函数之图形与极限课件

第二講

函數的連續性內容：連續性的介紹。連續性的定義。連續性的性質。連續性的應用。第二講

函數的連續性內容：1連續性的介紹：一般的連續性：

若某一現象不停地出現，則稱此現象連續，如：時間不停地消失、地球不停地轉動、心臟不停地跳動、肺不停地呼吸、溪水不停地流動、太陽光不停地照射地球。函數的連續性：

若函數的圖形沒有間斷、斷裂或跳動，則稱此函數連續。121連續性的介紹：一般的連續性：

若某一現象不停地出現，則稱此現2，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：121，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：1213直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察其圖形：y‧121直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察42.連續性的定義：a.觀察前節的例題：例1.函數在x=1的左右極限分別為。此情形表示函數f(x)在x=1的左右圖形很靠近，但f(1)不存在，故f(x)的圖形在x=1有間斷的現象，所以f(x)在x=1不連續。如果想要f(x)的圖形在x=1連續，必須f(1)的值能夠連接f(x)在x=1的左右極限，即定義，如此f(x)在x=1就沒有間斷的現象，即f(x)在x=1連續。2.連續性的定義：a.觀察前節的例題：例1.函數5函数之图形与极限课件6b.連續性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：注意：

此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續。因此，三個條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續。從這裡可以清楚知道，極限是連續的基礎。b.連續性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：7例7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第7節的定理2可證得。例8.有理函數f(x)再任一不使分母為零的實數連續。直接經由第一講第7節的定理2

可證得。例9.絕對值函數f(x)=|x|在任意實數連續。可分為下列三種情形討論：例7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第83.連續性的性質：連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算後，仍然具有連續性。定理1.若f(x)與g(x)在x=c連續，則注意：直接利用第一講第7節的定理1及連續性的定義，即可證得此定理。連續性經過合成運算後，仍然有連續性。3.連續性的性質：連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算9最後，討論函數f(x)在區間的連續性。若f(x)在開區間(a,b)連續，則表示f(x)在區間(a,b)的每一點連續。若f(x)在閉區間

[a,b]連續，則表示f(x)在區間(a,b)的每一點連續，在a點右連續，在b點左連續。最後，討論函數f(x)在區間的連續性。10何謂右連續，左連續？其定義如下：注意：若f(x)在a點右連續且左連續，則f(x)在a點連續。反之亦然。何謂右連續，左連續？其定義如下：注意：若f(x)在a點右連續114.連續性的應用：a.利用連續性求函數的極限值。若f(x)在x=a連續，則4.連續性的應用：a.利用連續性求函數的極限值。若f(12b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理1.若f(x)在區間[a,b]連續，且w介於f(a)

與f(b)之間，則存在使得f(c)=w。此處利用圖形說明此定理的意義。bxyw1w2w3f(b)f(a)ac1c2c3c4c5c6b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理13此函數在區間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，所以此函數在區間[a,b]連續。若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交於一點，即存在使得f(c)=w。考慮函數不連續的情形，如下圖：yxabf(b)f(a)w此函數在區間[a,b]的圖形在x=d有斷裂的現象，所以此函數在區間[a,b]不連續。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即f(b)≤w≤f(a),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線與函數曲線不相交，即不存在使得f(c)=w。此函數在區間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，14注意：從上面的討論，可知道連續性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗證。yxabf(a)f(b)d若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交，即存在使得f(c)=w。但是很清楚，函數在x=d不連續，故連續性不是定理1的必要條件。其次，討論方程式根的位置，稱為「堪根定理」。定理2.若f(x)在區間[a,b]連續且f(a)f(b)<0，則存在，使得f(c)=0。因為f(a)f(b)<0，所以f(a)與f(b)異號，故0介於f(a)與f(b)之間，引用中間值定理，故存在，使得f(c)=0。注意：從上面的討論，可知道連續性是定理1的充分條件。但不是必15例6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續的，則存在一直徑，其兩端的溫度相同。令此圓形鐵圈的半徑為r且圓心在原點，則鐵圈上任意點(x,y)的座標可寫成例6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續的，則存在一直徑，其兩端16函数之图形与极限课件17第二講

