的收益取决于这些97四、增加VaR（IncrementalVaR，边际VaR）1、意义：从以前的讨论中可以看出，证券组合的总风险，并不是单个证券风险之和(一般小于)。这并不奇怪，它仅仅是分散化原理的再现。但在很多场合下，估计证券组合总风险中单个证券的边际贡献是很重要的。例如，考虑一个金融机构，它提供一组金融服务。这个金融机构有几个服务窗口(theswapdesk,theFXdesketc.)，它们相互独立，而且每个服务窗口都经营若干金融资产。为了估计金融机构总的风险，我们将金融机构看成证券组合，计算证券组合一天的VaR。但从内部管理的角度看，金融机构估计每一种业务对企业总风险的边际贡献是非常重要的，其原因主要有：1)有效管理风险的需要；2)（建立规则）对各种业务分配风险资产的需要（头寸的限制）；3)评估各项业务成绩的需要。四、增加VaR（IncrementalVaR，边际V982、增加VaR的引出如果在证券I上增加1美圆的投资，考虑证券组合VaR的边际变化是多少。

首先，我们知道：因此，有：

2、增加VaR的引出如果在证券I上增加1美圆的投资，考992、增加VaR的引出（2）再考虑证券组合价值变化的方差的表达式：最后一个等式来自于重新整理。2、增加VaR的引出（2）再考虑证券组合价值变化的方差的100等式两边同除以，得：我们有：这样：VaR的分解！等式两边同除以，得：101这里，记：表示由于资产i的微小增加导致总的VaR的变化，这样，定义资产i的边际VaR为：这里，1023、实例考虑上节的例子：这样，3、实例考虑上节的例子：1034、重要提示将VaR分解为边际VaR，并不意味着我们取消资产i,余下资产的VaR等于最初总的VaR减去IVaRi。例如，在上例中，取消日圆业务并不等于将VaR从$177,331.59降低为(VaR-IvaRJ)=$66,279.14。事实上，从上述例子中我们已经知道，仅投资于欧元（EU）的VaR$78,711.84!

4、重要提示将VaR分解为边际VaR，并不意味着我们取消104五、连续复利正态分布收益率的VaR1、连续复利正态分布的含义连续正态分布收益率的假设在很多情况下，可以使问题的分析得以简化

。回忆以前的例子，在连续正态分布收益率的假设下，记Mt为美圆对欧元在t时刻的汇率，则：

这里是日连续复利收益率（以天为单位！）。正如我们上面分析的，这个假设保证汇率Mt+1是对数正态分布。

五、连续复利正态分布收益率的VaR1、连续复利正态分1052、为什么需要复利正态分布收益率（1）当分析时间序列事件时，应用连续复利收益率是很方便的。例如，假设我们有收益率的日均值和日方差，如果改变时间长度，计算一个月收益率的均值和方差（一个月为20个交易日）。在独立同分布的日复利收益率下，20天的收益率为：

由于收益率是独立同分布的，20天的连续复利收益率为：2、为什么需要复利正态分布收益率（1）当分析时间序列事件106这样，月均收益率和标准差分别为：一般地，如果时间水平为，则收益率和标准差分别为：如果日收益率为正态分布（不是连续复利），有：是从t+i-1到t+I的收益率。注意，20-day的收益率是正态分布随机变量的乘积而不是随机变量的和，因此，如果不使用连续复利收益率，则20-day收益率的分析将变的十分复杂。这样，月均收益率和标准差分别为：1072、为什么需要复利正态分布收益率（2）(2)当投资的总收益率是两个价格组合而成时，使用连续复利收益率是很方便的。例如，如果你购买了一个Frankfurt市场上的指数基金，那么，在将来你投资的总价值是由欧元的股票价格乘欧元的美圆价格得出(看下面的例子)。(3)对于小的收益率值(例如,以天计算的收益率)，单利收益率可以用复利收益率很好地近似,因为，对于一个很小的X，我们有：在这种情况下，单利收益率可以假定为服从正态分布的。2、为什么需要复利正态分布收益率（2）(2)当投资的总收益1083、实例

假设我们在FrankfurtStockMarket投资10mil欧元的指数基金，设欧元的日收益率为YM，FrankfurtStockMarket的收益率为YS,即：St是Frankfurtindex在t时刻的价格，这里时间单位为“oneday”。假设YMandYS服从正态分布和联合正态分布，其均值和方差分别为：，它们的相关系数为：你的财产明天的价值（以美圆计）为：3、实例假设我们在FrankfurtStockMark109根据St+1和Mt+1的定义，因为联合正态分布之和仍为正态分布，我们有：这里因此，投资欧元的总收益率（股票市场的收益率+外汇汇率的收益率）仍然服从正态分布，所以我们可以利用前面所学的技术计算VaR.根据St+1和Mt+1的定义，110记为Yt+1小于发生的概率为的数值，我们可以计算头寸为Vt=10MilxMt时的VaR。

应用历史数据，假设这样，记为Yt+1小于发生的概111

这意味着有99%的可能性，投资收益率大于：因此，投资在FrankfurtStockMarketIndex上的5.64Milliondollar，a99%1-dayVaR为：这样与传统意义上的VaR是否一致？

这意味着有99%的可能性，投资收益率大于：112六、含有非线性衍生品组合的VaR我们以前的分析，都是假定资产的收益率服从正态分布，但存在一种重要的情况是，当组合中包含衍生证券时，组合的收益率不服从正态分布，因为衍生证券的价值相对于标的资产而言是非线性的。例如，如果一个证券组合包括指数看跌期权(如组合保险),既是假定指数收益率服从正态分布，指数看跌期权的价值则不服从正态分布。这部分我们将应用“DeltaMethod”method和“Delta-GammaMethod”method处理这类问题.

令

为资产St以价值形式表示的收益(是绝对值而不是百分比).如果六、含有非线性衍生品组合的VaR我们以前的分析，都是113（一）Delta-Method假设一个衍生证券在t时刻的价格为

其中，为标的资产的价格该衍生证券的delta值为：该衍生证券在t+1时刻的价格为：

那么，该衍生证券在t+1时刻的收益为：这样，衍生证券的收益也服从正态分布，其均值和均方差分别为：

（一）Delta-Method假设一个衍生证券在t时刻的价格114

Example:考虑一个投资在S&P500marketindex上$1bil的养老基金和由3个月看跌期权保险策略构成的组合假设S&P500=936，三个月看跌期权（执行价K=930）的价格为ft=$36。再假定无风险收益率为r=5%，标的物的红利收益率为0，年隐含的收益率波动性为：

则根据Black-Shose公式，有：在给定S&P500index的价值，投资在养老基金上的份额为：

NS=1bil/936=1,068,376indexshare(spotmarket).令Nf=1,068,376.

Example:考虑一个投资在S&P500market115Example

这样整个头寸的变化量为：

可见，服从正态分布，其均值和标准差分别为：

将代入到VaR的计算公式中，a99%onedayVaR为：

Example这样整个头寸的变化量为：116评论（1）你可能会立刻注意到在计算非线性证券VaR时，Delta-Normalmethod的不足：（1）根据定义，VaR给出的是小概率下极端的损失值(损失大于$22.147milinthenext24hours的概率，仅有1%)。Delta方法仅仅在股票价格小的变化时才适用。因此，在近似方法(假设价格有小的变化)与VaR(价格有大的变化)定义之间存在不一致性。（2）为了进一步考察近似的程度，我们计算看跌期权的价值，这里收益率为均值-2.326standarddeviations（假设均值为0）这样，日收益率为：是低于均值2.326standarddeviations的股票收益率(这也