函數的連續性內容：連續性的介紹。連續性的定義。連續性的性質。連續性的應用。第二講

函數的連續性內容：18連續性的介紹：一般的連續性：

若某一現象不停地出現，則稱此現象連續，如：時間不停地消失、地球不停地轉動、心臟不停地跳動、肺不停地呼吸、溪水不停地流動、太陽光不停地照射地球。函數的連續性：

若函數的圖形沒有間斷、斷裂或跳動，則稱此函數連續。121連續性的介紹：一般的連續性：

若某一現象不停地出現，則稱此現19，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：121，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：12120直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察其圖形：y‧121直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察212.連續性的定義：a.觀察前節的例題：例1.函數在x=1的左右極限分別為。此情形表示函數f(x)在x=1的左右圖形很靠近，但f(1)不存在，故f(x)的圖形在x=1有間斷的現象，所以f(x)在x=1不連續。如果想要f(x)的圖形在x=1連續，必須f(1)的值能夠連接f(x)在x=1的左右極限，即定義，如此f(x)在x=1就沒有間斷的現象，即f(x)在x=1連續。2.連續性的定義：a.觀察前節的例題：例1.函數22函数之图形与极限课件23b.連續性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：注意：

此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續。因此，三個條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續。從這裡可以清楚知道，極限是連續的基礎。b.連續性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：24例7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第7節的定理2可證得。例8.有理函數f(x)再任一不使分母為零的實數連續。直接經由第一講第7節的定理2

可證得。例9.絕對值函數f(x)=|x|在任意實數連續。可分為下列三種情形討論：例7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第253.連續性的性質：連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算後，仍然具有連續性。定理1.若f(x)與g(x)在x=c連續，則注意：直接利用第一講第7節的定理1及連續性的定義，即可證得此定理。連續性經過合成運算後，仍然有連續性。3.連續性的性質：連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算26最後，討論函數f(x)在區間的連續性。若f(x)在開區間(a,b)連續，則表示f(x)在區間(a,b)的每一點連續。若f(x)在閉區間

[a,b]連續，則表示f(x)在區間(a,b)的每一點連續，在a點右連續，在b點左連續。最後，討論函數f(x)在區間的連續性。27何謂右連續，左連續？其定義如下：注意：若f(x)在a點右連續且左連續，則f(x)在a點連續。反之亦然。何謂右連續，左連續？其定義如下：注意：若f(x)在a點右連續284.連續性的應用：a.利用連續性求函數的極限值。若f(x)在x=a連續，則4.連續性的應用：a.利用連續性求函數的極限值。若f(29b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理1.若f(x)在區間[a,b]連續，且w介於f(a)

與f(b)之間，則存在使得f(c)=w。此處利用圖形說明此定理的意義。bxyw1w2w3f(b)f(a)ac1c2c3c4c5c6b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理30此函數在區間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，所以此函數在區間[a,b]連續。若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交於一點，即存在使得f(c)=w。考慮函數不連續的情形，如下圖：yxabf(b)f(a)w此函數在區間[a,b]的圖形在x=d有斷裂的現象，所以此函數在區間[a,b]不連續。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即f(b)≤w≤f(a),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線與函數曲線不相交，即不存在使得f(c)=w。此函數在區間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，31注意：從上面的討論，可知道連續性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗證。yxabf(a)f(b)d若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交，即存在使得f(c)=w。但是很清楚，函數在x=d不連續，故連續性不是定理1的必要條件。其次，討論方程式根的位置，稱為「堪根定理」。定理2.若f(x)在區間[a,b]連續且f(a)f(b)<0，則存在